Sistemas digitais - exercicios resolvidos

Sistemas digitais - exercicios resolvidos

(Parte 1 de 6)

Carlos Serro Guilherme Arroz

Versao 0.1 12 de Agosto de 2005

Instituto Superior Tecnico Departamento de Engenharia Electrotecnica e de Computadores

TagusPark Porto Salvo

Historial

12 de Agosto de 2005 v0.1 Foram acrescentadas mais exercıcios resolvidos

2 de Fevereiro de 2005 v0.0 Versao original

Referencias

Endereco de e-mail: cas@digitais.ist.utl.pt Pagina da cadeira de Sistemas Digitais: http://sd.tagus.ist.utl.pt Versao 0, revisao 1, de 12 de Agosto de 2005

Prefacio

Este texto contem alguns exercıcios resolvidos, assinalados com um asterisco (*) no fim dos capıtulos dos Sistemas Digitais: Apontamentos das Aulas Teoricas, aqui designados por SD:AAT.

Na lista de agradecimentos incluem-se os alunos do IST:

1. Paulo Gomes, que apontou erros na resolucao dos Exercıcios 1.10 e 1.20; e

2. Joao Loureiro, que apontou um erro na resolucao do Exercıcio 13.6.

Oeiras, 12 de Agosto de 2005 Carlos Serro Guilherme Arroz iv iv

Indice

1S ISTEMAS DE NUMERAC AO 1 2C ODIGOS 9 3 ALGEBRA DEB OOLEB INARIA 15 4R EPRESENTAC AO DAS FUNC OES 25 5M ETODO DE KARNAUGH 39 7L OGICA DE POLARIDADE 5 9 CODIFICADORES E DESCODIFICADORES 87 10 MULTIPLEXERS E DEMULTIPLEXERS 103 12 LATCHES 109 13 FLIP-FLOPS 117 14 CONTADORES 127 15 REGISTOS 149 16 CIRCUITOS SEQUENCIAIS SINCRONOS 159 19 MAQUINAS DE ESTADOS 167 vi INDICE vi INDICE

Capıtulo 1 Sistemas de Numeracao

1.1 Escrever os seguintes numeros em forma polinomial:

1.4 Determinar as bases b e c em:

Resolucao: a) Como sabemos, no sistema hexadecimal temos as seguintes cor- 1.4 a) respondencias:

Nao esquecer que 10(10) e1 1(10) sao duas sequencias de dois dıgitos decimais, enquanto que A(16) e B(16) sao dois dıgitos hexadecimais.

Por outro lado, e pela mesma definicao, temos que

132(b) =1 × b2 +3 × b +2 na base 10. Logo, podemos estabelecer a seguinte igualdade:

Apenas consideramos a solucao b =8 (10), embora haja sistemas de numeracao com bases que sao inteiros negativos.

(b) Atendendo a definicao de sistema de numeracao ponderado, temos que1.4 b)

Tal comon a lınea anterior, apenas consideramos a solucao c =4 (10),e mbora haja sistemas de numeracao com bases inteiras negativas.

1.10 O resultado da leitura do valor de uma tensao electrica e de 25,76 V. Representar em binario esse valor.

Resolucao: Comecemos por converter a parte inteira do numero dado: 25(10) <>1.10 <> 11001(2).

Passemos agora a parte fraccionaria. Pelo metodo das multiplicacoes sucessivas obtemos:

Devemos notar que o numero dado possui uma precisao de 1 parte em 100, ou seja, 1/100. Por outro lado, este numero resultou de uma leitura num voltımetro, logo existe um significado fısico associado adızima obtida (nao se conseguiu, no processo de leitura, obter uma precisao superior).

Por conseguinte, na conversao do numerop araa base 2 nao devemos “inventar” precisao. Ou seja, devemos assegurar-nos que a parte fraccionaria do numero binario a obter deve conter 6 bits e nao mais (com 6 bits obtemos uma precisao de 1 parte em 26 = 64, ou seja, uma precisao de 1/64, inferior a precisao dada de 1/100; com 7 bits jao btınhamos uma precisao de 1 parte em 27 = 128, ou seja, uma precisao de 1/128, superior a precisao dada de 1/100).

So nos falta decidir o valor do bit com peso 2−6. Se truncassemos a parte fraccionaria para ficar com 6 bits, obtinhamos 0,76(10) =0 ,10(2).P orem, este resultado esta incorrecto porque nao levamos em consideracao o bit da parte fraccionaria com peso 2−7,q ue e1 (e sta a razao porque acima paramos no bit com peso 2−7).

Claramente, precisamos de arredondar o bit com peso 2−6, somando-lhe uma unidade (ha casos em que a adicao de uma unidade no bit menos significativo fazc om quea parte fraccionaria e, por vezes, tambem a parte inteira venha alterada; nao e, contudo, o caso aqui, ja que apenas o bit menos significativo passa de 0 para 1).

Obtemos, entao, o seguinte resultado final:

1.13 A primeira expedicao a Marte provou a existencia de civilizacoes inteligentes no planeta vermelho porque descobriu, gravada numa rocha, a equacao bem como as respectivas solucoes, x1 =5 e x2 =8 . O valor x1 = 5 pareceu razoavel aos elementos da expedicao, mas a outra solucao indicava claramente que os marcianos nao utilizavam, como nos, o sistema decimal de contagem (talvez porque nao possuıssem 10 dedos nas maos). Quantos dedos acha que os marcianos tinham nas maos? Justifique.

Resolucao: Obviamente, a equacao do 2o grau e as respectivas solucoes nao estao 1.13 escritas na base 10, porque senao, depois de substituirmos x por 5 e por 8 no primeiro membro da equacao, devıamos obter 0 = 0 nos dois casos; mas tal so acontece para x1 =5 (daıq ue a expedicao, que esta habituada ao sistema decimal, nao tenha estranhado essa solucao, e apenas ficasse intrigada com a

Trata-se, por conseguinte, de determinar a base b em que a equacao e as solucoes estao escritas. Acontece que uma das solucoes e x2 = 8. Logo, temos de ter b ≥ 9. Nessa base temos, entao:

Logo, a equacao dada, escrita em decimal, sera:

Temos, entao, que resolver esta equacao em decimal, paraoq ue vamos nela substituir x por 5 e, depois, x por 8.

de onde se conclui que b1 =2 5 e b2 = 13.

jeito, mas enfim).

So b = 13 pode constituir solucao do problema. Logo, os marcianos possuiam, muito provavelmente, 13 dedos (um numeroımpar de dedos nao devia dar muito

1.14 Como sabe do exercıcio anterior, a primeira expedicao a Marte provou a existencia de antigas civilizacoes inteligentes no planeta vermelho. Uma das descobertas mais importantes consistiu em perceber que os marcianos usavam um sistema de numeracao com 13 sımbolos, incluindo os sımbolos 0 a 9, tal como nos usamos na Terra, e ainda os sımbolos, c©, e L. Por outro lado, conseguiuse provar que os marcianos conheciam as operacoes aritmeticas de adicao e de subtraccao. Tendo a expedicao terrestre encontrado o seguinte fragmento de uma operacao de adicao gravada numa rocha,

decidiu enviar esse fragmento para a Terra para ser decifrado (os espacos em branco correspondem a sımbolos que nao se conseguiram ler). Refaca a adicao preenchendo os fragmentos da operacao que nao puderam ser recuperados pela expedicao terrestre, e diga quais os valores que descobriu para os sımbolos c©, e L.

Em particular, sabemos que 0(13) =0 (10),1 (13) =1 (10),,9 (13) =9 (10).

Resolucao: Neste sistema de base 13 como este, conhecemos todos os sımbolos.1.14 Porem, nao sabemos (por enquanto) o significado dos sımbolos c©, e L.A pe- nas sabemos que um deles corresponde ao 10(10), outro ao 1(10) e o terceiro ao 12(10).

Comecemos por analisar a coluna mais a direita na adicao, 5+ c© =3 . Dado que

Passemos a coluna seguinte, ? + 4 = 2. Como existiu um transporte da coluna

que nao adianta muito saber, mas enfim).

Passemos a terceira coluna, 3+? = 4. Como existiu um transporte para ela,

Na quarta coluna temos 9 + L =6 . Como 6 < 9e 6 < L,e ntao temos, na

Na quinta coluna temos +9 = 9. Com o transporte que veio da quarta coluna

(Parte 1 de 6)

Comentários