Principais Distribuições de Probabilidade e Noções Básicas de SAS

Principais Distribuições de Probabilidade e Noções Básicas de SAS

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Pode-se observar que: pXE=)( e .)(pqXVar=

Obs: Essa distribuição tem importância como geradora de outras distribuições.

Exercício: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X), Var(X) e determinar P(X).

Solução:

x xq

X P X xp

E X p Var X pq = =

4.3 - Modelo Binomial

Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucesso é denominada Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por

( ) (1 ) , 0,1,2,, ,

k n kn p X k p n k nk

Com nk representando o coeficiente binomial calculado por !

Usa-se a notação X ~ b(n, p) para indicar que a variável aleatória X segue o modelo Binomial com parâmetros n e p. As probabilidades são caracterizadas pela informação dos parâmetros.

ação de duas categorias excludentes

Em situação práticas, a variável Binomial aparece a partir de outras variáveis, pela cri-

E(X) = Npe Var(X) = npq.

Na distribuição Binomial tem-se:

Exercícios: 1) Uma moeda perfeita e lançada quatro vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Calcule a distribuição de Y.

Solução: Observe que Y assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Portanto, a distribuição de Y é dada por:

y y

,para y = 0, 1, 2, 3, 4.

2) Repita o problema anterior, considerando agora que a moeda é viciada, sendo a probabilidade de cara dada por p, com 0 < p < 1.

Solução:

Observe que Y assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Portanto distribuição de Y é dada por:

5 - Outros Modelos Discretos

Apresenta-se neste capítulo, os modelos Geométricos, Poisson e Hipergeométrico, que têm várias aplicações práticas. No capítulo anterior, os modelos definidos assumiram apenas um número finito de valores distintos. Como será visto a seguir, os modelos Geométricos e Poisson podem ter um número infinito de valores dentre os inteiros positivos.

5.1 - Modelos Geométricos Tem-se agora repetição da Bernoulli até que o sucesso ocorra. Assim a v.a. X assume os

valores possíveis 1, 2, 3, k, .... de número de repetição até ocorrer um sucesso .
Supõe-se que um dado é jogado até que se obtenha sucessoSendo + para sucesso e –

para Fracasso, tem-se:

, , , , , ,,− − − − − − +

Desta forma pode-se fazer com que p seja a probabilidade de sucesso e q = 1 – p a probabilidade de fracasso, então:

1( ) 1,2,kp X k q p para k−

Para que a distribuição satisfaça as condições necessárias de uma distribuição Geométrica é preciso que:

==∑e 2) ()0pXk=≥.

Analogamente tem-se que 1()EXq = e 2()qVarXp

Exercícios: 1)Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que cara apareça pela primeira vez. Seja X o número de lançamento até que isso aconteça. Obtenha a distribuição de X.

Observe que X assume valores no conjunto {1, 2, 3,}. Portanto, a distribuição de X é

Solução:

, para x = 1, 2, 3,

2) Repita o problema anterior, considerando agora que a moeda é viciada, sendo a probabilidade de cara dada por p, com 0 < p < 1.

Solução:

x-1P(X = x) = (1 - p)p, para x = 1, 2, 3,

Nesse caso a distribuição de X é dada por

5.2 - Modelo de Poisson

Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetros0λ> se sua função de probabilidade é dada por:

( ) , 0,1,2,3,

! kep X k k k

Com o parâmetro λ sendo usualmente referido como taxa de ocorrência. A notação será

0~().XPλλ é a freqüência média ou esperada de ocorrências num determinado intervalo de tempo. Analogamente tem-se que E(X) = λt e Var(X) = λt.

Exercício: Em um processo de fabricação de perfil de alumínio aparece em média uma falha a cada 400 metros. Qual a probabilidade de ocorrer 3 falhas em 1000 metros de perfil?

Solução:

Sabe-se que () ! kep X k k

==. Logo, como k = 3 e 1

5.3 - Modelo Hipergeométrica

Essa distribuição é adequada quando se consideram extrações casuais feitas sem reposição de uma população dividida segundo dois atributos. Para ilustrar, considere uma população de N objetos, r dos quais têm atributos A e N – r têm o atributo B. Um grupo de n elementos é escolhido ao acaso, sem reposição. É de interesse calcular a probabilidade de que esse grupo contenha k elementos com o atributo A. Pode-se ver facilmente, utilizando o princípio multiplicativo, que essa probabilidade é dada por:

r N r k n k p

na qual os pares (,)kkpconstituem a distribuição hipergeométrica de probabilidades. Se a v.a. X for definida como os números de elementos na amostra que tem atributos A, e então, 0min(,).krn≤≤

Analogamente, tem-se que ()EXnp=e ()(1)1 N nVar X np p N

Exercícios: Uma caixa contem 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso para iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que: a) Exatamente duas estejam queimadas? b) Pelo menos uma esteja boa?

Solução : a) Observe que:

Logo, tem-se que:

b) Pelo que se pode observar, tem-se que (6)0PX==, pelo fato de não existir 6 lâmpadas queimadas. Portanto: (6)(5)(6)1PXPXPX<=≤−==.

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