(Parte 1 de 3)

ABAAAAzooAE.doc

- 74 -

5 - DERIVADAS

Neste ensinaremos como se derivar uma função com a calculadora e trabalhar com essa função obtida; como plotar o gráfico de uma função e obter a derivada; como trabalhar com estes gráficos.

Vamos agora a definição de derivada .

Definição de Derivada

A derivada da função f é a função f’ definida por

( I )

para todo x para o qual o limite exista.

5.1 - TAXAS DE VARIAÇÃO

Falamos anteriormente que a derivada de uma função é o coeficiente angular da reta que tangencie esta função em um dado ponto. Mas será que é só isso? Não! Uma outra função interpretação muito importante das derivadas é a taxa de variação da função relacionada à variável independente.

Exemplifiquemos: Seja Q uma função que varie com o tempo, ou seja, a variável independente desta função é o tempo. Portanto Q = f(t).

Se diferenciarmos Q em relação a t obteremos a taxa instantânea de variação da função com relação ao tempo.

Vários são os casos, como Edwards & Penney ilustram em seu livro, onde podemos aplicar as taxas de variação:

- Velocidade instantânea de um corpo, no qual o movimento varia de acordo com o tempo.

- Número de habitantes de uma cidade, os quais crescem regidos em função do tempo.

- A quantidade de água em um reservatório com entrada e vazão variáveis.

- O número de reais em uma conta bancária.

Enfim, infinitas são as aplicações das taxas de variação.

5.2 - DERIVANDO COM A CALCULADORA

5.2.1 – Utilizando o menu symbolic

Vamos agora ensinar como derivar com a calculadora.

A opção para se diferenciar uma função está no menu “Symbolic” ( [] [9]).

Ao selecionarmos esta opção aparecerá um quadro com outras opções; selecionaremos a opção “Differentiate” .

Selecionando esta opção poderemos diferenciar as equações; coloque a barra na linha “Differentiate” e aperte [OK].

Aparecerá uma outra tela.

Repare que as opções para as teclas brancas são quase sempre as mesmas.

Neste menu de diferenciação aparecem três campos:

EXPR: que é o campo onde entraremos com a expressão a ser derivada.

VAR: no qual determinaremos a variável na qual a função será derivada.

RESULT: no qual aparecerão duas opções: “Symbolic” e “Numeric”. A opção “Symbolic” dará o resultado da expressão de uma forma simbólica, ou seja, a função derivada com as variáveis; já a opção “Numeric” dará a resposta de uma forma numérica. Se selecionarmos a opção “Numeric” aparecerá mais um campo, onde entraremos com o valor de x para o qual queremos determinar a derivada.

Será mais interessante trabalharmos com a opção “Symbolic”.

Repare que as opções dos outros menus que já trabalhamos, são bem parecidas com a deste menu de diferenciação. Mas aparece aqui uma opção que não tinha aparecido em nenhum outro, a opção [STEP]. Esta opção indicará os “passos” para você diferenciar uma função. Vamos dar um exemplo simples, para que seja bem clara a visualização:

Vamos diferenciar a função x2

Expr: X^2

Var: X

Result: Symbolic

Ficaremos com a tela:

Repare na opção [STEP].

Ficamos com a tela ao lado.

Que resposta é esta? Bom, ela está mostrando quais são os passos para se derivar a função x2.

Pela regra da potência generalizada, tomemos f(x)=x e r = 2. Teremos então:

Repare que foi a mesma coisa que a calculadora escreveu. A única diferença é a nomenclatura que a calculadora utiliza. O nosso é o “dX(X)” dela.

Vamos, agora, obter a derivada da função anterior ( x2 ).

Dentro do menu “Differentiate”.

Entremos com os dados:

EXPR: X^2

VAR: X

RESULT: Symbolic

E basta selecionar a opção [OK] para que a calculadora derive a função x2

A derivada da função aparecerá no nível 1. Podemos salvar essa equação em uma célula para vários fins, como por exemplo plotar o gráfico da derivada.

5.2.2 – Utilizando a opção [FCN]

Há um outro método de se obter a derivada de uma função; ao plotarmos uma função uma das opções que aparecem na tela é a opção [FCN] (abreviação de “function” – função).

Esta opção nos permite trabalhar com a função. A explicação do restante dos comandos está no APENDICE A.

A outra maneira de se derivar uma função seria plotar a tal função e depois selecionar a opção [F‘], que está dentro da opção [FCN].

Dos dois passos para se derivar uma função, o primeiro é fortemente aconselhável quando quisermos trabalhar com a função (utilizá-la para outro fim, salvá-la em alguma célula, etc); já o segundo será utilizado quando estivermos trabalhando com os aspectos gráficos das funções (pontos de máximo e mínimo, etc).

5.3 - MÁXIMOS E MÍNIMOS EM INTERVALOS FECHADOS

Vários são os casos onde precisamos determinar os valores máximo ou mínimo que uma função pode obter. O problema do reservatório de água apresentado anteriormente (seção 3.9) é um bom exemplo.

Naquele caso nos temos Área em função de y. Teremos um valor de y para o qual a área seja a menor possível, ou seja, teremos um valor de y para o qual a função Área tenha um ponto de mínimo.

Quando estivermos trabalhando com máximos e mínimos, por várias vezes, precisaremos determinar os zeros de uma função. Mas a calculadora somente dá o valor de uma raiz? Não, a calculadora dá o valor das outras. Segue-se alguns métodos para se obter o valor das outras raízes.

Se plotarmos o gráfico da função derivada podemos utilizar a opção [ROOT] (que está dentro do leque de opções [FCN], que aparece quando plotamos o gráfico). Com esta opção, lembre-se, podemos encontrar as raízes, desde que o cursor esteja devidamente posicionado (próximo da raiz). Ao determinarmos f’ podemos encontrar os pontos críticos da função f(x).

Para achar as raízes você também pode utilizar o “Solve equation”. Se você pedir para a calculadora resolver a função ela dará uma resposta. Caso você deseje outra resposta, no nosso caso para determinar outro valor de ponto crítico, será necessário que você de um “chute” inicial, para que a calculadora procure outro valor de raiz da função. Isto ocorre (a necessidade do chute) porque o método numérico que a calculadora utiliza necessita de um valor inicial para que ela comece a fazer os cálculos para achar o valor de x para que a função seja zero. Vocês irão aprender mais sobre este processo mais a frente, com o curso de Cálculo Numérico.

5.3.1 – Calculando pontos críticos

Exemplo 1 – Vamos calcular os valores dos pontos críticos da função:

f(x) =

Primeiramente vamos derivar a função; entre no menu “differentiate”.

Expr: X^3/3-4*X+3

Var: X

Result: Symbolic

Selecionamos [OK] e obtemos a função derivada no primeiro nível.

(Parte 1 de 3)

Comentários