Apostila Elementos de maquinas I, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 ÍNDICE 1  ANÁLISE DE TENSÕES ............................................................................................................................................ 11  1.1  PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ........................................................................................... 11  1.2  INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 11  1.3  DEFINIÇÕES ........................................................................................................................................................... 12  1.3.1  Tensão ......................................................................................................................................................... 12  1.3.2  Diagrama Tensão-Deformação .................................................................................................................. 13  1.3.3  Ductilidade .................................................................................................................................................. 17  1.3.4  Maleabilidade ............................................................................................................................................. 18  1.3.5  Dureza ......................................................................................................................................................... 18  1.3.6  Resiliência ................................................................................................................................................... 18  1.3.7  Tenacidade .................................................................................................................................................. 18  1.4  TENSÕES ............................................................................................................................................................... 19  1.4.1  Tensão Normal de Tração ou Compressão ................................................................................................. 19  1.4.2  Tensão de Corte devido ao Cisalhamento Simples ..................................................................................... 19  1.4.3  Tensão Normal na Flexão ........................................................................................................................... 21  1.4.4  Tensão de Cisalhamento na Torção ............................................................................................................ 21  1.4.5  Tensão de Cisalhamento na Flexão ............................................................................................................ 22  1.5  ANÁLISE DE TENSÕES ........................................................................................................................................... 23  1.5.1  Tensões Principais ...................................................................................................................................... 25  1.5.2  Círculo de Mohr .......................................................................................................................................... 28  1.6  EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 30  2  SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS .................................................................................................................................. 33  2.1  PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ........................................................................................... 33  2.2  INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 33  2.3  TEORIAS PARA FALHAS ESTÁTICAS ........................................................................................................................ 34  2.3.1  Teoria da Tensão Normal Máxima ............................................................................................................. 35  2.3.2  Teoria da Tensão Máxima de Cisalhamento ............................................................................................... 37  2.3.3  Teoria de Huber-von Mises - Hencky ou da Máxima Energia de Distorção .............................................. 41  2.3.4  Comparação entre as três teorias aplicadas a materiais Dúcteis .............................................................. 43  2.3.5  Teoria de Coulomb Mohr ............................................................................................................................ 43  2.3.6  Teoria de Mohr Modificada ........................................................................................................................ 44  2.4  CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ............................................................................................................................... 46  2.4.1  Efeito da Concentração de Tensões em materiais dúcteis .......................................................................... 48  2.4.2  Efeito da Concentração de Tensões em materiais frágeis .......................................................................... 48  2.5  EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 55  3  SOLICITAÇÕES DINÂMICAS ................................................................................................................................. 57  3.1  PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ........................................................................................... 57  Elementos de Máquinas I vi Prof. Douglas Roberto Zaions 3.2  INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 58  3.3  TIPOS DE CARGA DINÂMICAS ................................................................................................................................. 58  3.3.1  Carga Repetida ........................................................................................................................................... 58  3.3.2  Carga Alternante ........................................................................................................................................ 59  3.3.3  Carga Flutuante .......................................................................................................................................... 60  3.4  MECANISMO DA FALHA POR FADIGA ..................................................................................................................... 61  3.5  MEDIÇÃO DAS FALHAS POR FADIGA ...................................................................................................................... 62  3.5.1  Ensaio de flexão alternante - Tensões totalmente reversas ........................................................................ 62  3.5.2  Tensão limite de Resistência a Fadiga ........................................................................................................ 65  3.5.3  Ensaio com força axial alternante .............................................................................................................. 65  3.5.4  Ensaio de flexão em viga engastada ........................................................................................................... 67  3.5.5  Ensaio de Fadiga Torcional ....................................................................................................................... 67  3.5.6  Fatores de correção da Resistência a Fadiga ............................................................................................ 68  3.5.7  Valores teóricos de Se´ e Sf´ ........................................................................................................................ 69  3.5.8  Fator de correção do tipo de carga ............................................................................................................ 69  3.5.9  Fator de correção do tamanho da peça ...................................................................................................... 69  3.5.10  Fator de correção do Acabamento Superficial da Peça ............................................................................. 71  3.5.11  Fator de correção da temperatura .............................................................................................................. 72  3.5.12  Fator de correção da Confiabilidade ......................................................................................................... 72  3.6  INFLUÊNCIA DA COMBINAÇÃO DE TENSÕES MÉDIAS E ALTERNANTES .................................................................... 73  3.7  ENTALHES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ........................................................................................................... 76  3.7.1  Fator de Concentração de Tensões aplicado a tensões médias e Alternantes ............................................ 79  3.8  CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA TENSÃO X VIDA ..................................................................................................... 79  3.9  CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA MODIFICADO DE GOODMAN ................................................................................... 81  3.10  TEORIAS DE FALHA DINÂMICA ............................................................................................................................. 82  3.10.1  Cargas totalmente Alternantes com tensões Unidirecionais....................................................................... 84  3.10.2  Cargas Flutuantes com Tensão Unidirecional ........................................................................................... 85  3.10.3  Projetando para tensões multiaxiais na fadiga ........................................................................................... 89  3.10.4  Cargas totalmente alternantes com tensões multiaxiais ............................................................................. 89  3.10.5  Cargas Flutuantes com Tensões multiaxiais ............................................................................................... 90  3.11  EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 93  4  EIXOS E ÁRVORES ................................................................................................................................................... 95  4.1  INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 95  4.2  DEFINIÇÕES ........................................................................................................................................................... 95  4.3  MATERIAIS PARA CONSTRUÇÃO DE EIXOS ............................................................................................................. 96  4.4  TENSÕES EM EIXOS E ÁRVORES ............................................................................................................................ 96  4.5  FALHA DE EIXOS COM TENSÕES COMBINADAS ..................................................................................................... 98  4.6  PROJETO DE EIXOS ................................................................................................................................................. 99  4.6.1  Regras Gerais para o projeto de eixos ....................................................................................................... 99  4.6.2  Projeto de Árvores combinando Flexão alternante e Torção Constante .................................................. 100  4.7  PROJETO DE EIXOS COMBINADO FLEXÃO FLUTUANTE E TORÇÃO FLUTUANTE ................................................... 103  4.8  VELOCIDADE CRÍTICA DE EIXOS E ÁRVORE ........................................................................................................ 104  4.8.1  Vibração lateral forçada ........................................................................................................................... 105  4.8.2  Vibrações auto-excitadas .......................................................................................................................... 106  4.9  EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 108  5  PARAFUSOS DE FIXAÇÃO.................................................................................................................................... 114  5.1  INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 114  5.2  VANTAGEM E DESVANTAGEM DAS UNIÕES PARAFUSADAS................................................................................. 115  5.3  TERMINOLOGIA DE ROSCAS ................................................................................................................................ 117  5.3.1  Rosca Whiworth ........................................................................................................................................ 118  5.3.2  Rosca Sellers ............................................................................................................................................. 118  5.3.3  Rosca Métrica ........................................................................................................................................... 118  5.3.4  Padronização ............................................................................................................................................ 119  5.4  ERROS QUE PODEM OCORRER NOS AJUSTES ROSCADOS ...................................................................................... 121  5.4.1  Erro de Passo ............................................................................................................................................ 121  5.4.2  Erro no ângulo de Flancos α .................................................................................................................... 121  5.4.3  Erro do diâmetro de Flancos(efetivo) ....................................................................................................... 122  5.5  TIPOS DE PARAFUSOS .......................................................................................................................................... 123  5.5.1  Parafuso passante normal ........................................................................................................................ 123  5.5.2  Parafuso com Cabeça ............................................................................................................................... 123  5.5.3  Parafuso Prisioneiro ................................................................................................................................. 124  5.5.4  Parafuso com porca nas duas extremidades ............................................................................................. 125  5.5.5  Parafuso com cabeça de embutir .............................................................................................................. 125  5.5.6  Parafusos com fenda na cabeça ................................................................................................................ 126  5.5.7  Parafusos de Alta Resiliência ................................................................................................................... 126  5.5.8  Parafusos Chumbadores ........................................................................................................................... 126  5.5.9  Parafusos para Metais Leves .................................................................................................................... 127  5.5.10  Parafusos de Anel ..................................................................................................................................... 127  5.5.11  Parafusos para madeira............................................................................................................................ 128  5.5.12  Parafusos auto-atarraxantes ..................................................................................................................... 128  5.5.13  Parafusos diferenciais .............................................................................................................................. 128  5.6  PROCESSOS DE FABRICAÇÃO DE ROSCAS ............................................................................................................. 129  5.7  MATERIAIS DAS ROSCAS DOS PARAFUSOS ........................................................................................................... 129  5.8  RESISTÊNCIA DOS PARAFUSOS DE FIXAÇÃO ........................................................................................................ 130  5.9  ÁREA RESISTENTE A TRAÇÃO ............................................................................................................................. 133  5.10  PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A TRAÇÃO .......................................................................................... 134  5.11  PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS ESTÁTICAS ......................................................................... 137  5.12  PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS DINÂMICAS ........................................................................ 141  5.13  DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DO MATERIAL .................................................................................. 143  5.14  TORQUE DE APERTO ............................................................................................................................................ 144  5.15  SEGURANÇA CONTRA AFROUXAMENTO ............................................................................................................... 145  5.15.1  Segurança de força ................................................................................................................................... 145  Elementos de Máquinas I x Prof. Douglas Roberto Zaions 10  MANCAIS DE ROLAMENTO ............................................................................................................................ 255  10.1  TIPOS DE MANCAIS DE ROLAMENTO ................................................................................................................... 256  10.2  ATRITO NOS MANCAIS DE ROLAMENTO .............................................................................................................. 259  10.3  SELEÇÃO DE ROLAMENTOS SEGUNDO A ISO ....................................................................................................... 260  10.3.1  Carga Dinâmica Equivalente .................................................................................................................... 264  10.4  SELEÇÃO DO TAMANHO DO ROLAMENTO UTILIZANDO-SE A CAPACIDADE DE CARGA ESTÁTICA .......................... 265  10.4.1  Carga estática equivalente ........................................................................................................................ 266  10.4.2  Capacidade de carga estática requerida .................................................................................................. 267  10.5  PLANOS DE DIMENSÕES ...................................................................................................................................... 268  10.6  FOLGA INTERNA .................................................................................................................................................. 269  10.7  LUBRIFICAÇÃO .................................................................................................................................................... 270  10.8  VEDAÇÃO ............................................................................................................................................................ 271  10.8.1  Vedadores integrados ............................................................................................................................... 271  10.8.2  Vedadores externos ................................................................................................................................... 272  10.9  APLICAÇÃO DE ROLAMENTOS ............................................................................................................................. 274  10.9.1  Arranjo de rolamentos .............................................................................................................................. 274  10.9.2  Fixação radial dos rolamentos ................................................................................................................. 275  10.9.3  Fixação axial dos rolamentos ................................................................................................................... 275  10.9.4  Métodos de Fixação .................................................................................................................................. 275  10.9.5  Seleção do lubrificante ............................................................................................................................. 277  10.9.6  Lubrificação com Graxa ........................................................................................................................... 278  10.9.7  Métodos de lubrificação com graxa .......................................................................................................... 283  10.9.8  Características dos óleos .......................................................................................................................... 286  10.10  ÓLEOS E GRAXAS PARA LUBRIFICAÇÃO DE ROLAMENTOS ............................................................................. 294  10.11  EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................... 297  11  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................ 298  UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 11 Prof. Douglas Roberto Zaions 1 ANÁLISE DE TENSÕES 1.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO Símbolo Descrição da variável Unidade Descrição da variável em inglês A Área m2 Area E Módulo de elasticidade longitudinal Pa Young’s modulus G Módulo de elasticidade transversal Pa Shear modulus HB Dureza Brinell - Brinell hardness HRB Dureza Rockwell B - Rockell B hardness HRC Dureza Rockwell C - Rockell C hardness HV Dureza Vickers - Vickers hardness Sel Limite de resistência elástica Pa Strenght at elastic limit Sus Limite de resistência ao cisalhamento Pa Ultimate shear strenght Sut Limite de resistência a tração Pa Ultimate tensile strenght Sy Resistência ao escoamento a tração Pa Tensile yield strenght Sys Resistência ao escoamento ao cisalhamento Pa Shear yield strenght ε Deformação percentual Strain σ Tensão normal Pa Tensile stress τ Tensão de corte, cisalhamento ou tangencial Pa Shear stress θ Deflexão angular Pa Angular deflection ν Coeficiente de Poisson Poisson’s ratio Τ Momento Torçor N.m Torque Μ Momento Fletor N.m Moment P Carga N Force 1.2 INTRODUÇÃO Segundo Baud em máquinas e estruturas, a manifestação das forças apresenta-se sob aspectos muito diferentes. Podem ser exteriores ou estar, pelo contrário, no interior dos elementos e por outro lado, são suscetíveis de se exercer sob muitos modos: podem ser estáticas, quer dizer, fixas e sem movimento, ou dinâmicas (ou seja animadas) e produzir assim efeitos bem diferentes. A aparição das forças ou das solicitações se deve a diversas fontes dentre as quais: (i) A gravitação gera a força peso em máquinas e equipamentos; e (ii) O vento, os efeitos térmicos (Dilatação) e químicos podem também gerar forças cujos efeitos desenvolvem as solicitações nos equipamentos. Quaisquer que sejam as fontes que produzam solicitações, estas determinam esforços nos materiais. Estes esforços, verificados pelos cálculos da estática, servem para prever as características dos materiais que devem ser empregados ou para dar a estes as dimensões adequadas. Quando um elemento é mal dimensionado, e no mesmo é aplicada uma carga, este poderá sofrer uma deformação permanente e em muitos casos chegar a ruptura. Elementos de Máquinas I 12 Prof. Douglas Roberto Zaions Na construção de máquina, deve-se sempre evitar as deformações plásticas nas peças, o que ocasionará variação na geometria das mesmas e normalmente modificação na relação funcional. As falhas mais correntes em engenharia são quebras e desintegrações. Ex.: corrosão, desgaste, trincas, etc., mas estes exemplos são praticamente inevitáveis em um maior ou menor espaço de tempo, pois todos os materiais são passíveis de deterioração. Assim, há a necessidade de determinar o nível de tensões atuantes em peças e componentes mecânicos para dimensiona-los. Este capítulo trata especificamente sobre tensões, onde serão descritos os tipos de tensões. 1.3 DEFINIÇÕES 1.3.1 Tensão Tensão é a quociente entre uma força e uma área. Pode ser entendida pela fórmula e ilustração na Figura 1.1, onde F é a força agindo em uma peça e A é a área de sua seção. Tensao Forca Area = As unidades da tensão podem ser: N m kgf cm kgf mm2 2 2 ; ; No Sistema Internacional de Unidades utiliza-se o 2m N F F F Área da Seção Transversal Peça Tracionada Figura 1.1 - Tensão Normal devida ao esforço de tração UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 15 Prof. Douglas Roberto Zaions A ε A’ B Limite de Elasticidade Limite de Proporcionalidade Limite de Resistência Escoamento Limite de Ruptura Fase Elástica Fase Plástica Sut Sy Tensão Deformação C Figura 1.6 - Diagrama Tensão x Deformação Os pontos comuns ilustrados na Figura 1.6 são: Limite de Proporcionalidade: A lei de Hooke só vale até um determinado valor de Tensão, denominado Limite de Proporcionalidade, que é o ponto representado na figura 6 pela letra A, a partir do qual a deformação deixa de ser proporcional à carga aplicada. Exemplo: Se aplicarmos uma tensão de 10 MPa e a peça se alongar 0,1%, quando aplicamos uma tensão de 100 MPa, a peça se deformará 1%. Limite de Elasticidade: O limite elástico representado no diagrama acima pela letra A’. Este ponto representa a tensão máxima que pode ser aplicado a uma barra sem que apareçam deformações residuais, ou permanentes, após a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade são praticamente iguais e esses termos são então empregados como sinônimos. Nos casos em que são diferentes, em geral o limite de elasticidade é maior do que o de proporcionalidade. Elementos de Máquinas I 16 Prof. Douglas Roberto Zaions Fase Elástica: O trecho da curva tensão-deformação, compreendido entre a origem e o limite de elasticidade recebe o nome de fase elástica ou região elástica. Fase Plástica: Chama-se de fase plástica ou região plástica o trecho do diagrama compreendido entre o limite de elasticidade e o ponto correspondente à ruptura do material. Resistência ao Escoamento: Terminada a fase elástica, tem início a fase plástica, na qual ocorre uma deformação permanente no material, mesmo que se retire a força de tração. Em um ponto pouco acima do limite de elasticidade, aumentam as deformações sem que se altere, praticamente o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a escoar. Durante o escoamento, a carga ou a tensão oscila entre valores muito próximos uns dos outros. Este ponto do gráfico é simbolizado por Sy e chamado Resistência ao Escoamento por tração, quando o respectivo ensaio é o de tração. Sy Strength (Resistência) Yield ( Escoamento) Limite de Resistência: Após o escoamento ocorre um encruamento que é um endurecimento causado pela quebra dos grãos que compõem o material quando deformado a frio. O material resiste cada vez mais a tração externa, exigindo uma tensão cada vez maior para se deformar. Nessa fase, a tensão recomeça a subir, até atingir um valor máximo num ponto chamado de limite de resistência caracterizado no gráfico pelo ponto B. Este ponto do gráfico é simbolizado por Sut e chamado Limite de Resistência a Tração, quando o respectivo ensaio é o de tração. Sut Strength (Resistência) Ultimate Tensile ( Limite de Tração) UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 17 Prof. Douglas Roberto Zaions Limite de ruptura Continuando a tração, chega-se à ruptura do material, que ocorreu num ponto chamado de Limite de ruptura caracterizado no gráfico pelo ponto C. Note que a tensão no limite e ruptura é menor que no limite de resistência, devido à diminuição da área que ocorre no corpo de prova depois que se atinge a carga máxima. Estricção: É a redução percentual da área da seção transversal do corpo de prova na região onde vai se localizar a ruptura. A estricção determina a ductilidade do material. Quanto maior for a percentagem de estricção, mais dúctil será o material. Módulo de Elasticidade: Na fase elástica, se dividirmos a tensão pela deformação, em qualquer ponto obteremos sempre um valor constante. Este valor constante é chamado módulo de elasticidade. Quando relacionado com tensões normais, é chamado de módulo de elasticidade longitudinal e simbolizado pela letra E. Quando relacionado com tensões tangenciais, é chamado módulo de elasticidade transversal e simbolizado pela letra G. O módulo de elasticidade é a medida da rigidez do material. Quanto maior for o módulo, menor será a deformação elástica resultante da aplicação de uma força ou tensão e mais rígido será o material. 1.3.3 Ductilidade Ductilidade é a propriedade que apresentam certos materiais de absorverem sobrecargas por um tempo maior que o normal, a custa de uma maior deformação plástica, antes de haver ruptura. A ductilidade é medida pela percentagem de elongação (deformação) que o material apresenta no momento da ruptura. Materiais são ditos frágeis para elongação até 5%. Materiais são ditos dúcteis para elongação maior que 5%. Elementos de Máquinas I 20 Prof. Douglas Roberto Zaions P x P P P (a) (b) A Figura 1.9 - Comparação entre o cisalhamento simples e com flexão A tensão de cisalhamento é do tipo tangencial, pois os vetores que representam à tensão são tangentes a superfície da peça. As tensões tangenciais originadas com os esforços de Cisalhamento são uniformemente distribuídas pela área e são representadas conforme Erro! Fonte de referência não encontrada. . z y x τ Figura 1.10 - Distribuição das Tensões Tangenciais devido ao Cisalhamento Puro A tensão cisalhante desenvolvida pode ser calculada por: Equação 1.2 Corte xy A P =τ Onde: P – Força aplicada; ACorte – Área de corte; UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 21 Prof. Douglas Roberto Zaions 1.4.3 Tensão Normal na Flexão A tensão desenvolvida na Flexão é também do tipo Normal, porém, sua distribuição não é uniforme ou seja: A tensão máxima ocorre na periferia da peça, enquanto sobre a linha neutra, a tensão é nula.(Figura 1.11) z y x σ Figura 1.11 - Distribuição de Tensões devido a Flexão A tensão normal devido ao momento fletor é calculada a partir da equação: Equação 1.3 I cM ⋅ =σ onde: M – Momento Fletor; c – Distância da Fibra Neutra a fibra que se deseja calcular a tensão; I – Momento de inércia; 1.4.4 Tensão de Cisalhamento na Torção A tensão desenvolvida na torção é do tipo tangencial ou cisalhante e apresenta uma distribuição não uniforme (Figura 1.12). Esta tensão também, assim como a de cisalhamento é tangente á seção da peça. Elementos de Máquinas I 22 Prof. Douglas Roberto Zaions z y τ τ τ τ τ τ τ τ Figura 1.12 - Distribuição da Tensão de Cisalhamento na Torção A tensão Cisalhante devido ao momento torçor é calculada a partir da equação: Equação 1.4 J rT ⋅ =τ onde: T – Momento torçor; r – Raio de giração; J – Momento de inércia polar; 1.4.5 Tensão de Cisalhamento na Flexão Quando a força cortante e uma viga não for zero, desenvolve-se uma tensão cisalhante cuja intensidade máxima depende da forma geométrica de sua seção transversal. A tensão cisalhante máxima devido a flexão ocorre em pontos onde a tensão normal devido a flexão é nula. A Figura 1.13 ilustra a distribuição de tensões cisalhantes na flexão para uma seção transversal circular. Observe que a máxima tensão cisalhante ocorre no eixo x (linha neutra). UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 25 Prof. Douglas Roberto Zaions 1.5.1 Tensões Principais Para qualquer combinação de tensões aplicadas no paralelepípedo elementar (Figura 1.16), haverá sempre uma distribuição de tensões ao redor deste ponto. As tensões normais e cisalhantes irão variar. Haverá planos onde a tensão cisalhante será nula. As tensões normais agindo nestes planos são chamadas tensões principais (Figura 1.17) e os planos são chamados de planos principais. O eixo normal ao plano principal é chamado de eixo principal. Há outro conjunto de eixos ortogonais no qual a tensão cisalhante será máxima. A tensão principal de cisalhamento ocorre em um plano a 45o do plano principal. σy σy σ σ τ xy τ xy τ τ x x x x y y Figura 1.16 - Combinação de tensões normais e tangenciais em um cubo elementar σ σ σ σ 1 1 2 2 φ Figura 1.17 - Tensões Principais e Planos Principais τ τ τ τ 21 21 12 12 θ Figura 1.18 - Tensões Principais de Cisalhamento Elementos de Máquinas I 26 Prof. Douglas Roberto Zaions Do ponto de vista da engenharia, procuraremos sempre projetar os elementos de máquinas de modo a não falharem. Para isto, sempre necessitaremos calcular a maior tensão, seja ela normal ou tangencial, nos pontos mais críticos da peça que faz parte da máquina. A expressão que relaciona as tensões aplicadas com as tensões principais para o estado tridimensional é: Equação 1.8 0CCC 01 2 2 3 =−⋅−⋅− σσσ onde: Equação 1.9 zyx σσσ ++=2C Equação 1.10 xzzyyxzxyzxy σσσσσστττ ⋅−⋅−⋅−++= 222 1C Equação 1.11 222 0 2C xyzzxyyzxzxyzxyzyx τστστστττσσσ ⋅−⋅−⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅= As três tensões normais principais σ1, σ2 e σ3, são as três raízes deste polinômio (Figura 1.8) de terceiro grau. As raízes deste polinômio são sempre reais de modo que σ1>σ2>σ3. As tensões principais de cisalhamento podem ser encontradas a partir das tensões principais normais usando: Equação 1.12 2 31 13 σσ τ − = Equação 1.13 2 12 21 σσ τ − = Equação 1.14 2 23 32 σσ τ − = As direções dos vetores das tensões principais podem ser encontrados substituindo cada uma das raízes na matriz abaixo (Equação 1.15) e resolvendo nx, ny e nz. A direção das três tensões principal são mutuamente ortogonais. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 27 Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 1.15 0= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − z y x zzyzx yzyyx xzxyx n n n σσττ τσστ ττσσ onde: σ - Intensidade das tensões principais; nx, ny, nz - Coseno da direção do vetor unitário n o qual é normal ao plano principal. Equação 1.16 1ˆˆ =⋅nn Equação 1.17 knjninn zyx ˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅= Da Resistência dos Materiais, temos do mesmo modo as equações básicas para determinar as tensões principais e seus planos: Equação 1.18 σ σ σ σ σ φ τ φ= + + − ⋅ − ⋅x y x y xy2 2 2 2cos sen Equação 1.19 τ σ σ φ τ φ= − ⋅ + ⋅x y xy2 2 2sen cos sendo: τxy=-τyx A variação de 2φ será: 00 ≤ 2φ ≤ 3600 O ângulo φ variará então de: 00 ≤ φ ≤ 1800 Para localizarmos as tensões máxima e mínima, devemos determinar o valor do ângulo 2φ, que é dado pelas seguintes expressões: Equação 1.20 tg x y xy 2 2 φ σ σ τ = − Elementos de Máquinas I 30 Prof. Douglas Roberto Zaions 1.6 EXERCÍCIOS 1 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m e F = 2000 N calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). EPM UNOESC - Joaçaba a d A B F 2 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m e P = 2500 N calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). EPM UNOESC - Joaçaba P a d A B 3 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). EPM UNOESC - Joaçaba a d A B T UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 31 Prof. Douglas Roberto Zaions 4 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, P = 2500 N e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). EPM UNOESC - Joaçaba P a d A B T 5 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, F = 2000 N e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). EPM UNOESC - Joaçaba a d A B T F 6 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, P = 2500 N, F = 2000 N e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). EPM UNOESC - Joaçaba a d P A B T F Elementos de Máquinas I 32 Prof. Douglas Roberto Zaions 7 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, P = 2500 N e F = 2000 N calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). EPM UNOESC - Joaçaba a d P A B F UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 35 Prof. Douglas Roberto Zaions 2.3.1 Teoria da Tensão Normal Máxima Esta teoria, estabelece que a falha ocorre sempre que a maior tensão principal se iguala ao limite de escoamento ou à resistência a ruptura do material. Se estabelecermos que σ1 é a maior das tensões principais, esta teoria estabelece que a falha por escoamento ocorrerá sempre que σ1 = σe e a falha por ruptura ocorrerá sempre que σ1 = σr. Esta teoria estabelece que somente a maior tensão principal conduz à falha e deve-se desprezar as demais. Devido a este fato, esta teoria é importante somente para fins de comparação. Suas previsões não concordam com a experiência e ela pode conduzir a resultados inseguros. Elaborando-se um gráfico com as tensões σe t e σe c e marcando-se as tensões σ1 e σ2, num sistema de eixos ortogonais, esta teoria estabelece que a falha ocorrerá sempre que um ponto cujas coordenadas sejam σ1 e σ2 cai sobre ou fora do gráfico. Os pontos situados no primeiro e terceiro quadrantes estão na região segura, enquanto que os pontos nos demais quadrantes estão numa região insegura. Neste critério, nota-se que só se obtém um verdadeiro ponto de teste onde o diagrama corta o eixo + σ1 − σ1 − σ2 + σ2 + Sy + Sy − Sy − Sy Sut Sut Suc Suc Critério de escoamento Critério de ruptura Figura 2.2 - Gráfico da Teoria da Tensão Normal Máxima Conforme o critério de falha escolhido (escoamento ou ruptura), a teoria da tensão norma máxima estabelece que a falha ocorrerá quando: Elementos de Máquinas I 36 Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 2.1 σ1 = Sy ou σ1 = -Sy e σ1 = Sut ou σ1 = Suc Se o critério de falha for o escoamento, o fator de segurança N pode ser determinado por: N Sy=1σ ou N Sy−=1σ Se o critério de falha for a ruptura, o fator de segurança N pode ser determinado por: Equação 2.2 N Sut=1σ ou N Suc=1σ Exemplo 1 - Um certo componente mecânico é fabricado com um aço SAE 1015 onde sua resistência a tração Sut= 400 MPa e seu limite de escoamento a tração é σy=300 MPa. Suponha que a peça esteja submetida a um nível de tensão σ1=300 MPa e σ2=200 MPa. Calcular o coeficiente de segurança usando o critério da ruptura, utilizando a teoria da máxima tensão normal. Solução: Inicialmente deve-se montar o gráfico com as tensões Sut e Suc Lembre-se que para os aços, Sut = -Suc . Neste gráfico, as tensões principais σ1 são plotadas no eixo x e as tensões principais σ2 são plotadas no eixo y. σ2 σ1 Sut = 400 MPa Suc = -400 MPa S ut = 4 00 M Pa S uc = -4 00 M Pa σ 1 = 3 00 σ2 = 200 N P Determine o ponto P com as coordenadas σ1 e σ2. Trace uma reta a partir da origem, passando pelo ponto P até interceptar a curva envelope do diagrama da tensão normal. Assim, usando a Equação 2.2 temos que: 1σ utSN = ou seja, 300 400 =N 3333,1=N UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 37 Prof. Douglas Roberto Zaions 2.3.2 Teoria da Tensão Máxima de Cisalhamento Esta teoria se aplica somente a materiais dúcteis. Ela estabelece que o escoamento começa sempre que a tensão cisalhante máxima em uma peça for igual a tensão cisalhante máxima do corpo de prova quando este inicia o escoamento. Assim, o escoamento inicia quando 2max yS=τ . Para um estado duplo de tensões, sabe-se que a máxima tensão de corte é: Equação 2.3 2 31 max σσ τ − = IMPORTANTE: Nesta teoria σ1>σ2>σ3 Aqui é importante lembrar que no estado duplo de tensões, a menor tensão σ3 = 0; Equação 2.4 2 2 max 2 xy yx τ σσ τ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = Deve-se notar que esta teoria prevê que o limite de escoamento ao cisalhamento seja a metade do limite de escoamento à tração, isto é 2 y ys S S = Assim, se igualarmos as equações acima e aplicarmos um coeficiente de segurança N, obteremos a seguinte expressão: Equação 2.5 2 2 22 xy yxy N S τ σσ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ ou 2 2 2 2 xy yx ySN τ σσ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = A Figura 2.3 ilustra o gráfico da teoria da tensão cisalhante máxima para tensões biaxiais. Nota-se que o gráfico é o mesmo da teoria da tensão normal máxima, quando as duas tensões principais tem o mesmo sinal. Elementos de Máquinas I 40 Prof. Douglas Roberto Zaions 1 2 σ xN = ou 3 2 σ yN = Neste caso, a coordenada “x” não pode ser determinada diretamente pela observação do gráfico. Aqui o ponto “x” só pode ser determinado pela interseção de duas retas: uma que passa pela origem e pelo ponto P2 outra que passa pelas coordenadas (300,0) e (0,-300). A equação de uma reta que passa pela origem é calculada a partir de: bxay +⋅= Onde “a” é o coeficiente angular da reta e vale: 1 3 σ σ =a 100 100− =a Assim, temos que a equação da reta que passa pela origem é: xy ⋅−= 100 100 ou xy ⋅−= 1 (1) A equação da curva envolvente no ponto “B” é calculada a partir da equação da reta que passa por dois pontos: ( )1 12 12 1 xxxx yyyy − − − =− (x2 , y2 ) (0, -300) (x1 , y1) (300, 0 ) Ponto 1 Ponto 2 Substituindo as coordenadas (x1 , y1) e (x2 , y2) na equação acima tem-se: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 41 Prof. Douglas Roberto Zaions ( )300 3000 03000 − − −− =− xy ( )300 300 300 − − − = xy ou ( )3001 −⋅= xy 300−= xy (2) Substituindo a equação 1 na equação 2 e resolvendo-as simultaneamente tem-se: 3001 −=⋅− xx ou 3002 −=⋅− x 2 300 − − =x ou 150=x Assim, tem-se que: 1 2 σ xN = ∴ 100 150 2 =N ∴ 5,12 =N Assim, conclui-se que o coeficiente de segurança é N2 = 1,5 considerando a teoria da máxima tensão cisalhante 2.3.3 Teoria de Huber-von Mises - Hencky ou da Máxima Energia de Distorção Esta teoria também é conhecida por teoria da energia de distorção. Esta teoria é um pouco mais difícil de ser aplicada do que a teoria da tensão máxima de cisalhamento, e é melhor no emprego para materiais dúcteis. É empregada para definir o início do escoamento, tal como a teoria da tensão máxima de cisalhamento. Huber-von Mises-Hencky postularam que o escoamento não era um simples fenômeno de tração ou compressão, mas, ao contrário, era relacionado de algum modo à distorção angular do elemento tensionado. Esta teoria surgiu a partir da Teoria da máxima energia de deformação que previa que o escoamento começaria sempre que a energia total de deformação armazenada no elemento tensionado se tornasse igual à energia total de deformação de um elemento de um corpo de prova submetido a um teste de tração, na ocasião do escoamento. A teoria da máxima energia de distorção não é mais usada, porém e a precursora da teoria de von Mises-Hencky. Assim pensou-se em subtrair da energia total de deformação a energia usada para provocar uma variação de volume, resultando na energia da distorção. Elementos de Máquinas I 42 Prof. Douglas Roberto Zaions Aqui abordaremos somente as equações finais, ficando ao aluno encarregado de pesquisar suas deduções. Para fins de análise e projeto, é importante definir uma tensão de von Mises (tensão efetiva) dada pela equação abaixo: Equação 2.6 σ σ σ σ σ, = − ⋅ +1 2 1 2 2 2 À teoria de von Mises prevê que a falha por escoamento ocorre sempre que: Equação 2.7 yS= ,σ Assim, se igualarmos as equações acima e aplicarmos um coeficiente de segurança N, obteremos a seguinte expressão: Equação 2.8 2 221 2 1 σσσσ +⋅−=N S y ou 2 221 2 1 σσσσ +⋅− = y S N Na Figura 2.4 podemos observar o gráfico das tensões de von-Mises. σ1 σ2 + Sy + Sy − Sy − Sy Figura 2.4 - Grafico da Teoria da energia de distorção Conforme estudos desenvolvidos, relatado por Shigley (1984), a teoria da energia de distorção prevê o escoamento com maior precisão em todos os quadrantes. Considerando então esta teoria como a mais correta, nota-se pela figura abaixo que a teoria da tensão cisalhante máxima sempre conduzirá a resultados do lado da segurança (gráfico esta contido dentro do gráfico da teoria da energia de distorção). Por outro lado, nota-se que a teoria da tensão normal máxima conduz a resultados seguros somente se o UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 45 Prof. Douglas Roberto Zaions S S S σ σ σ ut ut uc + - - - A A’ B B’ C C’ o Figura 2.8 - Gráfico representativo da teoria de Mohr modificada para materiais frágeis no 1o e 4o quadrantes Considerando três casos de estado plano de tensões, chamados A, B, C, conforme indicado na Figura 2.8 e utilizando-se um coeficiente de segurança N as tensões e resistências relacionam-se conforme os casos abaixo(Norton, 1997): a) Para o ponto A, onde o prolongamento da reta OB intercepta a curva envelope no ponto A' teremos: Equação 2.9 1σ utSN = b) Para o ponto B, onde o prolongamento da reta OB intercepta a curva envelope no ponto B' teremos: Equação 2.10 1σ utSN = c) Para o ponto C, onde o prolongamento da reta OC intercepta a curva envelope no ponto C' teremos: Elementos de Máquinas I 46 Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 2.11 ( )211 σσσ +⋅+⋅ ⋅ = utuc utuc SS SSN Segundo Norton, 1997 Dowling desenvolveu um conjunto de expressões para determinar as tensões efetivas envolvendo as três tensões principais: Equação 2.12 ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⋅ ⋅+ +−⋅= 31311 2 2 1 σσσσ uc utuc S SSC Equação 2.13 ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⋅ ⋅+ +−⋅= 23232 2 2 1 σσσσ uc utuc S SSC Equação 2.14 ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⋅ ⋅+ +−⋅= 12123 2 2 1 σσσσ uc utuc S SSC O maior dos seis valores (C1, C2, C3, σ1, σ2, σ3) é a tensão efetiva sugerida por Dowling. Equação 2.15 ),,,(~ 3,2,1321 σσσσ CCCMAX= Assim, o coeficiente de segurança pode ser determinado por: Equação 2.16 σ~ utSN = Se todos os valores forem negativos, então a tensão efetiva será zero. Note porém que devido a este fato, não poderemos utilizar a equação acima para calcular o coeficiente de segurança pois ∞→N . A teoria de Mohr modificada explica melhor a falha no quarto quadrante. A escolha da teoria para determinação de falhas estáticas dependerá do projetista. A análise do tipo de carregamento e do material são fatores importantes na seleção. 2.4 CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES No desenvolvimento das equações básicas da resistência por tração, compressão, flexão e torção, presume-se que nenhuma irregularidade ocorra nas peças em consideração. No entanto é muitíssimo difícil projetar uma máquina que não tenha nenhuma variação da seção. Eixos rotativos, geralmente tem rasgos de chaveta, que possibilitam a fixação de engrenagens e polias. Qualquer variação na seção das UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 47 Prof. Douglas Roberto Zaions peças das máquinas, altera a distribuição de tensão nos arredores da descontinuidade. Estas descontinuidades são chamadas de criadores de tensão, e a região na qual ela ocorre é chamada de área de concentração de tensão. Um fator teórico ou geométrico de concentração de tensão, é usado para definir o aumento da tensão na descontinuidade. Este fator é definido pela seguinte expressão: Equação 2.17 nomtK σσ ⋅=max e Equação 2.18 nomtsK ττ ⋅=max onde: Kt - Fator de concentração de tensão ou fator de forma aplicado a tensões normais; Kts- Fator de concentração de tensão ou fator de forma aplicado a tensões tangenciais; σnom - Tensão nominal normal; τnom – Tensão nominal de corte; σmax - Tensão máxima normal; τmax – Tensão máxima de corte; σ σ σ nom max nom Distribuição de tensões para seção entalhada Distribuição de tensões para seção linear h D d Figura 2.9 - Concentração de tensões em uma barra entalhada submetida a um momento fletor O valor de Kt é obtido através de ensaios, sendo seu valor é sempre maior que a unidade, e no mínimo igual a esta. É um fator puramente geométrico, isto é, sua variação depende exclusivamente da forma do entalhe e do tipo de solicitação. Seu valor aumenta com a profundidade do entalhe e com a curvatura do mesmo. Os valores de Kt são obtidos através de tabelas conhecendo-se a geometria da peça (raio do entalhe) e forma de aplicação da carga em relação a peça. Elementos de Máquinas I 50 Prof. Douglas Roberto Zaions Kt Kt ≅ Figura 2.13 - Fator de concentração de tensões de eixo com gola submetido a tração Kt Kt ≅ Figura 2.14 - Fator de concentração de tensões de eixo com gola submetido a flexão Kts Kts ≅ Figura 2.15 - Fator de concentração de tensões de eixo com gola submetido a torção UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 51 Prof. Douglas Roberto Zaions Kt Kt ≅ Figura 2.16 - Fator de concentração de tensões de eixo com furo submetido a Flexão Kts KtsA ≅ KtsB ≅ Figura 2.17 - Fator de concentração de tensões de eixo com furo submetido a torção Kt Kt ≅ Figura 2.18 - Fator de concentração de tensões de barra escalonada submetido a tração Elementos de Máquinas I 52 Prof. Douglas Roberto Zaions Kt Kt ≅ Figura 2.19 - Fator de concentração de tensões de barra escalonada submetido a flexão Kt Kt ≅ Figura 2.20 - Fator de concentração de tensões de barra com entalhe submetido a tração Kt Kt ≅ Figura 2.21 - Fator de concentração de tensões de barra com entalhe submetido a flexão UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 55 Prof. Douglas Roberto Zaions 2.5 EXERCÍCIOS 1 - Projetou-se um pequeno pino de 6 mm de diâmetro, de um ferro fundido cujas tensões tensões de ruptura a tração e a compressão são respectivamente Sut=293 MPa e Suc =965 MPa. Este pino suportará uma carga compressiva de 3500 N combinada com uma carga torcional de 9,8 Nm. Calcular o fator de segurança usando a teoria da Tensão Normal Máxima, teoria de Mohr Modificada e teoria de Coulomb- Mohr. 2 – Determine o fator de segurança “N” para o suporte esquematizado na figura abaixo baseando-se na teoria da máxima energia de distorção. Material: Alumínio com Sy =324 MPa Comprimento da haste: L = 150 mm Comprimento do braço: a = 200 mm Diâmetro externo da Haste: 45 mm Carregamento : F = 4450 N L a d F Parede 3 – Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura acima baseando-se na teoria de Mohr modificada. Material: Ferro fundido cinzento com Sut =360 MPa e Suc = 1130 MPa Comprimento da haste: L = 150 mm Comprimento do braço: a = 200 mm Diâmetro externo da haste: 38,10 mm Carregamento : F = 4450 N Elementos de Máquinas I 56 Prof. Douglas Roberto Zaions 4 – Determinar os fatores de segurança, correspondentes às falhas pelas teorias da tensão normal máxima, da tensão cisalhante máxima, e da teoria de von-Mises (energia da distorção) respectivamente para um aço 1020 Laminado, para cada um dos seguintes estados de tensão: a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa. b) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário). 5 – Usando os valores típicos das resistências do ferro fundido ASTM 40, determinar os fatores de segurança correspondentes à fratura, pelas teorias da tensão normal máxima, de Coulomb-Mohr e Mohr modificada, respectivamente, para cada um dos seguintes estados de tensão: a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa. b) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário). 6 – Uma força F aplicada em D, perto da extremidade de uma alavanca de 375 mm de comprimento, mostrada na figura abaixo, resulta em certas tensões na barra engastada OABC. A barra é feita de aço SAE 1035 Recozido. Que força F causaria o escoamento na barra. 7 – Um tubo de alumínio com Sy =290 MPa e Sut = 441 MPa tem 75 mm de diâmetro externo e espessura de parede de 1,25 mm e esta sujeito a uma pressão estática interna de 8,5 MPa. Calcular o fator de segurança, contra o escoamento, aplicando as três teorias para materiais dúcteis. 8 – Um cilindro de paredes grossas deve ter um diâmetro interno de 15 mm, ser feiro de um aço SAE 4140 normalizado e deve resistir a uma pressão interna de 35 MPa baseado num fator de segurança de 4. Especificar um diâmetro externo satisfatório, baseado a decisão no escoamento, de acordo com a teoria da máxima tensão cisalhante. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 57 Prof. Douglas Roberto Zaions 3 SOLICITAÇÕES DINÂMICAS 3.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO Símbolo Descrição da variável Unidade Descrição da variável em inglês σ~ Tensão efetiva de Mohr modificada Pa Modified-Mohr efective stress Ccarga Fator de correção do tipo de carga - Loading factor CConfiabilidade Fator de correção da confiabilidade - Reliability factor CSuperficial Fator de correção do acabamento superficial - Surface factor CTamanho Fator de correção do tamanho da peça - Size factor CTemperatura Fator de correção da temperatura - Temperature factor dequivalente Diâmetro equivalente m Equivalent diameter test specimen Kf Fator de concentração de tensões a fadiga aplicado a tensão normal - Fatigue-stress-concentration factor Kfm Fator de concentração de tensões a fadiga aplicado a tensão normal média - Mean-stress fatigue-concentration factor Kt Fator de concentração de tensões aplicado a tensão normal - Geometric stress concentration factor – normal stress Kts Fator de concentração de tensões aplicado a tensão cisalhante - Geometric stress concentration factor – shear stress q Fator de sensibilidade ao entalhe - Material notch sensibility r Raio de entalhe m Se Limite de resistência a fadiga da peça (106 ciclos) Pa Corrected endurance limit Se’ Limite de resistência a fadiga do material (106 ciclos) Pa Uncorrected endurance limit Sf Resistência a fadiga da peça Pa Corrected endurance strength Sf’ Resistência a fadiga do material Pa Uncorrected endurance strength Suc Limite de resistência a compressão Pa Ultimate compressive strenght Sus Limite de resistência ao cisalhamento Pa Ultimate shear strenght Sut Limite de resistência a tração Pa Ultimate tensile strenght Sy Resistência ao escoamento a tração Pa Tensile yield strenght Syc Resistência ao escoamento a compressão Pa Yield strenght in compression Sys Resistência ao escoamento ao cisalhamento Pa Shear yield strenght Νφ Coeficiente de Segurança a fadiga - Safety factor in fatique σ Tensão normal Pa Normal stress σ’ Tensão efetiva de von-Misses Pa Von Mises effective stress σ1 2, 3 Tensões principais Pa Principal stresses σa, σm Tensão normal alternante e média Pa Alternating and mean normal stress σa’, σm’ Tensão de von Mises alternante e média Pa Alternating and mean von Mises stress σmax Tensão normal máxima aplicada Pa Maximum applied normal stress σmin Tensão normal mínima aplicada Pa Minimum applied normal stress σx Tensão normal na direção x Pa σy Tensão normal na direção y Pa τ Tensão tangencial ou cisalhante Pa Shear stress τmax Tensão de corte máxima aplicada Pa τxy Tensão cisalhante aplicada no plano x e na direção y Pa Shear stresses that act on the x face and whose direction of action are paralel to the y axes τyx Tensão cisalhante aplicada no plano y e na direção x Pa Shear stresses that act on the y face and whose direction of action are paralel to the x axes Elementos de Máquinas I 60 Prof. Douglas Roberto Zaions 3.3.3 Carga Flutuante As expressões que permitem determinar as forças e tensões médias e alternantes são: Equação 3.2 2 minmax FFFm + = e 2 minmax FFFa − = e 2 minmax σσσ +=m e 2 minmax σσσ −=a Também temos as seguintes expressões: aσσ =max aσσ −=min 0=mσ A carga Flutuante é uma combinação de uma carga alternante com uma carga do tipo estática. Sua intensidade varia no tempo entre uma força Fmin até uma força Fmax tal que Fmin ≠ Fmax . A Figura 3.3 ilustra a carga alternante e a tensão alternante. t P Fm Fa F Fmax Fmin t P σm σa σ σmax σmin Figura 3.3 - Carga Flutuante As expressões que permitem determinar as forças e tensões médias e alternantes são: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 61 Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 3.3 2 minmax FFFm + = e 2 minmax FFFa − = e 2 minmax σσσ +=m e 2 minmax σσσ −=a Também temos as seguintes expressões: am σσσ +=max am σσσ −=min 2 minmax σσσ − =a 2 minmax σσσ + =m 3.4 MECANISMO DA FALHA POR FADIGA Em peças solicitadas dinamicamente, sua resistência vai depender não só do material empregado mas também do valor da carga e número de ciclos que a mesma é aplicada. Experiências executadas em peças solicitadas por cargas variáveis com o tempo, mostraram que após um determinado número de ciclos as mesmas rompiam-se, mesmo que a carga aplicada tivesse um valor aquém da carga de ruptura do material. Conforme Norton (1997), a falha por fadiga sempre inicia com uma fissura. A fissura pode estar presente no material devido ao processo de fabricação ou pode se desenvolver ao longo do tempo devido a uma deformação cíclica ao redor de regiões sujeitas a concentrações de tensões. Fisher e Yen mostraram que todos os elementos estruturais possuem descontinuidades em faixas microscópicas menores que 0,0004 mm até dimensões macroscópicas, introduzidas pelos processos de fabricação. As fissuras devido a fadiga geralmente iniciam em algum ponto onde há entalhes ou zonas de concentração de tensões. Conforme Norton (1997), há três estágios para a falha por fadiga: 1. Inicio da fissura; 2. Propagação da fissura; 3. Fratura instantânea; Elementos de Máquinas I 62 Prof. Douglas Roberto Zaions O primeiro estágio pode ser de pequena duração, o segundo estágio envolve a maior parte da vida da peça e o terceiro é instantâneo. Área Lisa Área Rugosa Aspecto de uma Falha Dinâmica 3.5 MEDIÇÃO DAS FALHAS POR FADIGA Muitas técnicas e testes foram elaborados para o propósito da medição e verificação da resposta dos materiais submetidos a tensões e deformações variantes no tempo. A mais antiga foi a técnica desenvolvida por Wohler que consistia em uma viga em balanço rotativa que produzia tensões repetidas. Mais tarde R.R. Moore adaptou a técnica para eixos bi-apoiados, conforme ilustrado na Figura 3.4 . A máquina de R. R. Moore realiza ensaios de fadiga por flexão alternante. Com o advento da servo-hidráulica, a partir de 1940, novas máquinas baseadas no princípio hidráulico foram desenvolvidas visando ensaios de fadiga. A maior parte das informações conhecidas estão baseadas em eixos rotativos com carga totalmente reversa. Informações a respeito de cargas axiais ou torcionais são difíceis de serem encontradas, porém podem ser estimadas a partir de outras informações. 3.5.1 Ensaio de flexão alternante - Tensões totalmente reversas Neste ensaio, podemos realizar testes com vigas bi - apoiadas, como é o caso da Figura 3.4, ou vigas em balanço. Na máquina de ensaio de fadiga por flexão alternante, podemos variar a carga através de pesos que podem ser movimentados, de maneira a variar o momento atuante no corpo de prova. Quando posta em movimento, um tacômetro acoplado a mesma marcará o número de ciclos necessários para o rompimento do corpo de prova sob a ação de uma carga durante um ciclo completo. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 65 Prof. Douglas Roberto Zaions 3.5.2 Tensão limite de Resistência a Fadiga Note na 0 , que a curva tensão x fadiga ( curva de Wohler) decresce uniformemente e linearmente ( num sistema de coordenadas log - log), em função do aumento do número de ciclos de aplicação da carga até atingir um patamar em aproximadamente 106 e 107 ciclos. Este patamar define o limite de resistência a fadiga do material (Se’). Para um nível de tensão abaixo deste valor, o material pode ser submetido a cargas dinâmicas indefinidamente sem que ocorra falha. Para os aços comuns, o limite de resistência a fadiga pode ser determinado por: Se’ = 0,5 Sut para Sut < 1400 MPa. Se’ = 700MPa para Sut > 1400 MPa. Note que nem todos os materiais apresentam este patamar. Muitos tipos de aços carbono, aços ligas, aços inox, ferros fundidos, ligas de molibdênio, titânio, e alguns polímeros apresentam esta característica. Porém, outros materiais tais como alumínio, magnésio, cobre, ligas de níquel, alguns aços inox, alguns aços carbono não apresentam o patamar mostrado na figura acima. A curva para estes materiais continua cair (linha tracejada). Para as aplicações onde é necessário definir uma tensão cuja vida seja inferior ou diferente de 106 ciclos, esta tensão é chamada de tensão de fadiga (Sf’). Para expressar esta variável, utiliza-se no sub- índice o termo "@1E5", representando neste exemplo que a tensão de fadiga esta associada a 105 ciclos de aplicação da carga. Exemplo: Sf’ @1E5 = 850MPa - A tensão de fadiga de 850 MPa corresponde a uma vida de 105 ciclos O alumínio não possui o Se’ porém seu limite de fadiga Sf’ é tomado como sendo aproximadamente 5x108 ciclos. Então temos que para o alumínio: Sf’ @5E8 = 0,4Sut para Sut < 330 MPa Sf’@5E8 = 130MPa para Sut > 330 MPa. 3.5.3 Ensaio com força axial alternante Este tipo de ensaio é realizado com uma máquina hidráulica que produz forças normais de tração e compressão no corpo de prova. Deste modo, as tensões produzidas são tensões normais de tração e compressão. Elementos de Máquinas I 66 Prof. Douglas Roberto Zaions Esta máquina pode realizar ensaios, combinando vários níveis de tensões médias e alternantes ou mesmo realizar o ensaio com σm = 0 (tensões totalmente reversas). Os resultados deste ensaio mostram níveis de tensão menores do que aqueles encontrados no teste de flexão alternante. Isto ocorre devido a maior probabilidade de micro trincas estarem presentes numa área maior submetida a um nível de tensão elevado. No caso do teste de flexão rotativa as maiores tensões ocorrem nas zonas externas do corpo de prova, devido a distribuição não uniforme de tensões. Alguns autores relatam que o limite de resistência a fadiga para cargas axiais é 10 a 30% menor do que aquele obtido a partir do ensaio de flexão alternante. A Figura 3.7 mostra os resultados para um aço SAE 1090 submetido aos dois tipos de ensaios. S f ’ Figura 3.7 - Gráfico tensão x vida 1-Ensaio com força axial alternante; 2-Ensaio de flexão alternante Adaptação feita a partir de Norton (1997) Norton (1997) mostra ainda que a curva tensão x vida apresenta duas inclinações ou duas zonas (0). Norton definiu a primeira região como FBC ( Fadiga a Baixo Ciclo) e a segunda como FAC (Fadiga a Alto Ciclo). Esta mudança na inclinação da curva ocorre para quase todos os materiais em aproximadamente 103 ciclos. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 67 Prof. Douglas Roberto Zaions S f ’ Figura 3.8 - Curva tensão x vida mostrando região FBC e FAC. Adaptação feita a partir de Norton (1997) 3.5.4 Ensaio de flexão em viga engastada O ensaio de flexão em viga engastada é um teste mais barato que os anteriores, realizado em vigas engastadas. Figura 3.9 - Curva tensão x vida para alguns materiais. Ensaio de Flexão em viga engastada 3.5.5 Ensaio de Fadiga Torcional Os ensaios de fadiga torcional são ensaios feitos em corpos de prova cilíndricos submetidos a cargas torcionais totalmente reversos. Elementos de Máquinas I 70 Prof. Douglas Roberto Zaions Tabela 3.3 - Fator de Correção do Tamanho da Peça Faixa de validade Fator CTamanho Para d ≤ 8,00 mm 1 Para 8,00 ≤ d ≤ 250mm 097,0189,1 −⋅d Para d> 250 mm 0,6 A tabela acima foi determinada para aços. Seu uso é questionado para materiais não ferrosos. A Tabela 3.3 é válida para peças cilíndricas. Para outras formas, Kuguel sugere calcular um diâmetro equivalente (dequivalente) a partir da determinação de uma área na qual a tensão esta acima de 95% da tensão máxima. Esta área corresponde a uma casca situada entre (0,95 d) a (1,00 d), conforme indicada na figura abaixo. d 0,95 d A = 0,0766d295 Figura 3.10 - Área cuja tensão esta acima de 95% da tensão máxima ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅− ⋅= 4 95,0 22 95 ddA π ou 295 0766,0 dA ⋅= Assim, o diâmetro equivalente pode ser determinado por: Equação 3.7 0766,0 95Ad eequivalent = onde A95 é a porção da área da seção transversal de uma peça não circular cuja tensão esta entre 95 e 100 % da tensão máxima. Shigley e Mitchell sugerem o valor de A95 para algumas seções, ilustradas na Figura 3.11. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 71 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 3.11 - Relações A95 para algumas seções. Adaptação feita a partir de Norton (1997 3.5.10 Fator de correção do Acabamento Superficial da Peça Tensão de Resistência Figura 3.12 - Fator de Acabamento superficial. Adaptado a partir de Juvinall, 1983 Elementos de Máquinas I 72 Prof. Douglas Roberto Zaions As irregularidades superficiais, marcas deixadas nas superfícies das peças devido ao processo de usinagem, atuam como pequenos entalhes, e em conseqüência diminuem a resistência a fadiga. Logo, quanto mais polida for a superfície de uma peça, maior será sua resistência a fadiga. O fator que define o acabamento superficial é obtido a partir de tabelas e é denominado CSuperfície . O valor de CSuperfície é dado em função do acabamento superficial e da tensão de resistência estática do material σrt, para solicitações de tração, compressão e flexão. Quando a solicitação for torção o valor achado no gráfico deverá ser corrigido pela expressão: Equação 3.8 C* Superfície = 0,575 CSuperfície + 0,425 Segundo Juvinall (1983) o fator CSuperfície para os aços pode ser determinado pelo gráfico mostrado na Figura 3.12. Para os ferros fundidos cinzentos, costuma-se utilizar CSuperfície = 1,00. 3.5.11 Fator de correção da temperatura A resistência a fadiga diminui com o aumento da temperatura. Segundo Norton (1997), Shigley e Mitchell propuseram algumas fórmulas para determinar o fator de correção devido a temperatura (CTemperatura) as quais são indicadas na Tabela 3.4. Observe porém, que estas fórmulas são válidas somente para aços, não podendo ser utilizadas para outros materiais como alumínio, Magnésio e ligas de cobre. Tabela 3.4 - Fator de correção da temperatura para Aços Faixa de temperatura Fator CTemperatura Para T ≤ 450 oC 1 Para 450 oC <T ≤ 550 oC 1 - 0,0058( T - 450 ) 3.5.12 Fator de correção da Confiabilidade O fator de Confiabilidade (CConfiabilidade) é utilizado para projetar um componente de uma máquina sujeito a cargas de fadiga de modo que dure uma vida desejada com um determinado grau de confiabilidade. Conforme Shigley (1981), a Tabela 3.5, mostra os fatores de confiabilidade CConfiabilidade correspondentes a 8 % do Desvio-Padrão do Limite de resistência. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 75 Prof. Douglas Roberto Zaions testes com grande precisão. A linha que une as tensões de fadiga com a tensão de ruptura é chamada de linha ou gráfico de Goodman e esta linha é uma aproximação muito razoável para os parâmetros. O gráfico de Gerber ilustra a média dos valores obtidos nos ensaios, enquanto o linha de Goodman representa os valores mínimos. A linha de Goodman geralmente é usada como critério de projeto pois é mais segura que a linha de Gerber. A linha que une σF com σe é chamada de gráfico de Soderberg. Note observando a linha de Goodman, que quando a tensão média é tração, a maior parte dos pontos correspondentes as falhas cai acima dessa linha. No lado da compressão, entretanto, os pontos de falha mostram que não há influência da intensidade da tensão média. Nota-se que a linha de Goodman erra a favor da segurança e que a linha de Soderberg é ainda mais conservadora. O diagrama de Goodman modificado foi repetido na Figura 3.16, com o objetivo de mostrar todos os componentes de tensão e também a maneira pela qual ele será usado para a definição da falha. Quando a tensão média é de compressão, define-se a falha por duas linhas cheias paralelas, com origem em +Sf e -Sf e traçadas para baixo e para a esquerda. Quando as tensões médias são de tração, define-se a falha pela linha de tensão máxima ou pelo limite de escoamento indicado pela linha horizontal correspondente a ordenada σe. O diagrama de Goodman é particularmente importante para a análise, quando se conhecem todas as dimensões e quando se pode calcular com facilidade todos os componentes de tensão. Porém, é um tanto difícil usá-lo para projeto, quando as dimensões são desconhecidas. σ σ σ σ σ σ S S S S S S Tensão média Te ns ão m éd ia m a f a máx mín ut ut y y f f Ten são má x. Te ns ão m ín. + Te ns ão 0 Pa ra le la s - , , Figura 3.16 - Diagrama de Goodman Modificado Elementos de Máquinas I 76 Prof. Douglas Roberto Zaions 3.7 ENTALHES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES Se em um gráfico tensão-deformação plotarmos no mesmo a tensão de fadiga do material e a tensão de escoamento sob solicitação estática com suas respectivas deformações, notaremos que tanto a tensão de fadiga como a deformação ocasiona pela mesma são bem inferiores ao limite de escoamento. S σ S S ε ε ε (Deformação) Limite de escoamento, Figura 3.17 - Gráfico Tensão x Deformação Como entalhes e descontinuidades propiciam o aparecimento de pontas de tensão, e estas mais facilmente alcançarão e ultrapassarão o limite de tensão de fadiga. Levado em consideração que peças sujeitas a cargas dinâmicas não sofrem deformações plásticas, ou seja, o limite de escoamento não é alcançado, no local do entalhe não haverá encruamento e conseqüente reforço do material. Assim sendo, toda vez que estas pontas de tensão alcancem ou ultrapassem o valor de Sf haverá o fissuramento e conseqüente rompimento da peça. Com todas estas considerações, chega-se a conclusão que entalhes e descontinuidades são prejudiciais para peças solicitadas dinamicamente. Conforme Norton (1997), Neuber desenvolveu vários estudos em 1937 e após publicou as equações para o fator de concentração de tensões a fadiga. Mais tarde Kuhn revisou as equações de Neuber e determinou uma constante, necessária nestas equações. Esta constante é chamada de fator de sensibilidade ao entalhe e aqui representada por "q". A sensibilidade ao entalhe de um material qualquer é definida pela relação: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 77 Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 3.9 1 1 − − = t f K K q Ou Equação 3.10 ( ) 11 +−⋅= tf KqK onde Kt é o fator de concentração de tensões para cargas estáticas e Kf o fator de concentração de tensões para cargas dinâmicas. O fator de sensibilidade ao entalhe varia entre 0 e 1. A equação acima, pode ser resolvida em termos de Kf, ficando como: Observação: O procedimento é determinar primeiro o fator de concentração de tensões Kt para uma determinada configuração geométrica da peça e tipo de carregamento. Estabelecer posteriormente o fator de sensibilidade ao entalhe para o material e aplica-lo na equação 12 para determinar o fator de concentração de tensões para cargas dinâmicas. As tensões dinâmicas para qualquer situação é então aumentada pela multiplicação do fator Kf com a devida tensão nominal: Equação 3.11 alNofK minσσ ⋅= ou alNofsK minττ ⋅= Note na equação acima que se q = 0, Kf = 1 e não há aumento da tensão nominal. Quando q = 1, Kf = Kt e o efeito máximo da concentração de tensões é levado em consideração. Quando o valor de Kf for zero significa que o entalhe não influi na resistência do material, e quando o valor for igual a Kt, tem o significado que o entalhe tem grande influência na resistência do mesmo. Pode ser determinado experimentalmente, embora não dependa somente do material, tipo de solicitação, forma do entalhe, mas também da fabricação desde a fundição. Na Tabela 3.6, encontram-se alguns valores usuais para q, porém, é preferível, determinar o fator de entalhe, a partir das fórmulas de Kunn-Hardrath. Tabela 3.6 - Valores Usuais para q Material Fator q SAE 1015 normalizado 0,40 a 0,70 SAE 1035 normalizado 0,50 a 0,85 SAE 1070 normalizado 0,55 a 0,85 Aço Cr. Ni. normalizado 0,65 a 0,75 Aço Cr. Ni. Beneficiado 90Kgf/mm2 0,80 a 0,95 Aço Mola Beneficiado 0,95 a 1,00 Metais leves Forjados ou laminados 0,40 a 0,80 Elementos de Máquinas I 80 Prof. Douglas Roberto Zaions As equações para determinar Se ou Sf, já citadas em item anterior são usadas para determinar a curva de resistência do material para a vida compreendida entre 103 a 106 ciclos (FAC). Considera-se que a resistência a fadiga para uma vida de 103 ciclos seja representada por Sf @1E3 e testes realizados em corpos de prova permitem determinar com boa precisão este valor pelas equações mostradas na Tabela 3.10. Tabela 3.10 - Fórmulas para determinar a resistência a fadiga para vida de 103 ciclos Tipo de Solicitação Sf @1E3 Flexão 0,90 Sut Força axial 0,75 Sut Na Figura 3.18 encontra-se o diagrama Tensão x Vida para um material que apresenta o limite de resistência a fadiga da peça para uma vida infinita (Se). Para ambos os diagramas, o eixo das abscissas inicia com N1 = 103 ciclos até N = 109 ciclos. O ponto A sobre eixo das ordenadas é determinado a partir das coordenadas ( N1, Sf @1E3. Com as coordenadas (N2 , Se) é determinado o ponto B para o material que possui a curva assintótica, isto é, apresenta o Se para uma vida infinita. O diagrama de Tensão x Vida mostrado na Figura 3.18, é determinado, traçando uma linha de resistência, entre o ponto A e B e a partir do ponto B, uma linha horizontal. S S 10 10 10 10 10 10 103 4 5 6 7 8 9 Lo g Te ns ão d e Fa di ga Log Número de ciclos A B Linha de resistência a fadiga N N1 2 Figura 3.18 - Curva Tensão x Vida A tensão Sf@N que representa a tensão de resistência a fadiga para vida N é dada por: Equação 3.16 b Nf NaS ⋅=@ onde: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 81 Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 3.17 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − = e Ef S S NLogN b 31@ 21 log )()log( 1 e Equação 3.18 ( ) ( )131@ logloglog NbSa Ef ⋅−= 3.9 CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA MODIFICADO DE GOODMAN A Figura 3.19 ilustra o diagrama formado pelas tensões alternantes σa versus tensões médias σm, o qual chamaremos de diagrama modificado de Goodman. Neste diagrama, podemos visualizar também a linha de escoamento, bem como a região de tensões compressivas. Vários pontos de falha podem ser visualizados no diagrama. Sobre o eixo das tensões médias estão indicadas a tensão de resistência estática a compressão Suc (Ponto A), a tensão de escoamento Sy (Ponto E) e a tensão de resistência estática a tração Sut (Ponto F). No eixo das tensões alternantes está representado o ponto de tensão limite de ruptura a fadiga da peça Se ou Sf (Ponto C) e a tensão de escoamento Sy (Ponto G). O diagrama modificado de Goodman é usualmente traçado para uma vida infinita, usando Se, porém pode ser traçado para qualquer vida Sf. S S S S S S σ σ TraçãoCompressão y y yc ut e f m a A B C D E F ou 1= ′ + ′ y a y m SS σσ 1= ′ + ′ e a ut m SS σσ 1= ′ + ′ − yc a yc m SS σσ ea S= ,'σ Figura 3.19 - Diagrama Modificado de Goodman A linha que define a falha, pode ser desenhada, conectando vários pontos do diagrama. A linha CF é a linha de Goodman e pode ser estendida a região de compressão, e em função da segurança, nesta região a linha CB representa a linha de falha Na região de tração (1o quadrante ), a linha GE define o escoamento estático e a linha de falha definida pela linha CD. Se a componente média de tensão for muito grande, e a componente de tensão Elementos de Máquinas I 82 Prof. Douglas Roberto Zaions alternante muito pequena, sua combinação poderá definir um ponto na região DEF que estará seguro em relação a linha modificada de Goodman, porém escoará no primeiro ciclo de aplicação da carga. Por este motivo a linha de falha será definida por ABCDEA. Qualquer combinação de tensões médias e alternantes situadas dentro deste envelope estarão seguras, e pontos fora estarão sujeitos a falha. Para determinar o fator de segurança, para qualquer estado de tensão flutuante, necessita-se definir as expressões que determinam o envelope de falhas, conforme mostrado na figura acima. A linha AG, define o escoamento a compressão e sua expressão é: Equação 3.19 1= ′ + ′ − yc a yc m SS σσ A linha BC define a falha com relação as tensões compressivas médias: Equação 3.20 faea SS =′=′ σσ ou A linha CF define a falha por fadiga com tensões médias de tração e é representada pela expressão matemática: Equação 3.21 1= ′ + ′ e a ut m SS σσ A linha GE define tensões de escoamento e é representada por: Equação 3.22 1= ′ + ′ y a y m SS σσ Todas estas equações estão indicadas na Figura 3.19. 3.10 TEORIAS DE FALHA DINÂMICA Conforme indicado na Figura 3.20 as teorias de falhas que podem ser aplicadas no projeto de peças sujeitas a cargas dinâmicas são basicamente a critério de Gerber, o critério modificado de Goodman e o critério de Soderberg. Muitas vezes, utiliza-se como critério de falha, a linha ABD de modo a limitar a falha por escoamento da peça. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 85 Prof. Douglas Roberto Zaions e y ut y f σ σ Tensão média m a Linha de Gerber Linha de Soderberg Linha de Goodman, modificada ou A tensão desenvolvida encontra-se sob o eixo das ordenadas pois é totalmente alternante ’ Nf Figura 3.22 - Diagrama de Tensões médias x Tensões Alternantes mostrando tensão totalmente alternante 3.10.2 Cargas Flutuantes com Tensão Unidirecional As cargas repetidas ou flutuantes não possuem a componente de tensão média igual a zero, e isto deve ser levado em consideração na determinação do fator de segurança. Esta situação contendo combinação de cargas alternantes e médias é muito comum no projeto de máquinas. A Figura 3.23 mostra quatro situações do diagrama de Goodman modificado, onde no ponto Z tem- se uma combinação de tensões de von Mises médias e alternantes representando uma peça submetida a tensões flutuantes. O fator de segurança, para qualquer estado de cargas flutuantes, dependerá da maneira na qual a tensão média e alternante podem variar uma em relação a outra em serviço. As quatro possíveis situações são: Situação 1: A tensão alternante permanecerá constante ao longo da vida da peça, mas a tensão média poderá aumentar em função de modificações das condições de serviço. (Linha YQ na Figura 3.23.a); Situação 2: A tensão média permanecerá constante ao longo da vida da peça, mas a tensão alternante poderá aumentar em função de modificações das condições de serviço. (Linha XP na Figura 3.23.b); Situação 3: A tensão média e alternante poderão aumentar em função de modificações das condições de serviço, porém a relação entre elas sempre permanecerá constante. (Linha OR na Figura 3.23.c); Situação 4: A tensão média e alternante poderão aumentar em função de modificações das condições de serviço, porém não se conhece a relação entre seus incrementos. (Linha ZS na Figura 3.23.d). Elementos de Máquinas I 86 Prof. Douglas Roberto Zaions y ut y uty ut y utσ σ σ σσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ ypara ypara ypara ypara m m m a aa a a a a m m m m a m mm m a aa a e , ,, , , ,, , O OO O e fouC e fouC e fouC e fouC D DD D E EE EF FF F Z ZZ Z X XX X Y YY Y Q S S’ R P Linha de carga Linha de cargaLinha de carga Linha de carga (a) Situação 1 (d) Situação 4 (c)Situação 3 (b) Situação 2 - Constante e = Constante - Constante - Varia Varia independentemente - Varia Figura 3.23 - Fator de segurança para o diagrama de Goodman modificado para quatro possíveis situações de mudança do carregamento. 3.10.2.1 Situação 1 A falha ocorre no ponto Q e o fator de segurança é a razão entre as linhas YQ/YZ. Para expressar matematicamente, podemos resolver a Equação 3.20 para os valores σ`m@Q e dividi-lo por σ`m@Z. y y a Qm SS ⋅⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ −=′ σσ 1@ Zm Qm fN @ @ σ σ ′ ′ = Equação 3.27 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ −⋅ ′ = y a m y f S S N σ σ 1 Se σ`a é muito grande e σ`m muito pequeno, o ponto Q estará sobre a linha CD ao invés de DE e a Equação 3.20 deverá ser usada para deteminar o valor de σ`m@Q. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 87 Prof. Douglas Roberto Zaions 3.10.2.2 Situação 2 A falha ocorre no ponto P e o fator de segurança é a razão entre as linhas XP/XZ. Para expressar matematicamente, podemos resolver a Equação 3.20 para os valores σ`a@P e dividi-lo por σ`a@Z. f ut m Pm SS ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ −=′ σσ 1@ Za Pa fN @ @ σ σ ′ ′ = Equação 3.28 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ −⋅ ′ = ut m a f f S S N σ σ 1 Se σ`m é muito grande e σ`a muito pequeno, o ponto P estará sobre a linha DE ao invés de CD e a Equação 3.20 deverá ser usada para determinar o valor de σ`a@P. 3.10.2.3 Situação 3 A falha ocorre no ponto R e o fator de segurança e a razão entre as linhas OR/OZ ou por uma relação de triângulos entre Zm Rm @ @ σ σ ′ ′ ou Za Ra @ @ σ σ ′ ′ . Para expressar matematicamente, podemos resolver a Equação 3.20 e a equação da linha OR simultaneamente para o valor de σ`m@R e dividi-l0 por σ`m@Z. Da Equação 3.20 f ut Rm Ra SS ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ −=′ @@ 1 σ σ Da linha OR: Rm m a Rm Zm Za Ra @@ @ @ @ σσ σσ σ σ σ ′⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ =′⋅⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ =′ A solução simultânea das duas equações acima resulta: ut f m a f Rm S S S + ′ ′ =′ σ σ σ @ Elementos de Máquinas I 90 Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 3.32 aaaaaaaaaa 313221 2 3 2 2 2 1 σσσσσσσσσσ ⋅−⋅−⋅−++=′ Então, a tensão alternante efetiva σ`a pode ser usada para determinar o fator de segurança: Equação 3.33 a f f S N σ ′ = Onde Sf é a tensão de resistência a fadiga da peça para uma vida N e σ`a é a tensão alternante de von Mises. 3.10.5 Cargas Flutuantes com Tensões multiaxiais Método de Sines: Sines desenvolveu um modelo para tensões flutuantes e multiaxiais no qual cria uma tensão equivalente média como uma tensão equivalente alternante a partir das componentes de tensão aplicadas. A tensão equivalente de Sines é de fato, a tensão alternante de Von Mises como definida na equação acima. Entretanto, apresentaremos numa forma alternante que usa as tensões aplicadas diretamente ao invés das tensões principais. Para um estado biaxial: Equação 3.34 222 3 aaaaa xyyxyxa τσσσσσ +⋅−+=′ Equação 3.35 mm yxm σσσ +=′ Para um estado triaxial Equação 3.36 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 222222 aaaaaaaaa zxyzxyxzzyyx a τττσσσσσσ σ ++⋅+−+−+− =′ Equação 3.37 mmm zyxm σσσσ ++=′ As equações acima permitem determinar as tensões locais, acrescidas pelo fator de concentração de tensão aplicado a cargas dinâmicas. As duas tensões equivalentes σ`m e σ`a são usadas no diagrama UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 91 Prof. Douglas Roberto Zaions modificado de Goodman, conforma já descrito em um item anterior, e o devido fator de segurança calculado pela Equação 3.27. Quando há tensões individuais nas equações deste método e do anterior cada uma pode ser incrementada por um fator de concentração de carga diferente, porém existe alguns conflitos quando o Se ou Sf são calculados para um estado de tensões combinadas. Por exemplo, a combinação de flexão e carregamento axial dará duas escolhas para o fator de carga Use o fator axial se forças axiais estiverem presentes com ou sem carregamento de flexão. Note que a tensão média equivalente de Sines σ`m contém somente componentes de tensão média enquanto a tensão alternante equivalente de von-Mises σ`a contém tensões normais e tangenciais. A componente da tensão média de corte deste modo não contribuí no modelo de Sines. Isto é coerente com dados experimentais para barras redondas, polidas e sem entalhes testadas com torção e flexão combinadas. Mas, corpos de prova entalhados e testados nas mesmas condições mostram a dependência do valor da tensão média torcional., então, as equações de sines não são conservativas em tais casos. Método de Von-Mises: Muitos autores recomendam o uso das tensões efetivas de von Mises, para o cálculo das tensões médias e alternantes devido a tensões multiaxiais simples. Os fatores de concentração de tensão podem ser aplicados para as componentes alternantes e médias. Assim, as tensões efetivas de von Mises alternantes e médias podem ser calculadas para o estado biaxial a partir de: Equação 3.38 222 3 aaaaa xyyxyxa τσσσσσ ⋅+⋅−+=′ Equação 3.39 222 3 mmmmm xyyxyxm τσσσσσ ⋅+⋅−+=′ e para o triaxial estado: Equação 3.40 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 222222 aaaaaaaaa zxyzxyxzzyyx a τττσσσσσσ σ ++⋅+−+−+− =′ Equação 3.41 Elementos de Máquinas I 92 Prof. Douglas Roberto Zaions ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 222222 mmmmmmmmm zxyzxyxzzyyx m τττσσσσσσ σ ++⋅+−+−+− =′ As tensões efetivas médias e alternantes de von Mises são então usadas no diagrama de Goodman para determinar o fator de segurança usando a apropriada equação para isto. Esta aproximação é mais conservadora que a de Sines e mais apropriada para situações envolvendo concentração de tensões devido a entalhes. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 95 Prof. Douglas Roberto Zaions 4 EIXOS E ÁRVORES 4.1 INTRODUÇÃO O cálculo de eixos e árvores é básico no projeto de máquinas. Nele se utiliza a maioria, se não todos os fundamentos adquiridos desde a resistência dos materiais. No estágio atual, já deve-se ter algum grau de maturidade que permita a aplicação destes fundamentos, através de um exame mais acurado das condições de projeto desejada para o eixo ou árvore. 4.2 DEFINIÇÕES A ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas, através da TB-11, define eixo e árvore das seguintes maneiras: Eixo - Peça fixa ou móvel, em torno da qual gira uma outra, trabalhando apenas a flexão. Árvore - Peça geralmente alongada, que permite a transmissão de potência por torção. Pelas definições, fica claro que árvores podem ser submetidas a esforços de flexão, tração, compressão e torção, atuando em combinação ou individualmente. Quando tais elementos atuam de maneira combinada, deve-se considerar além das cargas, os efeitos de outros fatores, como fadiga e choque. No projeto de eixos ou árvores, quando a deflexão linear ou torcional, deve ser mantida dentro de certos limites, deve-se dimensiona-los com base na deflexão permitida, antes mesmo de se analisarem as tensões. Isto, porque, se um eixo ou árvore for rígido o suficiente para fazer com que a deflexão seja pequena, provavelmente as tensões desenvolvidas estarão dentro dos limites da tolerabilidade. Isto, não quer dizer, que não se faça necessário fazer a verificação das mesmas. Para reduzir momentos fletores, sempre que possível, os elementos de transmissão, como engrenagens, polias, volantes, manivelas, rodas dentadas e outros elementos, devem ser localizados próximos a mancais. Elementos de Máquinas I 96 Prof. Douglas Roberto Zaions 4.3 MATERIAIS PARA CONSTRUÇÃO DE EIXOS Para minimizar as deformações, usam-se os aços como material para construção de eixos devido ao seu elevado módulo de elasticidade. Utilizam-se os ferros fundidos cinzentos e nodular principalmente quando se tem engrenagens polias ou outros elementos de máquinas integralmente fundidos ao eixo. Bronze ou aços inoxidáveis são muitas vezes empregados em ambientes corrosivos ou ambientes marítimos. Quando o eixo trabalhar em um mancal de deslizamento a dureza é um fator importante a ser considerado. Mancais de rolamento não necessitam de eixos endurecidos. Muitos eixos de máquinas são confeccionados a partir de aços de baixo até médio teor de carbono, laminados a frio ou a quente. Aços ligas são utilizados quando há a necessidade de alta resistência. Aços laminados a frio são freqüentemente mais utilizados para pequenos eixos (menores que 75 mm de diâmetro) e aços laminados a quente para dimensões maiores. Aços de mesma liga quando laminados a frio apresentam maior resistência quando comparados aos laminados a quente devido ao trabalho a frio, porém apresentam tensões de tração residuais que podem provocar deformações (empenamento). A usinagem de alojamentos para chavetas e entalhes, aliviam as tensões residuais e podem provocar a deformação do eixo. Barras laminadas a quente devem ser usinadas com o objetivo de remover as camadas carbonizadas. Já as barras laminadas a frio podem ser usinadas somente onde há necessidade de reduzir o tamanho, como por exemplo na região de colocação de rolamentos, engrenagens, etc... Segundo Carvalho (1978), os aços mais empregados para construção de eixos são os seguintes: ABNT 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045, 2340, 2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4140, 4340, 4615, 4620, 5140. A seleção dependerá sempre das condições de serviço, custo, usinabilidade e características especiais por ventura exigidas. 4.4 TENSÕES EM EIXOS E ÁRVORES Uma árvore pode estar sujeita a momentos fletores, momentos torçores e forças axiais, aplicadas individualmente ou combinadas. Além do mais estes carregamentos podem apresentar componentes médias e alternantes. As maiores tensões fletoras alternantes e médias ocorrem na superfície externa do eixo e podem ser encontradas a partir das seguintes expressões: Equação 4.1 I cM K afa ⋅ ⋅=σ Equação 4.2 I cM K mfmm ⋅ ⋅=σ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 97 Prof. Douglas Roberto Zaions Onde: Kf – Fator de concentração de tensões de fadiga (componente alternante); Kfm– Fator de concentração de tensões de fadiga (componente média); Ma,m – Momento fletor alternante ou médio [N.m]; σa,m - Tensão alternante ou média [MPa]; d - Diâmetro do eixo[m]; I - Momento de Inércia[m4]; Considerando que 2 dc = e 64 4dI ⋅= π , obtemos: Equação 4.3 3 32 d M K afa ⋅ ⋅ ⋅= π σ Equação 4.4 3 32 d MK mfmm ⋅ ⋅ ⋅= π σ As tensões de corte alternantes e médias devido ao efeito do momento torçor, são encontradas a partir das seguintes expressões: Equação 4.5 J rTK afsa ⋅ ⋅=τ e J rTK mfsmm ⋅ ⋅=τ Onde: Kfs – Fator de concentração de tensões de fadiga (componente alternante); Kfsm – Fator de concentração de tensões de fadiga (componente média); Ta,m – Momento torçor alternante ou médio [N.m]; τa,m - Tensão alternante ou média [MPa]; d - Diâmetro do eixo[m]; J - Momento de inércia polar[m4]; Considerando que 2 dr = e 32 4dJ ⋅= π , obtemos: Equação 4.6 3 16 d T K afsa ⋅ ⋅ ⋅= π τ e 3 16 d T K mfsmm ⋅ ⋅ ⋅= π τ Se há cargas axiais “Faxial” aplicadas ao eixo, as tensões podem ser determinadas a partir das expressões: Equação 4.7 A FK axialfmaxialm ⋅= σ ou