Pré - Calculo

Pré - Calculo

(Parte 1 de 9)

- Universidade Federal Fluminense Departamento de Matematica Aplicada

Notas de Pre- Calculo

Cristiane Ramos Ribeiro Argento 3-a versao -Marco/2009

Sumario

1.1 Introducao3
1.2 A reta orientada3
1.3 As propriedades algebricas de R4
1.4 As propriedades de ordem de R5
1.5 Intervalos6
1.6 Aplicacoes das propriedades de R6
1.6.1 Resolucao de Equacoes6
1.6.2 Resolucao de Inequacoes8
1.7 Modulo ou Valor Absoluto9
1.8 Raiz Quadrada12
1.9 Equacoes envolvendo raızes quadradas14
1.9.1 Elevando uma equacao ao quadrado14
1.9.2 Exercıcios15
1.9.3 Mudanca de variavel15
1.10 Raızes de ındice n16
1.10.1 Raızes de ındice ımpar16
1.10.2 Raızes de ındice par17
1.10.3 Propriedades das raızes ımpares17
1.10.4 Propriedades das raızes pares17
1.10.5 Expoentes Racionais18
1.10.6 Exercıcios18
1.1 Fatoracao19
1.1.1 Exercıcios19
1.12 Produtos Notaveis19
1.13 Completando quadrados21
1.13.1 Exercıcios2
1.14 Estudo do sinal de expressoes fatoradas2
envolvendo soma ou diferenca de modulos23
1.16 Resolucao de equacoes envolvendo modulos27
1.17 Estudo do sinal de expressoes usando o Teorema do Valor Intermediario29
1.18 2-a abordagem do estudo do sinal de expressoes envolvendo soma ou diferenca de modulos31
1.18.1 Exercıcios:32

1 Numeros Reais 3 1.15 Esboco de graficos e primeira abordagem para o estudo das raızes e do sinal de expressoes

2.1 Introducao3
2.2 Operacoes com polinomios3
2.3 Pesquisa de raızes37
3.1 Introducao40
3.2 O Conceito de Funcao40

UFF- EGM- GMA- Notas de Pre-Calculo - Cristiane Argento 2009-1 2 OBSERVAC OES PRELIMINARES:

O Pre-Calculo e um curso que tem como objetivo principal reforcar e aprimorar os conceitos matematicos vistos no Ensino Medio, dando enfase ao calculo e ao raciocınio logico. Sendo assim, o curso alem de proporcionar ao aluno uma base mais solida , estabelece tambem uma transicao entre a matematica estudada no Ensino Medio e a abordadagem matematica requerida no Ensino Superior, principalmente nos cursos de Calculo Diferencial e Integral. Alem disso, esse curso e oferecido junto com a disciplina Matematica Basica e os dois sao complementares para desenvolver no aluno o pensamento, a visao e o rigor matematicos.

Essas notas constituem um material de apoio as aulas de Pre-Calculo e serao enriquecidas com diversos exercıcios e problemas propostos em sala .

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1.1 Introducao

O homem ja utilizou marcas em paredes de cavernas, gravetos e ate ossos de animais para representar quantidades. A ideia de numero acompanha a humanidade desde a antiguidade. Demorou muito ate se chegar a escrita numerica utilizada hoje. Varias civilizacoes antigas, como os Babilonios, Egıpcios, Romanos, Chineses e Maias, criaram diferentes sistemas de numeracao. O sistema de numeros que utilizamos deriva do sistema dos Hindus, divulgado na Europa pelos Arabes, daı o nome sistema Hindu-Arabico. Ate ser padronizado, por volta de 1450, apos a invencao da imprensa, ele sofreu varias modificacoes. O conjunto dos numeros naturais N esta relacionado a contagem e e definido por

Nele ha duas operacoes bem definidas , a soma (+) e o produto (× ou . ). O conjunto dos numeros inteiros Z e formado por N e o conjunto dos opostos (ou simetricos) dos naturais, mais o elemento neutro , que e o zero , ou seja ,

Em Z , as operacoes de soma, produto e subtracao ( - ) estao bem definidas.

O conjunto dos quocientes de inteiros, isto e , das fracoes de inteiros e dito o conjunto dos numeros racionais. Ele e descrito assim :

Estao bem definidas em Q, as operacoes de soma, produto, subtracao ( - ) e divisao(÷ ou /) por um racional nao nulo. Durante muitos seculos acreditou-se que o conjunto dos numeros racionais era suficientemente grande para abrigar todos os valores encontrados nas medicoes de comprimento, area, volume, entre outras. Somente no seculo IV AC surgiu entre os discıpulos de Pitagoras alguem que observou que na verdade nao era bem assim! A medida da diagonal de um quadrado de lado l=1 e o proprio lado eram medidas incomensuraveis, isto e, nao existe um segmento de reta w que caiba n vezes em l e m vezes na diagonal, que mede √ 2. Em termos modernos, isto significa que se existir um tal w, entao 1 = n.w e √ 2 = m.w e portanto, chegamos ao resultado absurdoque √2 ∈ Q. Esta constatacao gerou uma grande crise no pitagorismo e na matematica grega, mostrando que o conjunto dos naturais mais as fracoes nao eram suficientes para realizar todas as medicoes possıveis. Assim, o conceito de numero foi ampliado e os numero irracionais entraram em cena, isto e, o conjunto dos numeros racionais foi ”completado”para nao deixar de fora nenhuma medida. Desta forma, surgiu o conjunto dos numeros reais R, bem como, de forma natural, sua representacao na reta orientada, onde leva-se em conta tambem o oposto das medidas e o 0.

1.2 A reta orientada

Pensando nas medidas de comprimento e natural representar o conjunto dos reais positivos R+ e o zero numa semi-reta orientada partindo do zero, onde fixamos uma unidade de comprimento u e os comprimentos vao aumentando a medida em que avancamos para a direita. Assim, cada medida tem um unico lugar na reta e vice-versa, cada ponto diferento de 0 da semi-reta corresponde a um comprimento. Ampliando a semi-reta para a esquerda, formamos a reta orientada, onde a esquerda do zero marcamos os reais negativos de forma que cada um fique equidistante do seu oposto em relacao a origem. Veja a figura abaixo:

fig.1

1Dependendo do autor, o numero 0 pode estar ou nao incluıdo em N. Nao existe um consenso em torno do assunto.

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1.3 As propriedades algebricas de R

E possıvel construir R a partir de N , passando por Z e Q, mas esse e um assunto que requer conhecimento mais avancado, o que foge do objetivo do presente texto. Aqui R sera apresentado de forma axiomatica, ou seja, vamos supor que existe um conjunto, dito dos numeros reais, que goza das propriedades algebricas abaixo relativas as operacoes de soma e produto.

Propriedade 1.3.5 Elemento Neutro a + 0 = a , a.1 = a , ∀a ∈ R. O e 1 sao respectivamente os elementos neutros da soma e da multiplicacao. Mostra-se que sao unicos.

Propriedade 1.3.7 Lei do inverso

OBS: a = 0 nao tem inverso, pois nao existe elemento b ∈ R, tal que 0.b = 1 (veja a propriedade abaixo)

A operacao de subtracao e definida como a − b := a + (−b), ∀a,b ∈ R, isto significa a soma entre a e o simetrico de b.

A operacao de divisao de a por b e definida∀a,b ∈ R, b 6= 0, como o produto entre a e o inverso de b, ou seja

OBS: A divisao por 0 nao e definida, ja que 0 nao tem inverso! Das propriedades acima seguem as demais propriedades dos reais que nos sao bem familiares :

Propriedade 1.3.8 Para todo a,b ∈ R, temos

b.c se b,c, d 6= 0

(igualdade entre fracoes)

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As Leis de Cancelamento listadas a seguir sao fundamentais na manipulacao algebrica de equacoes, conforme veremos nas subsecoes 1.6.1 , 1.9.1 , 1.9.2, entre outras.

Observe que na Lei de Cancelamento do produto, o termo a ser cancelado deve ser nao nulo. A falta de atencao com relacao a esse fato nos induz frequentemente ao erro na resolucao de equacoes. Portanto, fique atento!!!

A lei acima e consequencia da lei do cancelamento do produto. OBS: As Leis de Cancelamento e do Anulamento sao fundamentais para a resolucao de equacoes (confira as secoes 1.6 e 1.9) e juntas produzem a importante equivalencia que utilizaremos com muita frequencia :

Para ilustrar rapidamente a propriedade acima, considere a equacao x2 = x. Observando que a equacao dada e equivalente a x.x = x.1, aplicamos a Propriedade 1.3.1 e obtemos que a equacao equivale a x = 0 ou x = 1, que sao suas unicas solucoes. Veja as secoes 1.6 e 1.9 para outros exemplos.

1.4 As propriedades de ordem de R

Dados a,b ∈ R, diz-se que a e menor do que b , escreve-se a < b , se b−a > 0. Na reta numerica, isto significa que b esta a direita de a. Tambem, a e menor ou igual a b 2, escreve-se a ≤ b, quando b−a ≥ 0, o que na reta numerica quer dizer que b esta a direita de a ou representa o mesmo ponto que a. Analogamente, definimos a > b , a maior do que b e a ≥ b, a maior ou igual a b.

Propriedade 1.4.1 Tricotomia Dados a,b ∈ R, vale uma e somente uma das relacoes:

Em termos algebricos, isso quer dizer que dois numeros reais quaisquer sao sempre comparaveis. Geometricamente, significa que na reta, dados dois pontos quaisquer a e b, existem tres possıveis posicoes para eles: a esta a esquerda de b, ou a ocupa o mesmo ponto que b (sao iguais ), ou a esta a direita de b.

Abaixo vamos estabelecer as propriedades da relacao de ordem que sao essenciais no estudo das inequacoes.

Propriedade 1.4.2 Transitividade Sejam a,b,c ∈ R. Se a < b e b < c ⇒ a < c.

Propriedade 1.4.4 Monotonicidade da multiplicacao Sejam a,b,c ∈ R. Entao,

Observe que na Monotonicidade da multiplicacao a desigualdade inicial e invertida sempre que a mesma e multiplicada ou dividida por um numero real negativo. Ocorrem muitos tropecos sempre que essa propriedade e negligenciada. Portanto, acautele-se e fique atento!

2Na verdade, a forma correta de se expressar e:a menor do que ou igual a b , mas raramente falamos assim, costumamos suprimir o ”do que”.

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Seguem das propriedades de ordem anteriores, as seguintes implicacoes:

Alem dessas propriedades, tambem seguem as conhecidas regras de sinal: o produto entre dois numeros reais positivos e positivo, o produto entre dois numeros reais negativos e positivo e o produto entre dois de sinais opostos e negativo.

OBS: Dados a,b ∈ R, tem-se a = b ⇔ a ≤ b e b ≤ a. Frequentemente, recorremos a esta propriedade para mostrar que dois numeros sao iguais. As propriedades de 1.4.2 a 1.4.5 tambem valem para a relacao ” ≤ ”. Elas nos permitem fazer estimativas e manipular inequacoes a fim de resolve-las, conforme veremos mais adiante.

1.5 Intervalos Sao subconjuntos importantes da reta que denotamos por:

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