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Cálculo Operacional Transformadas de Laplace, Notas de estudo de Física

Cálculo Operacional Transformadas de Laplace

Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 16/05/2010

fabricio-mendes-damasceno-11
fabricio-mendes-damasceno-11 🇧🇷

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Baixe Cálculo Operacional Transformadas de Laplace e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Capítulo I - Cálculo Operacional, Transformadas de Laplace (ver K. S. KÖLBIG - “Laplace Transforms” - CERN 69-20) Transformações integrais Se considerarmos uma função determinada das variáveis x e y : K(x,y), podemos fazer corresponder a qualquer função da variável x : f (x) uma função da variável y : F (y), a partir da transformação integral: em que os limites de integração A e B são constantes e normalmente 0 ou F 0B 1 F 0 A 5. Consoante a função que se escolhe para K(x,y) assim se obtem as diversas transformações: de Fourier, de Laplace, de Carson-Laplace, de Mellin, de Hilbert, de Hankel, etc. Demonstra-se que em determinadas condições, f (x) pode ser obtido a partir de F(y) pela transformação: que é a chamada transformação inversa. A transformada (directa) de Fourier da função f (t) é dada por: e a transformada inversa de Fourier, por: as quais têm muita aplicações em Electrónica. Outra transformação integral com muito interesse em Electrónica, pois permite simplificar o cálculo de circuitos em regime transitório é a transformação de Laplace. A transformada de Laplace de uma função f (t), G(s) em que s é a variável complexa cuja parte real é r e cuja parte complexa é F 07 7 ( i.e. ) é dada por: A transformada inversa é dada pelo integral de Mellin-Fourier: que não discutiremos neste curso. Região de convergência da transformada de Laplace Como a transformada de Laplace, F(s), de uma função f (t), é uma função de variável complexa s (), ela será definida no plano complexo. Interessa fazer uma análise da região de convergência desta transformada, i.e. interessa saber para que valores de s é que o integral existe. Demonstra-se que se existe um número real e positivo F 06 2 para o qual a transformada existe, então ela existirá em todo o semi-plano à direita da recta paralela a jF 07 7 e passando por F 0 6 2 , i.e. para todo o s: Re(s) > F 0 6 2 . Se F(s) for uma função analítica (uma função de variável complexa é analítica numa região se em todos os pontos dessa região a função for derivável) então podemos aplicar os poderosos métodos da teoria da variável complexa. Alguns exemplos de transformadas de Laplace Vamos em seguida calcular as transformadas de Laplace de algumas funções já conhecidas e utilizadas com frequência em Electrónica. a. Função de Heaviside, F 06 D(t) Esta função, representada graficamente na figura seguinte é definida pela relação: ;(não interessa definir o valor de F 06 D(t) para pois que o seu valor -desde que não seja infinito- não intervem no cálculo dos integrais em que entra a função F 06 D(t) ). Calculemos a transformada de Laplace, U(s), de F 06 D (t); temos: que converge desde que ; i.e. desde que , então: b. Consideremos agora a função F 06 D (t-a) Temos: que converge desde que Re( s ) > 0. c. Consideremos a função ou melhor , i.e. uma função tal que: em que a é uma constante que pode ser complexa. Temos: que converge desde que Re( s ) > Re( a ). d. Para calcularmos a transformada de Laplace de cos(kt), i.e. podiamos calcular este integral directamente. No entanto se repararmos que: Regra III (2º Teorema da translação) Calculemos agora a transformada de Laplace da função f (t+a), i.e. da função que resulta de uma translação da variável t para a esquerda e igual a a (a > 0) da função f (t): Podemos escrever, se fizermos a mudança de variável : i.e. a > 0 Para calcularmos a transformada de Laplace de uma função em que houve uma substituição linear da variável t da forma (com a > 0 e b > 0) e que corresponde ao caso geral de uma substituição linear, utilizaríamos as regras I e II (ou III) conjuntamente. Consideremos em seguida o caso de termos uma função , i.e. o caso de termos uma função igual à função f (t) amortecida por uma exponencial da forma (F 06 D é uma constante real ou complexa). Regra IV (Teorema do amortecimento) Podemos escrever i.e. Calculemos em seguida a transformada de Laplace da derivada f ’(t) de uma função f (t). Demonstra-se que se a transformada de Laplace de f ’(t) existe também existirá a transformada de Laplace de f (t). O contrário nem sempre é verdade: pode existir a transformada de Laplace de f (t) e não existir a de f ’(t). Podemos escrever para a transformada de Esta relação mostra-nos que a transformada de Laplace da derivada f ’(t) está relacionada de uma maneira muito simples com a transformada da função f (t) (basta multiplicar F (s) por s) e já inclui a condição inicial, i.e. o valor de f (t) para . Para a segunda derivada f ”(t) temos por aplicação sucessiva da relação anterior: De modo análogo obtínhamos a transformada da derivada de ordem n. Podemos resumir os resultados agora obtidos no quadro seguinte: Regra V Esta regra é muito utilizada em problemas práticos que envolvem a resolução de equações diferenciais. Como sabemos, f (0+), f ’(0+), ... são os limites à direita do ponto t = 0. Calculemos em seguida a derivada da função transformada F (s) em ordem a s: Regra VI Vamos em seguida calcular a transformada do integral de f (t): i.e. Regra VII É ainda possível demonstrar (o que não faremos neste curso) que: Regra VIII Convolução de duas funções. Teorema do produto ou Teorema de Borel Sejam f1 (t) e f2 (t) duas funções que se anulam para t < 0. Define-se convolução de duas funções (cujo símbolo é ) como o integral: Se F1(s) e F2(s) forem as imagens de f1 (t) e f2 (t), respectivamente, o Teorema de Borel diz-nos que a imagem da convolução é igual ao produto das imagens, i.e. Regra IX Vamos demontrar este teorema. Calculemos ; temos: Este integral é um integral duplo estendido à região do plano F 07 4, t conpreendida entre a recta t = F 07 4 e a parte positiva do eixo dos t : Se as funções f1 (t) e f2 (t) forem “bem comportadas” podemos trocar a ordem de integração e então teremos: A mudança do limite inferior de integração de t = F 07 4 para t = 0 resulta do facto de . Se agora aplicarmos o 1º teorema da translacção temos: Ao sinal de convolução * corresponde no espaço imagem o sinal de multiplicação .. Demonstra-se que a convolução goza das propriedades comutativa e associativa, i.e. e também: Portanto, se tivermos funções a convolução destas funções: é independente da ordem em que as convoluções são executadas. Demonstra-se também que para funções bem comportadas se tem: Aplicação do método das transformadas de Laplace à resolução de equações diferenciais e de circuitos electricos. Noção de impedância generalizada. Consideremos em primeiro lugar o caso da equação diferencial linear de coeficientes constantes : em que c é uma constante e f (t) é uma função cuja tranformada de Laplace, F (s), existe. Calculemos a transformada de Laplace desta equação: i.e. Como as condições iniciais são , temos: i.e. Para calcularmos i2(t) calculamos a transformada inversa de I2(s). Temos No método de estudo de circuitos electricos que acabamos de descrever só escrevíamos as equações imagem depois de termos escrito as equações diferenciais do circuito. É no entanto possível escrever imediatamente as equações imagem utilizando as regras que damos a seguir e que nos permitem escrever as transformadas V(s) das tensões, v(t), através de uma indutância, L, de uma resistência, R, e de um condensador, C. Indutância, L A queda de tensão, vL(t) é dada por Para a sua transformada, VL(s),podemos escrever: Podemos definir uma transformada impedância, Z(s), também chamada impedância generalizada, que para uma indutância L é dada por Podemos agora escrever VL(s) em função de ZL(s): o que quer dizer que VL(s) pode ser obtido colocando em série com ZL(s) um gerador de f.e.m. igual a (este gerador corresponde às condições iniciais): F 0 D B Resistência, R A queda de tensão é dada por e para a sua transformada VR(s) temos: Para uma resistência R, a impedância generalizada é dada pela própria resistência: Portanto o que quer dizer que VR(s) pode ser obtido considerando uma impedância generalizada percorrida pela corrente I (s): F 0 D B Condensador, C A queda de tensão é dada por Para a sua transformada VC(s) temos: Como já sabemos Portanto Para um condensador a impedância generalizada é dada por: e podemos agora escrever: o que quer dizer que VC(s) pode ser obtido colocando em série com ZC(s) um gerador de f.e.m. igual a (gerador este que corresponde à condição inicial da carga) ou em termos de tensão inicial , um gerador de f.e.m. igual a : F 0 D B Para escrevermos as equações imagem do circuito basta aplicar as leis das malhas como se estivéssemos a obter as equações da corrente alternada substituindo jF 07 7 por s e pondo em série com cada impedância generalizada, Z(s), o gerador correspondente às condições iniciais: para ZL(s) e para ZC(s). Para as fontes de tensão reais v0(t) calculamos a transformada respectiva V0(s) e são geradores de f.e.m. V0(s) que introduzimos no circuito imagem, em vez dos geradores reais, v0(t). É importante notar que enquanto as leis de corrente alternada só eram válidas para geradores de tensão sinusoidal, o método das transformadas de Laplace é válido para geradores de tensão de qualquer tipo (ondas quadradas, tensões exponenciais, etc.). Consideremos o circuito Com os métodos que acabámos de descrever podemos escrever o circuito imagem
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