Geometria Analítica - Vetores

Geometria Analítica - Vetores

(Parte 1 de 2)

UNIVIX – Faculdade Brasileira Engenharia Elétrica 2010/1

- Resumos -

Geometria Analítica Aulas ministradas pelo Professor Fernando Mazzini

Aleksander de Souza Engenharia Elétrica – UNIVIX Faculdade Brasileira

1 Vetores

Vetores

Vetores são representados graficamente por segmentos orientados, que são segmentos de reta dotados de um sentido de percurso. Segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido (segmentos equipolentes) representam o mesmo vetor. Dois vetores são iguais se possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.

Adição de Vetores

Dados dois vetores e , para obtermos a soma fazemos da seguinte maneira:

1. tome um seguimento orientado que represente ; 2. tome um seguimento orientado que represente , com origem na extremidade de ; 3. trace um seguimento orientado que parte da origem de um e chega na extremidade de .

Observe que: (comutatividade)

Para obtermos a soma de três ou mais vetores, usamos seguidamente os passos descritos acima.

Observe que: (transitividade)

Existe um vetor cujo comprimento é igual a zero, chamado de vetor nulo e representado por , tal que para todo vetor :

Para todo vetor , existe um vetor um vetor (representado por ) que possui a mesma direção e o mesmo comprimento de , porém com sentido contrário ao de (é chamado de simétrico de ), tal que:

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Resumindo: Dados , e , vetores quaisquer:

3. Existe um vetor tal que, para todo vetor , tem-se:

4. Para todo vetor , existe um vetor – tal que:

Subtração de Vetores

Podemos definir a diferença – da seguinte maneira:

1. tome um representante de ; 2. tome um representante do simétrico de com sua origem na extremidade de ;

3. trace – partindo da origem de e chegando na extremidade de –.

Uma outra forma de se obter a diferença – é:

1. tome representantes de e partindo do mesmo ponto. 2. tome – partindo da extremidade de e chegando na extremidade de .

Multiplicação de Número Real por Vetor Dados um número real e um vetor , o resultado será:

1. se ou se ; 2. caso contrário:

terá comprimento | | vezes o comprimento de ; mesma direção de ;

mesmo sentindo de , se ; sentido contrário ao de , se .

Dois vetores paralelos (ou colineares) são vetores com mesma direção. Logo, dois vetores paralelos sempre são múltiplos um do outro.

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Descrição Analítica de um Vetor no Plano

Podemos definir as operações descritas acima usando um sistema de coordenadas cartesianas. Para obtermos a descrição analítica de um vetor , tomamos um representante de cuja origem coincida com o ponto O do sistema de coordenadas. Se as coordenadas da extremidade deste representante são , então escrevemos:

Ou seja: as componentes do vetor são iguais as coordenadas da sua extremidade quando este traçado a partir da origem do sistema). Uma outra forma de se representar a descrição analítica do vetor é mostrada a seguir. De um modo geral se , então podemos escrever também:

Voltando às operações:

1. Adição de Vetores Sejam os vetores , e . A soma é dada por:

2. Multiplicação de Vetores

Sejam pertencente a e um vetor do plano. Então o produto é dado por:

Vetores no Espaço

Definimos um sistema de coordenadas cartesianas no espaço acrescentando um terceiro eixo ordenado ao sistema de coordenadas anterior. Este eixo (eixo-) é simultaneamente ortogonal aos eixos e . A orientação do eixo é definida pela regra da mão direita (quando usamos os dedos para percorrer o menor ângulo entre os eixos e , o polegar aponta o sentido correto para o eixo ). Para determinar as coordenadas de um ponto do espaço, tome a interseção da reta que passa por e é paralela ao eixo com o plano - . As coordenadas e do ponto são as coordenadas e do ponto .

A coordenada do ponto é a altura (com sinal) do ponto em relação ao plano -

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