Conjuntos, aula 2

Conjuntos, aula 2

(Parte 1 de 3)

Diagramas de Venn e operacoes entre conjuntos MODULO 1 - AULA 3

Diagramas de Venn e operacoes entre conjuntos

Objetivos

Estudar a representacao visual de conjuntos dada pelos diagramas de Venn. Estudar as operacoes entre conjuntos.

Diagramas de Venn

Uma ferramenta muito importante para se “entender” as relacoes entre conjuntos e as operacoes entre eles e utilizar uma representacao visual.

Uma representacao visual de conjuntos e dada pelos diagramas de Venn, onde representamos conjuntos por regioes. Normalmente se representa um conjunto universo U por um retangulo e subconjuntos de U por regioes dentro do retangulo.

Exemplo 15 Abaixo, alguns diagramas de Venn representando determinadas situacoes:

a) Os conjuntos A e B sao iguais. b) A e subconjunto proprio de B.

c) Os conjuntos A e B nao sao subconjuntos um do outro, mas hae lementos que pertencem a ambos.

d) Os conjuntos A e B nao sao subconjuntos um do outro e nao possuem elementos comuns.

Om atematico ingles John Venn (1834–1923) em ais conhecido pela sua representacao de conjuntos por regioes no plano.

Seu trabalho matematico envolve logica, probabilidade e statıstica.

Venn escreveu varios livros importantes em Matematica eH istoria. Alem disso, tinha uma habilidade rara em construcao de maquinas.

(a) A = BA,B (b) A ⊂ B

DISCRETADISCRETA MATEMTICA Diagramas de Venn e operacoes entre conjuntos

(c) A B (d)

Operacoes com conjuntos

Uma operacao e uma “regra” ou procedimento que aplicada a dois objetos permite obter um outro objeto do mesmo tipo.

Quando lidamos com numeros, as operacoes mais comuns sao adicao e multiplicacao.

Para conjuntos quaisquer, estudaremos as operacoes de uniao, intersecao, complementar e diferenca.

Daqui em diante, assumiremos que todos os conjuntos sao subconjuntos de um mesmo conjunto universo.

Sejam A e B conjuntos. A uniao de A e B, que se escreve A ∪ B, e o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou pertencem a B.

“Ou” e “e” sao dois conectivos logicos.

Estudaremoso sc onectivos logicos na Aula 26.

O conectivo “ou”, em

Matematica, en ao exclusivo.

Isto e, a sentenca x ∈ A ou x ∈ B e correta mesmo que o elemento x esteja tanto em A quanto em B.

Isto pode causar confusao porque “ou”, na lıngua portuguesa, e xclusivo. Dizemos : “hoje vou ao teatro ou ao cinema”, quando queremos dizer que ou vamos ao teatro ou vamos ao cinema (mas nao a ambos).

Exemplo 17 Para qualquer conjunto A,v ale

Diagramas de Venn e operacoes entre conjuntos MODULO 1 - AULA 3

Sejam A e B conjuntos. O conjunto intersecao de A e B, que se escreve A∩B,e o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

Exemplo 19 Para qualquer conjunto A,v ale

Dois conjuntos sao chamados disjuntos se A ∩ B = ∅.

Sejam A e B dois conjuntos. O conjunto dos elementos que estao em A, mas nao estao em B,e chamado diferenca entre A e B e denotado por A−B.

DISCRETADISCRETA MATEMTICA Diagramas de Venn e operacoes entre conjuntos

2. {inteiros pares}−{ inteiros ımpares} = {inteiros pares}.

Exemplo 21 Para qualquer conjunto A,v ale

Se U e o conjunto universo e A e subconjunto de U,e ntao o complemento de A, que denotamos Ac,e o conjunto dos elementos de U que nao estao em A,i sto e Ac = U − A.

Na verdade, a operacao de passagem ao complementar e uma diferenca, nao e uma operacao “nova”. Quando A ⊂ B, chamamos de “complementar de A em relacao a B”a diferenca B − A.

Exemplo 2

Exemplo 23

Considere o conjunto de todos os carros vendidos em uma certa concessionaria. Um vendedor classificou os carros em tres subconjuntos, de acordo com os opcionais de cada carro.

Diagramas de Venn e operacoes entre conjuntos MODULO 1 - AULA 3

Os diagramas abaixo representam as seguintes situacoes:

Carros com, pelo menos, alguma das tres opcoes.

Carros com ar-condicionado, mas sem direcao hidraulica e sem vidro eletrico.

Carros com direcao hidraulica ou ar-condicionado, mas sem vidro eletrico.

Carros com vidro eletrico e arcondicionado.

Carros com vidro eletrico, ar-condicionado e direcao hidraulica.

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