Geometria analítica - lista de vetores resolvida

Geometria analítica - lista de vetores resolvida

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIARIDO-UFERSA. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS. BACHARELADO EM CIENCIA E TECNOLOGIA. DISCIPLINA DE GEOMETRIA ANALITICA. (parte da lista 1 resolvida.)

1. Verifique se e verdadeira ou falsa cada afirmacao e justifique sua resposta.

Solucao:

a) Verdadeiro. Tendo em vista que o vetor −−→ AB e umaclasse de equi- polencia de segmentos orientados. Logo, se (A,B) e um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante sera indicado

b) Verdadeiro. Dizemos que dois vetores nao nulos, no caso −−→ AB e −−→ CD, sao de mesma direcao, ou paralelos, se os segmentos geometricos, AB e CD, tem mesma direcao, ou sao paralelos. Assim, como AB e paralelo a CD, temos que −−→ AB sera paralelo a −−→ CD.

c) Verdadeiro. Tendo em vista que, a relacao de equipolencia e uma relacao de equivalencia. Se o segmento (A,B) e equivalente a (C,D), ou seja, (A,B) ∼ (C,D), necessariamente seus vetores serao iguais,

d) Falso. Sendo −−→ AB = −−→ CD, nao necessariamente, A=C e B=D. Tendo em vista que, um mesmo vetor −−→ AB e determinado por uma infinidade de segmentos orientados, e sao todos equipolentes entre si. No entanto, cada vetor sera formado por pontos distintos, nao existindo igualdade entre tais pontos.

2. Quais sao a origem e a extremidade de um representante do vetor abaixo?

Solucao:

Sabemos, por definicao, que um vetor qualquer −−→

definicao tambem, dados −→u e −→v , sejam (A,B) um representante qualquerde −→u e (B,C) o representante de −→v que tem origem B. O vetor soma de

Assim, com tais conceitos, resolvemos a questao: −−→

Como

Ou seja, A e a origem e H a extremidade de um vetor que representa a soma vetorial dada.

3. Prove que o segmento que une os pontos medios dos lados nao paralelos de um trapezio e paralelo as bases, e sua medida e a semi-soma das medidas das bases. Solucao: A partir do trapezio abaixo e analisando a parte superior do mesmo,

EF e o vetor opostode −→ EA, e −−→ BF o vetor oposto de −−→ CF, assim somamos as duas equacoes

DC2 . A partir de tal fato conseguimos provar tambem que o segmento que une os pontos medios dos lados nao paralelos do trapezio e paralelo as bases, tendo em vista que as bases sao combinacao linear de tal segmento.

Solucao:

sera L.I se, e somente se, a matriz cujas linhas sao as coordenadas dos vetores do conjunto, tem determinante diferente de zero. Assim, como

pede no enunciado.

Podemos escrever −→ t como combinacao de −→u, −→v , −→w, temos que:

3α+3β +4γ = 13 Resolvendo o sistema formado pela equacao acima, encontramos: α = 1 ,

Ao resolvermos o sistema formado pela equacao acima, encontramos α = β. Logo, admitindo α = β = 1, temos: −→u = −→v + −→w, em coordenadas, (1,2,2) = (m−1,1,m−2)+(m+1,m−1,2). Ao resolvermos a equacao acima, nao conseguimos encontrar um valor para m que satisfaca toda a equacao, logo, o vetor −→u nao pode ser gerado por −→v e −→w. Assim, percebemos que ou o vetor −→v e gerado por −→u e −→w, ou o vetor −→w e gerado por −→u e −→v . Agora, para que o valor de m seja determinado, sendo a tripla

Ao resolvermos tal matriz, encontramos que m poder ser igual a 2 e −1. Portanto, para que tal tripla vetorial seja L.D e preciso que: m = 2 ou m = −1.

7. Determine x de modo que −→u e −→v sejam ortogonais.

a) Para −→u e −→v serem ortogonais, o angulo entre esses dois vetores tem

Logo, nao existe valor para x nos numeros reais para que os vetores citados sejam ortogonais.

8. A medida angular entre −→u e −→v e 30o e suas normas 2 e 3, respectivamente.

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