Oscilações e Ondas

Oscilações e Ondas

(Parte 1 de 6)

UNIVERSIDADE DO OESTE PAULISTA

OSCILAÇÕES E ONDAS

Material de aula desenvolvido por Joecir Palandi, Dartanhan B. Figueiredo, Antonio V. Porto, João C. Denardin e Paulo R. Magnago da Universidade Federal de Santa Maria, Departamento de Física. Aqui utilizado como teoria de apoio para aulas de Física II por:

Prof. Cassio Fabian S. Campos.

PRESIDENTE PRUDENTE

2009

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

03

I. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

I.1. Definição do Movimento Circular Uniforme

04

I.2. Aceleração Centrípeta

05

I.3. Forças Centrípeta e Centrífuga

07

I.4. Imponderabilidade

08

I.5. O Movimento da Lua ao redor da Terra

09

I.6. Força de Coriolis

10

II. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

II.1. MHS como Projeção do MCU

12

II.2. Relações Matemáticas

15

II.3. Definição de MHS

16

II.4. Pêndulo Simples

17

II.5. Sistema Corpo-Mola

20

II.6. Energia no MHS

23

II.7. Ressonância

24

III. ONDAS MECÂNICAS HARMÔNICAS

III.1. Diferença de Fase

26

III.2. Ondas Mecânicas Unidimensionais

29

III.3. Elementos de uma Onda

30

III.4. Transferência de Energia pela Onda

31

III.5. Equação da Onda

32

III.6. Princípio de Superposição

33

III.7. Velocidade de Fase e Velocidade de Grupo

34

III.8. Ondas Estacionárias

35

III.9. A Cuba de Ondas

37

III.10. Reflexão e Refração

38

III.11. Princípio de Huygens

39

III.12. Difração

40

III.13. Efeito Doppler

40

INTRODUÇÃO

No que concerne aos professores que lecionam Física no ensino médio, tanto aqueles com formação específica quanto aqueles sem essa formação e que constituem a maioria, a necessidade de uma educação continuada não fica satisfeita devido a pouca oferta de material impresso adequado (livros, cadernos didáticos, artigos de divulgação, etc.) e, também, devido à dificuldade de acesso a cursos de atualização, quando esses são oferecidos. Essa situação vem gerando, numa parcela ponderável desses professores, uma carência crônica de conteúdos que, somada à importância atribuída ao livro texto na determinação da seqüência dos conteúdos a serem apresentados aos seus alunos e no próprio método de ensino, representa uma importante limitação ao ensino de Física na escola média.

Além disso, a idéia de que basta a aplicação coerente das fórmulas para que seja atingida a aprendizagem significativa dos conceitos, princípios e leis fundamentais é compartilhada pela maioria dos professores e, mesmo quando a importância das atividades experimentais é reconhecida, são poucos aqueles que as praticam e menos ainda aqueles que as exploram em toda a sua potencialidade. A experimentação no ensino de Física pode ser um instrumento útil no processo ensino-aprendizagem desde que não seja estranha à seqüência lógica dos conteúdos, sendo acompanhada de uma estratégia que motive a introdução de novos temas, detecte problemas e determine relações entre variáveis.

Esse caderno, que o Grupo de Ensino de Física da UFSM (GEF-UFSM) ora oferece, foi escrito para os professores do ensino médio, embora possa ser usado também por seus alunos, numa tentativa de clarificar, aprofundar e complementar os conteúdos de Movimento Circular Uniforme, Movimento Harmônico Simples e Ondas Mecânicas Harmônicas. Além dos conteúdos usuais, o primeiro capítulo discute a força centrífuga, a imponderabilidade, o movimento da Lua ao redor da Terra e a força de Coriolis, o segundo capítulo, massa gravitacional e massa inercial, freqüência própria e ressonância, e o terceiro capítulo, a transferência de energia pela onda, velocidade de fase e velocidade de grupo e o princípio de Huygens, entre outros.

O GEF-UFSM defende uma abordagem ao ensino de Física que integre teoria e experimento, mesmo porque o próprio conhecimento científico é assim construído. Esse caderno didático contém as atividades práticas e/ou experimentais que puderam ser desenvolvidas em um curso com o título Oscilações e Ondas, de 30 horas/aula, desenvolvido no segundo semestre de 2001, no espaço Ciência Viva do Centro de Ciências Naturais e Exatas da UFSM, onde dois acadêmicos do Curso de Licenciatura em Física ministravam, sob orientação do GEF-UFSM, aula a alunos selecionados entre os regularmente matriculados no ensino médio da rede pública de Santa Maria. Além disso, devido às limitações impostas ao número de páginas pelo próprio fato de se tratar de um caderno, foi colocada ênfase na visão geométrica dos movimentos, procurando mostrar suas relações mútuas, e em fenômenos pouco discutidos ao nível do ensino médio, enquanto que temas como interferência, difração e efeito Doppler, por exemplo, foram tratados muito rapidamente.

O GEF-UFSM espera que esse caderno seja útil àqueles aos quais foi dirigido e se abre a quaisquer críticas e/ou sugestões que possam vir a melhorá-lo.

I. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

Na Natureza, movimentos circulares aparecem associados, por exemplo, a fenômenos astronômicos: os movimentos dos planetas ao redor do Sol e os movimentos das luas ao redor dos respectivos planetas podem ser considerados, com boa aproximação, circulares e uniformes. Movimentos circulares uniformes aparecem também nas atividades humanas como, por exemplo, nas máquinas, onde rodas e engrenagens giram ao redor de eixos, etc. A palavra uniforme, neste contexto, se refere ao fato de o módulo da velocidade linear do corpo em questão ser constante. Mas quando um corpo se desloca sobre uma trajetória circular, embora o módulo do vetor velocidade linear possa ser constante, a direção desse vetor varia continuamente, de modo que existe uma aceleração (centrípeta) e, portanto, uma força resultante não nula atuando sobre o corpo. Por outro lado, o vetor velocidade angular é constante no movimento circular uniforme.

I.1. Definição do Movimento Circular Uniforme

Uma partícula está em um movimento circular uniforme (MCU) quando se movimenta sobre uma circunferência com velocidade linear de módulo constante. O vetor velocidade linear é sempre tangente à trajetória (Fig.1), ou seja, varia continuamente porque sua direção varia. Na Fig.1, que representa o vetor velocidade linear de uma partícula em MCU em dois instantes de tempo genéricos t1 e t2, temos mas .

Período e Freqüência

O tempo levado pela partícula para percorrer uma vez a sua trajetória é o período (T) do movimento. Por outro lado, o número de voltas dadas pela partícula na unidade de tempo é a freqüência (f) do movimento. Assim:

Para termos uma idéia mais concreta da veracidade da expressão f = 1/T consideremos uma partícula em MCU que leva 4 s para percorrer exatamente uma vez a circunferência que constitui a sua trajetória. Sendo assim, o período do movimento é justamente 4 s. Por outro lado, como a partícula percorre uma volta em 4 s, em um segundo ela percorre ¼ de volta. Portanto, a freqüência do movimento da partícula vale 1/(4 s) ou seja, ¼ Hz.

Velocidade Linear

O módulo da velocidade linear () da partícula é definido como a distância percorrida sobre a trajetória dividida pelo intervalo de tempo levado para percorrê-la. Assim, tomando como intervalo de tempo o período:

A direção do vetor velocidade linear é sempre tangente à trajetória da partícula. Aqui estamos falando da velocidade linear instantânea da partícula. Para entender por que o vetor velocidade linear é tangente à trajetória temos que levar em conta que esta velocidade é definida por um processo de limite. Por exemplo, para a definição da velocidade linear instantânea da partícula no ponto A (Fig.2), correspondente à posição da partícula no instante de tempo tA, consideremos a seqüência de pontos C, B, etc., correspondentes às posições da partícula nos instantes de tempo tC, tB, etc., cada vez mais próximos de A.

Tomando o módulo do vetor deslocamento1 entre A e C e dividindo-o pelo intervalo de tempo tAC levado pela partícula para se deslocar entre A e C, obtemos vAC, o módulo do vetor velocidade média entre A e C, tomando o módulo do vetor deslocamento entre A e B e dividindo-o pelo intervalo de tempo tAB levado pela partícula para se deslocar entre A e B, obtemos vAB, o módulo do vetor velocidade média entre A e B, etc. A seqüência de números vAC, vAB, etc., tende para o número vA, o módulo da velocidade linear instantânea da partícula no ponto A. Dizemos, então, que no limite t  0, a velocidade média tende à velocidade instantânea em tA (ou no ponto A). Ainda, como as direções das velocidades médias são dadas pelas retas suportes dos vetores deslocamento correspondentes, é fácil ver que no limite t  0 a velocidade linear (instantânea) tem direção tangente à trajetória no ponto A.

Velocidade Angular

Se, em vez de considerar a distância percorrida pela partícula sobre sua trajetória, considerarmos o ângulo descrito pela linha que une a partícula ao centro da trajetória, podemos definir a velocidade angular. O módulo de tal velocidade é dado pelo cociente do ângulo descrito (em radianos) pelo intervalo de tempo correspondente. Assim, tomando como intervalo de tempo o período (e lembrando que f = 1/T):

ou

A direção desta velocidade angular é perpendicular ao plano da trajetória e o sentido, dado pela regra da mão direita: com os dedos da mão direita colocados ao longo da trajetória descrita pela partícula e na mesma direção do movimento, o polegar aponta o sentida da velocidade.

Observando as fórmulas acima, temos a seguinte relação entre os módulos das velocidades linear e angular:

I.2. Aceleração Centrípeta

Segundo a primeira lei de Newton, se é nula a força resultante sobre uma partícula, então ela está parada ou em movimento retilíneo uniforme. Como , ou seja, como , deve existir uma força resultante não nula sobre a partícula em MCU. Em outras palavras, existe uma aceleração. E como v(t2) = v(t1), ou seja, como o módulo do vetor velocidade linear é constante, o vetor aceleração não pode ter componente na direção do vetor velocidade linear. Então, o vetor aceleração (instantânea) da partícula, em qualquer instante de tempo, aponta para o centro da sua trajetória. Esta aceleração, chamada de aceleração centrípeta, tem módulo:

onde v representa o módulo da velocidade linear da partícula e R, o raio da trajetória.

Para demonstrar a fórmula acima devemos observar o seguinte. Em primeiro lugar, o triângulo com vértices nos pontos O, A e B (Fig.3(a)) é semelhante ao triângulo formado por , e (Fig.3(b)), já que ambos têm dois lados de mesmo comprimento fazendo entre si o mesmo ângulo . Em segundo lugar, para t2  t1, já que estamos calculando o módulo da aceleração instantânea, o arco de circunferência e a corda entre os pontos A e B se confundem e têm comprimento . Assim, podemos escrever:

ou

de onde se segue a fórmula procurada já que, para t2  t1, . Em termos do módulo da velocidade angular, o módulo da aceleração centrípeta é dado por:

Considerando o vetor , do centro da trajetória até a posição da partícula, e levando em conta que o vetor é perpendicular ao plano da trajetória da partícula, com sentido dado pela regra da mão direita (Fig.4), correspondentemente às fórmulas v = R e aC = 2R, que expressam os módulos da velocidade linear e da aceleração centrípeta, respectivamente, de uma partícula em MCU, temos as relações vetoriais:

e

Atividade

Desenhe uma circunferência com uns 8 cm de raio e sobre ela assinale dois pontos (A e B) relativamente próximos um do outro (Fig.5). Em cada um desses pontos, desenhe uma flecha de uns 3 cm de comprimento para representar a respectiva velocidade linear ( e ) de uma partícula em MCU.

Transporte a flecha que representa paralelamente a si mesma de modo que sua origem coincida com a origem da flecha que representa e represente o vetor .

O vetor aceleração centrípeta tem a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor e ambos devem apontar para o centro da trajetória circular da partícula em MCU. Discuta o resultado do seu desenho quanto à direção esperada de .

Repita todo o procedimento descrito acima para pontos A e B cada vez mais próximos um do outro. Compare cada novo resultado com aqueles obtidos antes.

Discuta o caso limite em que os pontos A e B estão tão próximos um do outro que se confundem.

Discuta a relação de todo esse procedimento com a definição rigorosa de aceleração centrípeta como um processo de limite.

I.3. Forças Centrípeta e Centrífuga

A força sobre a partícula (de massa m) em MCU é chamada força centrípeta e tem módulo:

No contexto do movimento circular uniforme discute-se, normalmente, além da força centrípeta também a assim chamada força centrífuga. Para colocar em termos concretos a discussão, consideremos o exemplo de uma lata vazia girando em movimento circular uniforme em um plano horizontal (Fig.6). Sob o ponto de vista da pessoa que está girando a lata (observador em um referencial inercial), existem sobre a lata três forças: a força peso, vertical e apontando para baixo, a força de resistência exercida pelo ar, horizontal e apontando para trás, e a força de tração do fio, horizontal e apontando para o centro da trajetória. Como a força peso e a força de resistência do ar não são efetivas no movimento circular uniforme, vamos ignorá-las. Assim, a força que o fio exerce sobre a lata é que faz o papel de força centrípeta. Não existe qualquer outra força sobre a lata que pudesse fazer o papel de força centrífuga.

Agora, suponhamos que exista um inseto dentro da lata em MCU, apoiado no fundo da lata. O inseto compartilha o movimento da lata, isto é, está, também, em MCU no referencial considerado. O movimento circular do inseto é causado pela força que o fundo da lata exerce sobre ele. Assim, sob o ponto de vista da pessoa que está girando a lata (observador em um referencial inercial), existem sobre o inseto três forças: a força peso, vertical e apontando para baixo, a força de atrito devido ao fundo da lata, vertical e apontando para cima, e a força que o fundo da lata exerce sobre ele, horizontal e apontando para o centro da trajetória. A força peso e a força de atrito cancelam-se mutuamente. Então, para o observador considerado, o inseto tende a se mover em uma linha reta horizontal por inércia, mas é impedido a cada instante pela força que o fundo da lata exerce sobre ele. A resultante das forças que agem sobre o inseto é esta força que, sendo dirigida para o centro da trajetória, faz, portanto, o papel de força centrípeta. Não existe qualquer outra força sobre o inseto que pudesse fazer o papel de força centrífuga.

É claro que, pela terceira lei de Newton, se o fundo da lata exerce uma força sobre o inseto, este exerce uma força sobre o fundo da lata, de mesmo módulo e direção, mas de sentido contrário. Assim, esta última força, dirigida radialmente para fora, não atua sobre o inseto, mas sobre a lata.

Com o inseto dentro da lata, e ignorando a pequena força de atrito do inseto sobre a lata, a força centrípeta responsável pelo MCU da lata é a resultante da soma vetorial das forças horizontais que o fio e o inseto exercem sobre ela.

Sob o ponto de vista do inseto (observador em um referencial não inercial), existe uma força que o empurra contra o fundo da lata. Esta força é tão real para ele quanto, para nós, a força gravitacional que nos puxa para o centro da Terra. Esta força sobre o inseto, que só existe para ele, que é um observador não inercial, é conhecida como força centrífuga, porque tende a afastá-lo do centro da trajetória circular. Mas o inseto não se afasta do centro da trajetória circular porque é impedido pelo fundo da lata, ou seja, existem duas forças horizontais sobre ele: a força centrífuga e a força que o fundo da lata exerce, ambas com o mesmo módulo e direção, mas de sentido contrário. E nem por isso constituem um par ação-reação no espírito da terceira lei de Newton, mesmo porque estão sobre o mesmo corpo e são de naturezas diferentes. A força centrífuga é um efeito devido ao caráter não inercial do referencial associado ao inseto e não pode ser atribuída a qualquer interação fundamental, e a força que o fundo da lata exerce sobre o inseto é, em última instância, de caráter eletromagnético. Como estão sobre o mesmo corpo, estas forças cancelam-se e o inseto permanece em repouso em relação à lata e ao centro da trajetória circular.

De qualquer modo, como a força que o fundo da lata exerce sobre o inseto é a força centrípeta do seu MCU para o observador em um referencial inercial, temos:

ou seja, a força centrípeta (vista pelo observador inercial) e a força centrífuga (vista pelo observador não inercial) têm o mesmo módulo.

I.4. Imponderabilidade

Consideremos outro exemplo de MCU: em um referencial inercial fixo no centro da Terra, um objeto (de massa m) descreve uma órbita circular de raio R ao redor da Terra (de massa M)(Fig.7). Sendo a órbita circular, a força gravitacional da Terra sobre o objeto (a força peso do objeto) é a força centrípeta. Assim:

onde G representa a constante universal da gravitação. O raio da órbita fica dado por:

O raio da órbita depende de G, uma constante universal, de M, a massa da Terra, e de v, o módulo da velocidade linear orbital do objeto. O raio da órbita não depende da massa do objeto. Assim, por exemplo, um astronauta dentro de uma nave espacial e a própria nave, tendo ambos a mesma velocidade linear orbital, têm órbitas com o mesmo raio (Fig.8). Então, astronauta e nave ficam em repouso um em relação ao outro e o astronauta parece flutuar dentro da nave. Este fenômeno é o que se chama de imponderabilidade e não significa falta de gravidade ou falta de peso, já que são justamente os pesos dos objetos (astronauta e nave, neste caso) que fazem o papel de forças centrípetas para garantir que as respectivas órbitas sejam circulares.

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