Raciocinio Logico

Raciocinio Logico

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Caros Amigos,

Antes de remetê-los ao estudo do Raciocínio Lógico

Quantitativo, duas palavrinhas.

Primeiro: esta apostila é apenas a parte inicial do nosso estudo, a qual será complementada pelo segundo “volume”. Pretendo disponibilizar o material complementar nos próximos dias.

Neste presente trabalho, estudaremos Análise Combinatória (princípio fundamental da contagem, arranjo, permutação e combinação), Probabilidade e questões de “Raciocínio Puro” (como eu costumo chamar), envolvendo um tipo mais específico de enunciado (relações de conseqüência).

Na próxima apostila trataremos acerca da Álgebra Linear (matrizes e determinantes), bem como outros diversos tipos de enunciado, relativos às questões de raciocínio puro.

Quero deixar claro que não tenho a pretensão de esgotar um assunto como este, tão vasto e tão cheio de “possibilidades”. A intenção foi, senão outra, apresentar a matéria da forma mais clara e didática possível, trabalhando com questões em nível crescente de dificuldade.

Sobretudo, dei ênfase à apresentação e à resolução de questões que caíram em provas passadas e recentes feitas pela Esaf, que será a elaboradora dessa nossa prova do MPU.

Dada a exigüidade do tempo, não vejo outra forma de tornar o candidato mais confiante e apto a enfrentar essa disciplina, a qual assusta muito mais pelo nome que tem do que pela dificuldade que de fato apresenta.

Uma última observação: elaborei essa apostila em três cores (preto, azul e vermelho), não para deixá-la mais bonita, mas com pretensões didáticas, para facilitar (sobretudo no último capítulo) a compreensão do aluno. Agora, mãos à obra! Bom estudo a todos e boa sorte.

Prof. Sérgio Carvalho

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Capítulo 01: ANÁLISE COMBINATÓRIA

Análise Combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado evento (acontecimento) sem, necessariamente, descrever todas estas possibilidades.

Imaginemos a seguinte situação:

Exemplo 01) “uma moeda e lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa?”

Um artifício que poderemos usar para “visualizar” as possíveis soluções para esse problema, ou seja, para descobrir as possibilidades de resultado dos três lançamentos de uma moeda, é construir o chamado “Diagrama da Árvore”, da seguinte forma:

Cara

Cara à (Cara, Cara, Cara) Coroa à (Cara, Cara, Coroa)

CaraCara à (Cara, Coroa, Cara)

Coroa Coroa à (Cara, Coroa, Coroa)

Cara à (Coroa, Cara, Cara)
Cara

Coroa à (Coroa, Cara, Coroa)

CoroaCara à (Coroa, Coroa, Cara)

Coroa Coroa à (Coroa, Coroa, Coroa)

Pronto! Já descobrimos, com esse simples desenho, que são oito os diferentes resultados que podem ser encontrados com três lançamentos sucessivos de uma moeda. Esses resultados estão colocados em azul.

Será que todos compreendemos o tal do “Diagrama da Árvore”?

Nele, nós separamos em etapas diferentes o problema, e, para cada etapa, colocamos os resultados possíveis. Vamos entender melhor: o nosso problema consiste em lançar três vezes a mesma moeda.

Daí, as três etapas serão os três lançamentos: o primeiro lançamento da moeda é a primeira etapa; o segundo lançamento é a segunda etapa; e, enfim, o terceiro lançamento é a terceira etapa.

Vamos identificar, no desenho abaixo, as três etapas do problema, uma a uma.

1ª Etapa: 2ª Etapa: 3ª Etapa:

Página 3 de 105 Ponto dos Concursos Prof. Sérgio Carvalho 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento Resultados Possíveis

Cara

Cara à (Cara, Cara, Cara) Coroa à (Cara, Cara, Coroa)

CaraCara à (Cara, Coroa, Cara)

Coroa Coroa à (Cara, Coroa, Coroa)

Cara

Cara à (Coroa, Cara, Cara) Coroa à (Coroa, Cara, Coroa)

CoroaCara à (Coroa, Coroa, Cara)

Coroa Coroa à (Coroa, Coroa, Coroa)

Melhorou? Vamos entender esses nomes que estão em vermelho acima! O primeiro “cara” em vermelho é o resultado do primeiro lançamento. Estamos supondo, portanto, que deu “cara” na primeira vez que lançamos a moeda. Seguindo, passamos à segunda etapa (o segundo lançamento). Ora, antes de lançarmos a segunda vez, já sabemos que os resultados possíveis serão “cara” ou “coroa”. Por isso esses dois resultados estão colocados no desenho.

O segundo nome em vermelho é “coroa”. Estamos, portanto, supondo que, após dar “cara” no primeiro lançamento, deu agora “coroa”, no segundo!

Resta apenas a última etapa: o terceiro lançamento da moeda. Antes de realizarmos este último lançamento, já conhecemos que os resultados possíveis são “cara” ou “coroa”. E estão lá, desenhadas, essas duas possibilidades. Finalmente, assumindo que os resultados dos dois lançamentos anteriores foram “cara” e “coroa”, o terceiro nome em vermelho é novamente “cara”. Daí, chegamos a um dos oito resultados possíveis para o problema, ou seja, seguimos um dos caminhos possíveis, no lançamento “triplo” de uma moeda: “cara, coroa, cara”.

Vejamos um outro exemplo:

Exemplo 02) “Num hospital, existem 3 portas de entrada (P1, P2 e P3) que dão para um saguão, no qual existem 4 elevadores (E1, E2, E3 e E4). Um visitante deve dirigir-se ao 5º andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?

Novamente aqui poderemos usar o artifício que aprendemos acima e desenhar o

“Diagrama da Árvore”, a fim de tentarmos visualizar os resultados possíveis, ou seja, as diferentes maneiras pelas quais uma pessoa poderá chegar ao quinto andar do hospital, usando uma das portas de entrada e um dos elevadores.

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Teremos o seguinte:

E1 à (P1, E1) E2 à (P1, E2)

P1 E3 à (P1, E3) E4 à (P1, E4)

P2 E3 à (P2, E3)

E1 à (P2, E1) E2 à (P2, E2) E4 à (P2, E4)

E1 à (P3, E1) E2 à (P3, E2)

P3 E3 à (P3, E3) E4 à (P3, E4)

Em azul, estão as doze possibilidades distintas de, usando uma das três portas e um dos quatro elevadores, chegarmos ao quinto andar!

Novamente, observamos que o nosso problema pode ser “dividido” em duas etapas – distintas e independentes! A primeira etapa seria a escolha do portão de entrada. E a segunda etapa seria a escolha do elevador que se vai utilizar.

Desenhemos novamente o “Diagrama da Árvore”, discriminando essas duas etapas:

1ª Etapa: 2ª Etapa: Resultados
(escolha do portão)(escolha do elevador) possíveis:

E1 à (P1, E1) E2 à (P1, E2)

P1 E3 à (P1, E3) E4 à (P1, E4)

P2 E3 à (P2, E3)

E1 à (P2, E1) E2 à (P2, E2) E4 à (P2, E4)

E1 à (P3, E1) E2 à (P3, E2)

P3 E3 à (P3, E3) E4 à (P3, E4)

Neste exemplo, facilmente constatamos que há doze diferentes modos (ou possibilidades) de se chegar ao quinto andar do hospital.

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Ora, creio que até aqui não está havendo maiores problemas. Mas, suponhamos que um novo exemplo sugerisse a seguinte situação:

Exemplo 03) “Um quartel tem quinze portas de entrada, que dão acesso a um grande salão, no qual há nada menos que doze elevadores. Se uma pessoa deseja chegar ao terceiro andar, de quantos modos diferentes poderá fazê-lo?”

até o fim da prova tentando fazer esse desenho

Agora sim, estamos com um problema! Já pensou se nós tivéssemos que desenhar o “Diagrama da Árvore” para chegarmos à solução dessa questão? Estaríamos perdidos, por dois motivos: falta de espaço no papel e, principalmente, falta de tempo! Levaríamos

Aí é que entra a Análise Combinatória! Vejamos novamente o conceito que está bem no início desta nossa aula:

“Análise Combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado evento (acontecimento) sem, necessariamente, descrever todas estas possibilidades.”

Ou seja, não precisaremos desenhar o “Diagrama da Árvore” para chegarmos ao resultado que procuramos! Aprenderemos agora o “Princípio Fundamental da Contagem”!

Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que:

P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa; P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa; . . Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então:

(P1 x P2 xx Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer!

Tomemos o primeiro exemplo dessa aula: lançaríamos três vezes a mesma moeda.

Daí, as três etapas desse problema seriam os três lançamentos sucessivos. Para o primeiro lançamento, havia duas possibilidades de resultado: cara ou coroa; para o segundo lançamento, também havia as mesmas duas possibilidades: cara ou coroa; finalmente, para o terceiro lançamento, idem! Tínhamos, portanto:

1ª Etapa à 1º lançamento à duas possibilidades: P1=2 2ª Etapa à 2º lançamento à duas possibilidades: P2=2 3ª Etapa à 3º lançamento à duas possibilidades: P3=2

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Daí, pelo “Princípio Fundamental da Contagem”, chegaremos ao Número Total de Possibilidades de realização do evento: Ptotal

Ptotal = P1 x P2 x P3 à Daí: Ptotal = 2 x 2 x 2 à Ptotal = 8 à Resposta!

Este resultado está perfeitamente de acordo com aquele que encontramos “desenhando” a questão por meio do “Diagrama da Árvore”.

No segundo exemplo que fizemos, tínhamos que chegar ao quinto andar do hospital, optando por um dos três portões de entrada, e depois, por um dos quatro elevadores. Tínhamos, pois, duas etapas distintas: a escolha do portão, e a escolha do elevador. Para a primeira etapa, havia três possibilidades, uma vez que eram três os portões do hospital. Na segunda etapa, uma vez no saguão do hospital, poderíamos optar entre quatro elevadores, de modo que tínhamos quatro possibilidades. Em suma:

1ª Etapa à escolha do portão à três possibilidades: P1=3 2ª Etapa à escolha do elevador à quatro possibilidades: P2=4 Usando o “Princípio Fundamental da Contagem”, chegaremos ao seguinte: Ptotal = P1 x P2 à Daí: Ptotal = 3 x 4 à Ptotal = 12 à Resposta!

Voltemos agora ao exemplo 03:

Exemplo 03) “Um quartel tem quinze portas de entrada, que dão acesso a um grande salão, no qual há nada menos que doze elevadores. Se uma pessoa deseja chegar ao terceiro andar, de quantos modos diferentes poderá fazê-lo?”

As etapas aqui são também duas:

1ª Etapa à escolha da porta à quinze possibilidades: P1=15 2ª Etapa à escolha do elevador à doze possibilidades: P2=12 Daí, pelo “Princípio Fundamental da Contagem”, teremos: Ptotal = P1 x P2 à E: Ptotal = 15 x 12 à Ptotal = 180 à Resposta!

Passemos à resolução de uma série de outros exemplos, a fim de consolidar o que já aprendemos!

Exemplo 04) Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares?

Sol.: Ora, nosso objetivo aqui será o de preencher as três primeiras posições dos que chegaram à frente na corrida, dentre os seus quatro participantes.

Serão três as etapas dessa resolução dessa questão, quais sejam: 1ª Etapa) ocupar a primeira colocação na corrida; 2ª Etapa) ocupar a segunda colocação na corrida;

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3ª Etapa) ocupar a terceira colocação na corrida.

Como são quatro competidores, haverá, na primeira etapa, quatro possíveis ganhadores, ou seja, haverá quatro possibilidades distintas de alguém ocupar o primeiro lugar no resultado da corrida.

Como o primeiro colocado – o ganhador da corrida – não poderá estar em outra posição (senão a de vencedor), a segunda etapa disporá de apenas três possibilidades. Ou seja, haverá três corredores que poderão ocupar o segundo lugar no pódio de chegada.

Finalmente, após definidos os dois primeiros colocados, restarão dois competidores, os quais poderão, evidentemente, ocupar o terceiro lugar na ordem de chegada. São, pois, duas possibilidades na terceira etapa definida acima.

Teremos, portanto: 1ª Etapa) ocupar a primeira colocação na corrida à quatro possibilidades à P1=4 2ª Etapa) ocupar a segunda colocação na corrida à três possibilidades à P2=3 3ª Etapa) ocupar a terceira colocação na corrida à duas possibilidades à P3=2 Daí, pelo “Princípio Fundamental da Contagem”, teremos: Ptotal = P1 x P2 x P3 à E: Ptotal = 4 x 3 x 2 à Ptotal = 24 à Resposta!

Tentaremos, doravante, ilustrar as etapas dos eventos propostos nos exemplos por meio de “quadrados”, a fim de tentar melhorar nosso entendimento.

Por exemplo, tomando a questão acima, as etapas da resolução seriam três. Daí:

à 1ª posição à P1= 4 (há quatro atletas que poderiam ocupar essa posição!) à 2ª posição à P2=3 (três atletas podem ocupar essa posição) à 3ª posição à P3=2 (dois atletas podem ocupar essa posição)

Exemplo 05) De quantos modos três pessoas podem ficar em fila indiana?

Sol: Teremos aqui três etapas: definir o ocupante da primeira posição da fila; definir o ocupante da segunda posição da fila; e definir o ocupante da terceira posição da fila.

Teremos:

à 1ª posição da fila à P1=3 Significa que qualquer das três pessoas poderia ocupar a primeira posição!

Página 8 de 105 Ponto dos Concursos Prof. Sérgio Carvalho à 2ªposição da fila à P2=2

Significa que, após o primeiro da fila ter-se posicionado, qualquer das duas pessoas restantes poderá vir a ocupar a segunda posição! à 3ªposição da fila à P3=1

Significa que, estando já ocupadas as duas primeiras posições da fila, só restou uma pessoa a ocupar-lhe a última posição.

à P2=2Ptotal=P1xP2xP3 à Ptotal = 3x2x1=6 à Resposta!

Daí: à P1=3 à P3=1

Exemplo 06) João vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?

Sol: Aqui haverá duas etapas: primeiro, a escolha da carne; depois, a escolha da sobremesa! Teremos, pois:

à escolha da carne à P1=8

Significa que há oito possibilidades na escolha da carne, já que há oito tipos de carne! à escolha da sobremesa à P2=5

Significa que há cinco possibilidades na escolha da sobremesa, já que há oito tipos de sobremesa!

à P1=8Ptotal=P1xP2 à Ptotal = 8x5=40 à Resposta!
à P2=5

Exemplo 07) Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

Sol.: Ora, é fácil perceber que teremos aqui duas etapas: definir quem ocupará a posição do homem; e definir quem ocupará a posição da mulher. Teremos:

à escolha do homem do casal à P1=80

Significa que há oitenta possibilidades na escolha da homem do casal, já que há oitenta homens na festa!

Página 9 de 105 Ponto dos Concursos Prof. Sérgio Carvalho à escolha da mulher do casal à P2=90

Significa que há noventa possibilidades na escolha da mulher do casal, já que há noventa mulheres na festa!

à P1=80Ptotal=P1xP2 à Ptotal = 80x90=7.200 à Resposta!
à P2=90

Exemplo 08) De quantas formas podemos responder a doze perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são “SIM” ou “NÃO”?

Sol.: Neste caso, teremos doze etapas em nossa resolução. Cada resposta que dermos às perguntas do questionário será uma etapa. Então, teremos:

à resposta à primeira pergunta à P1=2 Significa que há duas possibilidades de resposta: SIM ou NÃO! à resposta à segunda pergunta à P2=2

Significa que há duas possibilidades de resposta: SIM ou NÃO! à resposta à décima segunda pergunta à P12=2 Significa que há duas possibilidades de resposta: SIM ou NÃO!

Ptotal=P1xP2x...xP12àPtotal = 2x2x...x2
Daí: Ptotal = 212 à Resposta!

Daí: à P1=2 à P2=2 à P12=2

Exemplo 09) Quantos números de três algarismos – iguais ou distintos – podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 7 e 8?

Sol.: Ora, como queremos formar números de três algarismos, teremos aqui três etapas: preencher a primeira posição do número; preencher a segunda posição do número; e, enfim, preencher a terceira posição daquele número. Teremos:

à 1º algarismo do número à P1=5

Significa que cinco algarismos que poderiam ocupar a primeira posição do número!

Página 10 de 105 Ponto dos Concursos Prof. Sérgio Carvalho à 2º algarismo do número à P2=5

Aqui, muita atenção! O enunciado falou que os algarismos que formarão esse número podem ser iguais ou distintos. Isso quer dizer que aquele número que eventualmente ocupou a primeira posição do número poderá vir a aparecer novamente aqui, na segunda posição! Por isso, haverá novamente cinco algarismos possíveis, para ocupar a segunda posição do nosso número! à 3º algarismo do número à P3=5

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