álgebra vetorial e Geometria analítica

(Parte 1 de 15)

álgebra vetorial e geometria analítica

9.ª edição (atualizada)

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jacirventuri@geometriaanalitica.com.br

© Copyright by Jacir J. Venturi

FICHA CATALOGRÁFICA Catalogação na fonte: Biblioteca Central UFPR

VENTURI, Jacir J., 1949 - Álgebra Vetorial e Geometria Analítica / Jacir J. Venturi - 9.ª ed. - Curitiba 242 p.: il. Inclui Bibliografia. ISBN 85.85132-48-5

1. Álgebra Vetorial.2. Geometria Analítica. I. Título.CDD 512.5 CDU 514.124

ISBN 85-85 132-48-5 REF. 072

Composição/Desenhos:	Herica Yamamoto
Capa/Projeto Gráfico:	Beatriz Susana

Impressão e Acabamento: Artes Gráficas e Editora Unificado grafica@unificado.com

Dedico às pessoas que procuram o melhor no outro e ao outro também oferecem o melhor de si.

Jacir J. Venturi

Dedico às pessoas que procuram o melhor no outro e ao outro também oferecem o melhor de si.

Jacir J. Venturi

Índice CAPÍTULO1

CAPÍTULO2

CAPÍTULO3

CAPÍTULO4

Elementos primitivos
Pontoe reta impróprios
Reta orientada
Medida algébrica de um segmento
Razão simples de três pontos
Divisão áurea
Abscissas na reta
Distância entre dois pontos
Razão simples de três pontos
Sistema cartesiano ortogonal
Sistema cartesiano oblíquo
Pares ordenados: operaçõese igualdade
Distância entre dois pontos
Pontoquedivideum segmentonumarazãodada
Baricentro de um triângul o
Sistema polar

cartesiano ortogonal
Sistema cartesiano ortogonal
Distância entre dois pontos
Pontoquedivideum segmentonumarazãodada
Baricentro do triângulo
Sistema cilíndrico
Sistema esférico

Passagemdosistemapolarparao sistema

CAPÍTULO5

CAPÍTULO6 CAPÍTULO7

Sinopse histórica
Grandezas escalarese vetoriais
Definições, etimologiae notações
Paralelismo de vetores
Multiplicação de um vetor por umescala r
Coplanaridade de vetores
Adiçãod e vetores
Subtração de vetores
Combinação linear de vetores
Expressão cartesiana de umveto r
Condição de paralelismo de dois vetores
Condição de coplanaridade de vetores
Combinação linear de quatro vetores
Ângulo de dois vetores
Multiplicação interna ou escalar
Expressão cartesiana do produto escalar
Multiplicação vetorial ou externa
Área de um paralelogramoe de umtriângulo
Multiplicação mista
Duplamultiplicaçã o vetorial
Projeção de umveto r sobre umoutro vetor
Projeção de umpont o sobre umplan o
Distância de pontoa plano
Distância de umpont oa reta
Distância entre duas retas
Área de um triângulo
Áreadaprojeçãoortogonaldeumtriângulosobreumplano

de umtriângul o sobre umplan o
Co-senos diretores de umveto r
Equação do plano
Pertinência de pontoa plano

Áreadaprojeçãonãoortogonal

Índice CAPÍTULO1

CAPÍTULO2

CAPÍTULO3

CAPÍTULO4

Elementos primitivos
Pontoe reta impróprios
Reta orientada
Medida algébrica de umsegment o
Razão simples de três pontos
Divisão áurea
Abscissas na reta
Distância entre dois pontos
Razão simples de três pontos
Sistema cartesiano ortogonal
Sistema cartesiano oblíquo
Pares ordenados: operaçõese igualdade
Distância entre dois pontos
Pontoquedivideumsegmentonumarazãodada
Baricentro de umtriângul o
Sistema polar

cartesiano ortogonal
Sistema cartesiano ortogonal
Distância entre dois pontos
Pontoquedivideumsegmentonumarazãodada
Baricentro do triângulo
Sistema cilíndrico
Sistema esférico

Passagemdosistemapolarparao sistema

CAPÍTULO5

CAPÍTULO6 CAPÍTULO7

Sinopse histórica
Grandezas escalarese vetoriais
Definições, etimologiae notações
Paralelismo de vetores
Multiplicação de um vetor por um escala r
Coplanaridade de vetores
Adiçãod e vetores
Subtração de vetores
Combinação linear de vetores
Expressão cartesiana de um vetor
Condição de paralelismo de dois vetores
Condição de coplanaridade de vetores
Combinação linear de quatro vetores
Ângulo de dois vetores
Multiplicação interna ou escalar
Expressão cartesiana do produto escalar
Multiplicação vetorial ou externa
Área de um paralelogramoe de um triângul o
Multiplicação mista
Duplamultiplicaçã o vetorial
Projeção de um veto r sobre um outr o vetor
Projeção de um pont o sobre um plan o
Distância de pontoa plano
Distância de um pont oa reta
Distância entre duas retas
Área de um triângulo
Áreadaprojeçãoortogonaldeum triângulosobreum plano

de um triângul o sobre um plan o
Co-senos diretores de umveto r
Equação do plano
Pertinência de pontoa plano

Áreadaprojeçãonãoortogonal

04. Equação segmentária do plano

ortogonal a um vetor
06. Casos particulares da equação geral do plano
07. Paralelismo e ortogonalidade de dois planos
08. Equação do feixe de dois planos
09. Distância de um P a um plano α
10. Equação dos planos bissetores
1. Ângulo de dois planos	A RETA NO E
01. Equações da reta
02. Posições relativas de duas retas
03. Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas
04. Condição de coplanaridade de duas retas
05. lnterseção de reta e plano
06. lnterseção de duas retas
07. Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano
08. Distância de um ponto a uma reta
09. Distância entre duas retas reversas
10. Ângulo de duas retas
1. Ângulo de uma reta com um plano

03. lnterseção de um plano com os eixos coordenados ....................... 05. Equação do plano que passa por um ponto e CAPÍTULO 8

eAPÊNDICE - RECR ANDOi

lnterseçãodeumplanocomoseixoscoordenados
Equação segmentária do plano

ortogonala umveto r
Casos particulares da equação geraldo plano
Paralelismoe ortogonalidade de dois planos
Equação do feixe de dois planos
Distância de um P a umplan o
Equação dos planos bissetores
Ângulo de dois planos
Equações da reta
Posições relativas de duas retas
Condiçõesdeparalelismoe ortogonalidadededuasretas
Condição de coplanaridade de duas retas
lnterseção de retae plano
lnterseção de duas retas
Condiçõesdeparalelismoe ortogonalidadederetae plano
Distância de umpont oa uma reta
Distância entre duas retas reversas
Ângulo de duas retas
Ângulo de uma reta com umplan o	a

Equaçãodoplanoquepassaporumpontoe CAPÍTULO8

APÊNDICE- RECR ANDOe

i

ÁLGEBRA VETORIALE GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi PREFÁCIO

O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma premissa básica: que fosse acessível ao aluno do 1.º ano da faculdadee para tanto sua linguagem teria que ser tão clarae didática quanto possível. Por vezes, preferiu-sea apresentação intuitiva aosrefinamentosteóricos.

Contém 421 exercícios (com seus subitens) em ordem crescente de dificuldade. Para uma boa assimilação do texto, resolveremosdiversosexercíciosemaula,deixandoosdemaisa cargo do aluno. Propositalmente, não se inseriram no texto exercícios resolvidos (afora alguns exemplos de aplicação imediata da teoria) para uma maior valorização da aula, enlevandoa interação aluno-professor.O aluno deve ter em mente queà resolução dos exercícios deve preceder um bom conhecimentodateoria.

Um grand e númer o de ilustraçõe s facilit ao entendimento do textoeé imprescindível quando se almejaa formação de uma visão espacial na Geometria Analítica Tridimensional. Há sinopses históricas, indicações de aplicabilidade práticae sugestões paraa resolução de exercícios, no intuitodemotivaro alunonaquiloqueestáestudando.

Os quatros primeiros capítulos integramo programa da

Geometria Analítica na UFPRe foram abordados de maneira concisa para não penalizar importantes capítulos vindouros da disciplina:reta,plano,cônicas,superfícies,etc.

Os capítulos5e6 tratam de vetores. Há inúmeros caminhos paraa resolução de problemas geométricos através da Álgebra, porémo tratamento vetorialéo mais indicado pela sua elegânciae simplicidade, além de ser assaz importantea outras disciplinas.A um bom rendimento escolar em Geometria Analítica, com enfoque vetorial, atrela-se um respeitável conhecimentodoscapítulos5e 6.

Há que se tomar público que, faceà nossa formação acadêmicae relacionamento profissional,o presente trabalho recebeu preponderante influência do livro Geometria Analíticae Vetores, do Professor Leo Barsotti, que recomendamosa todos os alunos que aspirama um aprofundamentoea um maior rigor noassunto.

Ademais, cumprimoso elementar dever de gratidão pelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaòka, Osny A. Dacol, Ana Maria N. de Oliveira, Luci C. Watanabee Ivo

J.Rieglersedispuserama lero manuscritoe apresentarsugestões. O mesmo preito de gratidão estendemosà plêiade de colegase amigos do Depto. de Matemática da UFPR, que nos propiciaram uma convivência de crescimento na disciplina, em mais de quatro lustros.

Críticase sugestões hão de surgir.E serão bem-vindas.

Resta-noso consolo de ter envidado esforços para empregar utilmenteo nossotempo."Acensura quenosforfeita- sefazoportuno Souza Pinto- há de ser mitigada pelo censor se ele chegara ter consciênciadenossaboavontadeemacertar."

ÁLGEBRA VETORIALE GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi PREFÁCIO

O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma premissa básica: que fosse acessível ao aluno do 1.º ano da faculdadee para tanto sua linguagem teria que ser tão clarae didática quanto possível. Por vezes, preferiu-sea apresentação intuitiva aosrefinamentosteóricos.

Contém 421 exercícios (com seus subitens) em ordem crescente de dificuldade. Para uma boa assimilação do texto, resolveremosdiversosexercíciosemaula,deixandoosdemaisa cargo do aluno. Propositalmente, não se inseriram no texto exercícios resolvidos (afora alguns exemplos de aplicação imediata da teoria) para uma maior valorização da aula, enlevandoa interação aluno-professor.O aluno deve ter em mente queà resolução dos exercícios deve preceder um bom conhecimentodateoria.

Um grand e númer o de ilustraçõe s facilit ao entendimento do textoeé imprescindível quando se almejaa formação de uma visão espacial na Geometria Analítica Tridimensional. Há sinopses históricas, indicações de aplicabilidade práticae sugestões paraa resolução de exercícios, no intuitodemotivaro alunonaquiloqueestáestudando.

Os quatros primeiros capítulos integramo programa da

(Parte 1 de 15)