Transformadas de Laplace - Exercícios

Transformadas de Laplace - Exercícios

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Tábua de Transformadas

01.

1

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

INTEGRAIS IMPRÓPRIAS.

Se g(x) é definida para a sendo uma constante, então a integral imprópria é definida por:

(01)

se o limite existe. Quando o limite existe diz-se que a integral imprópria converge; caso contrário, diz-se a integral imprópria diverge.

DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Seja definida em e seja s uma variável real arbitrária. A Transformada de Laplace de f(x), designada por ou F(s), é:

para todos os valores de s que tornem convergente a integral.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Página n.8

1) Determine se as seguintes integrais impróprias convergem:

a) Resposta: diverge b) Resposta: Converge

2) Determine valores de s (se houver) para os quais as seguintes integrais impróprias são convergentes:

a) Resposta: b) Resposta:

3) Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace das funções abaixo e compare com a tábua de transformadas:

a) , c é uma constante b)

c) d)

e)

4) Determine ,

Resposta:

5) Prove que é de ordem exponencial para todo .

6) Prove que é de ordem exponencial para todo .

7) Determine se as seguintes funções são contínuas por partes em :

a) b)

c) d)

Resposta: a) sim, b) não, , c) não, , d) sim, é contínua em .

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Teorema 01: (Linearidade). Se e então para duas constantes quaisquer e = .

Teorema 02: Se , então, para qualquer constante a,

Teorema 03: Se , então, para qualquer inteiro positivo ,

Nos casos particulares e , se reduz a:

Teorema 04: Se e se existe, então:

Teorema 05: Se , então

Teorema 06: Se é periódica com período , isto é, se , então

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

PÁGINA N. 16

1) Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:

a)

Resposta:

b)

Resposta:

c)

Resposta:

d)

Resposta:

e)

Resposta:

f)

Resposta:

g)

Resposta:

h)

Resposta:

i) na figura seguinte:

Resposta:

j) na figura seguinte:

Resposta:

l) na figura seguinte:

Resposta:

TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

Definição: Uma transformada inversa de Laplace de uma função , designada por

-1, é outra função que goza da propriedade ℒ.

Teorema 1: (Teorema de Unicidade) Se ℒℒe se e são ambas contínuas em então .

Uma dada função pode ter várias, uma só ou nenhuma transformada inversa de Laplace. O Teorema 1, entretanto, garante que se tem uma transformada inversa de Laplace contínua, , então é a única transformada inversa, contínua, de . Daqui por diante, convencionaremos que ℒ-1 representará essa única transformada inversa contínua, quando existe.

Teorema 2: (Linearidade) Se as transformadas inversas de Laplace de duas funções e existem, então, para quaisquer constantes e

-1-1 + -1

Os dois métodos seguintes, juntamente com o Teorema anterior, são úteis para o cálculo de transformadas inversas.

  • MÉTODO DO COMPLEMENTO DO QUADRADO

Todo polinômio quadrático em pode ser posto sob a forma

Em particular,

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