prova de estruturas algebricas respondidas

prova de estruturas algebricas respondidas

UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAU Coordenacao de Matematica 1a Lista de Exercıcios - Estruturas Algebricas I - 2009.2 Professor Marcio Nascimento

1 Um pouco de historia

Ha tres raızes historicas sobre o desenvolvimento da teoria dos grupos na literatura matematica do seculo IX: a teoria das Equacoes Algebricas, Teoria dos Numeros e Geometria. Todas essas tres areas usaram metodos da teoria dos grupos, contudo os metodos foram mais explıcitos na primeira area.

Um dos temas centrais da geometria no seculo IX foi a busca por invariantes dentre os varios tipos de transformacoes geometricas. Gradualamente as atencoes foram se focando nas transformacoes propriamente ditas, que em varios casos podem ser pensadas como elementos de grupos.

Na Teoria dos Numeros, ja no seculo XVIII Leonhard Euler tinha considerado os restos das divisoes de potencias an por um numero primo fixado. Esses restos tem propriedades de grupos. Similarmente, C. F. Gauss em seu Disquisitiones Arithmeticae (1800) tratou extensivamente das formas quadraticas ax2 + 2bxy + cy2 e, em particular, mostrou que classes de equivalencia dessas formas, com relacao a composicao, tinham propriedades de grupos.

Finalmente, a teoria das equacoes algebricas, traz o mais explıcito conceito de grupo. Joseph-Louis

Lagrange (1736-1813) de fato iniciou o estudo das permutacoes das raızes de uma equacao como uma ferramenta para resolve-la. Essas permutacoes, certamente, foram, por fim, consideradas elementos de um grupo.

Walter von Dick (1856-1934) e Heirich Weber (1842-1913) em 1882, independentemente, combinaram as tres raızes historicas e deram definicoes claras da nocao de um grupo abstrato. Fonte: Fraleigh, J. B. A First Course in Abstract Algebra

1.1 Grupos Abelianos

Grupos comutativos sao chamados abelianos em homenagem ao matematica noruegues Niels Henrik Abel (1802 - 1829). Abel estava interessado na solvabilidade de equacoes polinomiais. Em um artigo escrito em 1828 ele provou que se todas as raızes de uma tal equacao podem ser expressas como funcoes racionais f,g,...,h de uma das raızes, digamos x, e se para quaisquer duas dessas raızes, f(x),g(x), a relacao f(g(x)) = g(f(x)) sempre acontece, entao a equacao pode ser resolvida por radicais. Abel mostrou que cada uma dessas funcoes, na verdade, permuta as raızes da equacao. Assim, essas funcoes sao elementos do grupo de permutacoes das raızes. Foi essa propriedade de comutatividade nesses grupos de permutacoes associadas a solucao de equacoes que levou Camille Jordan em seu tratado de algebra de 1870 a nomear tais grupos de abelianos. Desde entao, o nome tem sido aplicado a grupos comutativos em geral.

Abel foi atraıdo pela matematica quando ainda era adolescente e logo superou todos os seus professores na Noruega. Ele finalmente recebeu uma ajuda do governo para estudar em Berlin em 1825 onde se tornou amigo de August Crelle, o fundador do mais influente jornal de Matematica da Alemanha. Abel contribui com inumeros artigos para a revista de Crelle durante os anos seguintes, muitos deles no campo de funcoes elıpticas, cuja teoria ele criou sozinho. Abel retornou para a Noruega em 1827 sem uma “posicao” e cheio de dıvidas. Ele nao continuou a escrever trabalhos brilhantes, mas morreu de tuberculose aos 26 anos, dois dias antes, Crelle conseguiu encontrar uma vaga numa universidade em Berlin para Abel.

2 Exercıcios

1. Em cada item a seguir, decida se o par (conjunto, operacao) indicado forma um grupo (e tambem grupo abeliano):

(h) O conjunto de todos os racionais com denominador ımpar, com a soma usual dos racionais.

(i) Idem com a multiplicacao. (j) {1,−1} com a divisao. (k) O conjunto dos numeros inteiros com a subtracao. (l) {2m3n ; m,n ∈ Z} com a multiplicacao.

(m) O conjunto de todas as aplicacoes f : X −→ G onde X e um conjunto e (G,∗) e um grupo (fixos), com a operacao

(n) Um espaco vetorial V com a operacao +.

(o) O subconjunto das matrizes invertıveis de ordem n × n, com a multiplicacao usual de matrizes.

(p) O conjunto de todas as funcoes pares com a adicao de funcoes.

2. Seja G um grupo com uma operacao ∗. Mostre que vale as leis do cancelamento (a direita e a esquerda).

3. Dado um grupo (G,∗) mostre que o elemento neutro e unico. Mostre tambem que dado um elemento qualquer a ∈ G, o seu inverso e unico.

(i) A operacao ∗ e associativa; (i) Existe um elemento identidade a esquerda e em em G, isto e, e ∗ x = x para todo x ∈ G. (i) Para cada a ∈ G, existe um inverso a esquerda a′ em G tal que a′ ∗ a = e

Mostre que, e e tambem elemento neutro a direita e que a′ e tambem elemento inverso a direita para cada a e conclua que tais axiomas definem (G,∗) como um grupo. Veja que tais axiomas, aparentemente, parecem ser mais fracos que os de grupo, no entanto, sao suficientes.

7. Prove que um conjunto nao vazio G, com uma operacao ∗ associativa tal que a ∗ x = b e y ∗ a = b tem solucoes em G quaisquer que sejam a,b ∈ G, e um grupo.

10. Sejam (G,∗) e (H,£) grupos com identidades eG, eH respectivamente. Defina em G × H a seguinte operacao:

(a) Mostre que vale a lei associativa em (G × H,o). (b) Encontre o elemento neutro de (G × H,o). (c) Para cada (g,h) ∈ G × H, encontre seu inverso. (d) Mostre que se G,H sao grupos abelianos, entao G × H e grupo abeliano.

12. Seja F o conjunto de todas as funcoes reais com domınio R e seja F o subconjunto de F formado pelas funcoes tais que f(x) 6= 0 para todo x ∈ R. Nos itens abaixo, determine se o dado subconjunto de F com operacao induzida e (1) subgrupo do grupo F com respeito a adicao, (2) subgrupo do grupo F com respeito a multiplicacao.

(a) O subconjunto F. (b) O subconjunto de todas as funcoes f ∈ F tais que f(1) = 0. (c) O subconjunto de todas as funcoes f ∈ F tais que f(1) = 1. (d) O subconjunto de todas as funcoes f ∈ F tais que f(0) = 1. (e) O subconjunto de todas as funcoes f ∈ F tais que f(0) = −1. (f) O subconjunto de todas as funcoes constantes de F.

13. Mostre que se H e K sao subgrupos de um grupo abeliano G, entao e um subgrupo de G.

14. Prove que, se G e um grupo abeliano com elemento identidade e entao todos os elementos x ∈ G que satisfazem x2 = e formam um subgrupo H de G.

15. Mostre que um conjunto nao vazio H de um grupo G e um subgrupo de G se, e somente se, ab−1 ∈ H para quaisquer a,b ∈ H. Essa e uma caracterizacao compacta de subgrupos.

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