(teoria, questões comentadas, exercícios propostos)

Ilydio Pereira de Sá

Meu passarinho

Não tem penas ou bico comprido, mas assobia como as aves.

Não é um grande pássaro, mas tem asas que abrigaram oito filhos.

Não é uma águia, mas tem um olhar certeiro, que pressente os tropeços que a vida pode nos trazer.

Meu passarinho querido é a minha linda, sábia, alegre, viva e lúcida mãe, que, aos 90 anos, ainda é a minha melhor professora.

A minha querida mãe Nilza, com o meu eterno agradecimento.

Ilydio Março de 2008

Prefácio

Quando o professor Ilydio me falou sobre seu novo livro, fiquei muito contente. Logo pensei: são boas notícias para os nossos alunos e certamente um enorme desafio para o Ilydio! Sim, isso mesmo, um desafio! Depois de escrever “A Magia da Matemática” e experimentar o estrondoso sucesso, a certeza que todos nós depositávamos sobre Ilydio tornaram-se expectativas: será que sua nova obra estará no mesmo patamar, ou acima? Quando eu vi o título “Raciocínio Lógico: concursos e formação de professores”, confesso que fiquei preocupado. O motivo de minha preocupação residiu sobre a proposta da obra: como seria possível conciliar a preparação para concursos com a formação de professores? Nós, professores, sabemos que, no meio dos concursos, a postura que reina absoluta entre os alunos é o imediatismo. Tudo deve ser resolvido rapidamente, pelo atalho e pelo macete. Na formação de professores, ao contrário, buscamos uma postura que busca a totalidade e a interligação de saberes. A resolução de problemas se dá de modo mais lento, através de discussões das quais todo imediatismo passa longe. Como conciliar posturas tão antagônicas? Após concluir a leitura desta obra, tiro o chapéu para o grande Mestre Ilydio Pereira de Sá! O seu texto consegue ser dinâmico e profundo, interessante e ágil, com exercícios e exposições interessantíssimas. As dezenas e mais dezenas de exercícios propostos, e com gabarito, foram muito bem escolhidas e servem aos objetivos do texto como complemento e reforço, sem abrir mão da perturbação tão importante que fará o leitor repensar os conteúdos apresentados. A leveza de “A Magia da Matemática” não foi um acaso, ela agora se institui como o estilo de seu autor. O candidato que se prepara para um concurso encontrará um texto objetivo que apresenta tudo o que deve ser apresentado, de uma maneira diferenciada, que certamente se perpetuará sobre a própria preparação do candidato. Apostilas sobre o mesmo assunto são sempre superficiais e apenas apresentam exercícios, desprovidos de contexto. É pouco provável que, ao ler “Ra-

VI Raciocínio Lógico ciocínio Lógico: concursos e formação de professores”, o leitor se sinta inseguro. O texto é auto-suficiente e representará uma poderosa ferramenta para a construção de seus conhecimentos. Os alunos de graduação e pós-graduação na área de educação matemática encontrarão um texto rico, recheado de bons motivos para discussões. A enorme experiência do professor Ilydio na área de formação de professores se torna mais aparente e um lindo livro, bastante diferente daqueles livros clássicos sobre Lógica e Teoria dos Conjuntos elaborados durante o movimento da Matemática Moderna, então se coloca!

Parabéns ao professor Ilydio, à Editora Ciência Moderna e também a você leitor. Escrever, viabilizar e ter acesso a tal material não é para qualquer um!

Dr. Carlos Eduardo Mathias da Motta Doutor em Matemática pela UFRJ. Professor Adjunto da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ).

PrefácioV
Introdução1
1) Noções Básicas da Lógica Matemática3
1.1)Proposições - Cálculos Proposicionais3
Exercícios Propostos (lista 1)19
Gabarito (lista 1)29
1.2) Problemas com Tabelas32
Exercícios Propostos (Lista 2).............................................37
Gabarito (lista 2)..............................................................51
1.3) Argumentação Lógica:52
Exercícios Propostos (Lista 3)61
Gabarito (lista 3)71
1.4) Argumento Dedutivo e Argumento Indutivo72
2) A Teoria dos Conjuntos e Problemas com Diagramas75
Exercícios Propostos (lista 4)85
Gabarito (lista 4)97

Sumário

Importantes Métodos Algébricos e Aritméticos9
3.1) Regra de Três9
3.2) Regra de Sociedade103
3.3) Regra do Falso Número ou da Falsa Posição106
Exercícios Propostos (lista 5)117
Gabarito (lista 5)125

3) Questões Clássicas de Raciocínio e 3.4) O Princípio da Casa dos Pombos.......................................126

VIII Raciocínio Lógico

(do Fim para o Começo)128

3.5) Aplicando as Operações Inversas

de Contagem e de Probabilidades132
Exercícios Propostos (lista 6)139
Gabarito (lista 6)149
3.7) Seqüências Lógicas e Lei de Formação150
Exercícios Propostos - lista 7153
Gabarito (lista 7)165
4) Verdades e Mentiras167
Exercícios Propostos - lista 8175
Gabarito (lista 8)183
5) Questões Gerais de Raciocínio Lógico185
Gabarito - Exercícios Gerais205
Bibliografia207

Raciocínio Lógico

Introdução:

Nos concursos públicos, com a prova de Raciocínio Lógico, procura-se medir a habilidade do candidato em entender a estrutura lógica de relações entre pessoas, lugares, coisas ou eventos, deduzir novas informações e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.

As questões das provas, normalmente, tratam das áreas: estruturas lógicas; lógica de argumentação; diagramas lógicos; raciocínio verbal; raciocínio matemático; raciocínio seqüencial; raciocínio espacial e temporal.

As competências acima descritas são também fundamentais na formação de qualquer cidadão, seja nas aulas de matemática ou nas demais áreas do conhecimento.

Algumas vezes, nas provas de raciocínio lógico, são também exigidos alguns conteúdos de matemática básica, como: Regra de Três, Regra de Sociedade, Problemas de Contagem e Probabilidades. Alguns desses temas serão também abordados no livro, sem a pretensão de esgotá-los nessa publicação.

Dessa forma, nossos objetivos ao escrever esse livro foram:

1) Fornecer material de consulta e estudo para candidatos aos diversos concursos públicos do país, como os que são normalmente elaborados pelas Instituições, como: Fundação Carlos Chagas, Vunesp, Cespe, Esaf, Fundação Cesgranrio, UFRJ, FEC, UNB, entre outras. 2) Servir de fonte de consulta para professores e licenciandos de

2 Raciocínio Lógico matemática, que encontrarão aqui material complementar à sua formação com diversas sugestões de exercícios e atividades que possam contribuir para o preparo de suas aulas, visando o desenvolvimento do raciocínio lógico matemático de seus alunos.

O nosso trabalho está dividido em cinco partes:

I) Noções Básicas da Lógica Matemática. I) A Teoria dos Conjuntos e os “Problemas com Diagramas”. I) Questões Clássicas de Raciocínio e Importantes Métodos Algébricos e Aritméticos. IV) Verdades e Mentiras V) Questões gerais sobre Raciocínio Lógico

1) Noções Básicas de Lógica Matemática

1.1) Proposições - cálculo proposicional Definições básicas:

•Denominamos proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.

Exemplos: a) A lua é um satélite da Terra. b) 7 < 9 c) Pelé é o nome de um planeta do Sistema Solar.

As proposições são sentenças fechadas e que podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas.

Uma sentença do tipo x > 2 não pode ser considerada uma proposição pois o julgamento de sua veracidade vai depender do valor atribuído à variável x. Sentenças deste tipo são denominadas abertas.

Exemplos: a) “Fulano” é jogador de futebol. b) 3x + 2 = 1 c) “Ela” é eficiente.

•Denomina-se conjunto Universo de uma sentença aberta ao conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. Ao subconjunto formado pelos valores da variável que tornam a sentença verdadeira denominamos conjunto verdade ou conjunto solução da sentença aberta.

Exemplo: Considere a sentença aberta: x é um número natural, múltiplo de 3. Considere ainda o conjunto Universo {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10} Neste

4 Raciocínio Lógico conjunto universo, o conjunto verdade da sentença será:{3,6,9}

OBS: Simbolizaremos por V ou F os valores lógicos de uma proposição, representando, respectivamente uma verdade e uma falsidade.

Proposições Simples e Proposições Compostas:

Uma proposição poderá ser simples ou atômica, se não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.

Exemplos: a) p: Carlos é inteligente. b) q: 7 é um número par.

Uma proposição será denominada composta se for formada pela combinação de duas ou mais proposições simples.

Exemplos: a) p: Carlos é inteligente e Manoel é torcedor do Botafogo. b) q: Se Pedro é sozinho, então é infeliz.

OBS: Normalmente representaremos as proposições simples ou compostas por letras minúsculas do nosso alfabeto, como nos exemplos anteriores.

Conectivos e modificadores:

São termos, símbolos ou palavras que usamos para combinar proposições simples, tornando-as proposições compostas.

É usual representarmos as proposições compostas ou simples através de tabelas das possibilidades de seus valores lógicos (V ou F), que denominaremos tabelas-verdade. Após o estudo dos conectivos iremos desenvolver um estudo mais detalhado sobre as tabelas-verdade.

Noções Básicas de Lógica Matemática 5

Os principais conectivos e modificadores usados em lógica são: A) Negação:

Se uma proposição p for verdadeira, a sua negação (~p) será falsa e se a proposição p for falsa, a sua negação ~p será verdadeira.

A tabela-verdade que representa uma proposição p e a sua negação ~p será:

p~ p V F FV

B) Conjunção (“e”) , símbolo ∧:

Dadas duas proposições p e q, a conjunção dessas proposições será a proposição composta p e q (p ∧ q), que só será verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras, sendo falsa nos demais casos. A tabela verdade da conjunção p ∧ q será:

pq p∧q V V VF F FV F F F

Exemplos: Indique o valor lógico das proposições seguintes:

A) “A neve é branca e o sal de cozinha é doce” Resposta: Falso, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa (linha 2 da tabela-verdade). B) “O algodão é duro e Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul.”

6 Raciocínio Lógico

Resposta: Falso, pois a primeira proposição é falsa e a segunda é verdadeira (linha 3 da tabela-verdade).

Dadas duas proposições p e q, a disjunção dessas proposições será a proposição composta “p ou q” (p∨q), que será verdadeira quando, pelo menos uma das proposições p ou q for verdadeira, ou seja, a disjunção só será falsa quando ambas as proposições forem falsas.

A tabela-verdade da disjunção p∨q será:

pqp ∨ q V V

Exemplos: Qual o valor lógico das proposições seguintes:

A) “Paris é a capital da França ou 1 + 2 = 7 ” Resposta: Verdadeiro, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. (linha 2 da tabela-verdade).

B) “9 é um número primo ou 16 é múltiplo de 4”. Resposta: Verdadeiro, pois a primeira proposição é falsa, mas a segunda é verdadeira. (linha 3 da tabela-verdade)

C) “15 é um número par ou o Brasil fica na América do Norte” Resposta: Falso, pois ambas as proposições são falsas. (linha 4 da tabela-verdade).

A proposição condicional “se p então q” é uma proposição composta que só admite valor lógico falso no caso em que a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, sendo verdade nos demais casos.

A tabela-verdade da proposição condicional é:

pq p→q V V

OBS: Pode parecer muito estranho ao estudante que a proposição condicional seja verdadeira até nos casos em que a primeira sentença seja falsa. Como exemplo, sugiro que pensemos numa situação do tipo. Uma pessoa chega perto de uma porta onde se lê: “Se você é torcedor do Flamengo, então não pode entrar.” A pessoa era torcedora do Botafogo e entrou.

O professor que tenta ensinar sem infundir no aluno o desejo de

aprender está malhando em ferro frio. Horace Mann

8 Raciocínio Lógico

Podemos considerar que sua atitude estava de acordo com a frase lida, e também estaria caso resolvesse não entrar, já que nada era dito aos torcedores dos demais times.

Um outro exemplo é a proposição: “Se a Terra é plana, então o quiabo é um mineral”, é considerada logicamente verdadeira, pois a primeira proposição é falsa e a segunda também é falsa. (linha 4 da tabela-verdade).

Mais um exemplo: A proposição: “Se o alface é um vegetal, então 4 + 3 = 9” é considerada logicamente falsa, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. (linha 2 da tabela-verdade).

Uma outra forma de observarmos uma proposição condicional é considerá-la como a inclusão de um conjunto (p), em outro (q). Ou seja, sempre que p ocorre, q também ocorre.

Podemos sempre imaginar através de um diagrama, que o condicional p→q representa um conjunto associado a p, contido em outro conjunto associado a q.

Exemplo: Se o jovem é escoteiro, então é leal.

p q

Noções Básicas de Lógica Matemática 9

A proposição condicional acima pode ser representada da seguinte forma:

O valor lógico da proposição bicondicional só será verdadeiro no caso em que ambas as proposições apresentarem valores lógicos iguais, ou seja, as duas verdadeiras ou as duas falsas.

A tabela-verdade da proposição bicondicional será:

pqp ↔ q V V VF F FV F F V

Exemplo: A proposição: “O açúcar é doce, se e somente se o Brasil está na América do Sul” é logicamente verdadeira, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda também é verdadeira. (linha 1 da tabela-verdade).

Pessoas que são leais Escoteiros

10 Raciocínio Lógico

OBS: Podemos também entender a proposição bicondicional

(p↔q) como sendo equivalente a (p→q) ∧ (q→p), ou seja, vale a condição de “ida” e também a condição de “volta”. Vamos mos- trar a tabela verdade dessa proposição composta e verificar que é exatamente igual a que mostramos acima.

pqp → q → p(p→q)∧(q→p) V V

Quantificadores:

São símbolos lógicos que atuam sobre sentenças abertas, tornando-as sentenças fechadas ou proposições. Os principais quantificadores são:

A) Quantificador Universal (símbolo ∀) Este quantificador significa “para todo”, “qualquer que seja” .

Exemplo: A sentença x > 4 é uma sentença aberta, no entanto a sentença

∀ x , x > 4 (Lê-se: qualquer que seja x, x é maior do que 4) é uma proposição. (Logicamente falsa)

pensar.”

“ Eu não posso ensinar nada a ninguém, eu apenas posso fazê-los Sócrates

Significa: “Para algum”, “Existe algum” Exemplo: x é um número par é uma sentença aberta. A sentença: ∃x/x é um número par (Lê-se: Existe algum x, tal que x é par) é uma proposição. (Logicamente verdadeira).

Obs: A variável x neste exemplo pertence ao universo dos números inteiros.

Dadas várias proposições simples: p, q, r, s,, podemos

Construção de tabelas-verdade:

combiná-las pelos conectivos lógicos que estudamos (~, ∧, ∨, etc) e construir proposições compostas, tais como:

(p ∧ q) → (~p ∨ r).

É possível construirmos tabelas-verdade correspondentes a qualquer proposição composta dada. Esta tabela mostrará os casos em que a proposição composta é verdadeira ou falsa, de acordo com os valores lógicos das proposições simples que a compõem, bem como dos conectivos que foram usados. As tabelas verdade poderão ser muito úteis na análise de argumentos lógicos, que mostraremos posteriormente.

OBS: A tabela-verdade de uma proposição composta terá 2nlinhas, sendo n o número de proposições simples existentes.

A justificativa da propriedade acima é decorrente de matemática combinatória e do princípio fundamental da contagem. Cada proposição simples tem duas possibilidades de julgamento (V ou F),

como são n proposições, teremos: 2 . 2. 2 . 2 . 2= 2n

“Feliz aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina.” (Cora Coralina)

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