Equaçoes Diferenciais

Equaçoes Diferenciais

(Parte 1 de 3)

Equacoes Diferenciais A

Prof. Paulo Cupertino de Lima Departamento de Matematica - UFMG

Sumario 1 Equacoes Diferenciais Ordinarias 6

2.1 Equacoes Diferenciais Lineares12
2.2 Equacoes Diferenciais de Variaveis Separaveis17
2.3 Equacoes Diferenciais Homogeneas21
2.4 Equacoes Diferenciais Exatas24
2.5 Aplicacoes29
2.5.1 Misturas29
2.5.2 Decaimento de Materiais Radioativos30
2.5.3 Queda de um Corpo num Meio com Atrito30
2.5.4 Velocidade de Escape31
2.5.5 Dinamica de Populacoes32
2.6 Teorema de Existencia e Unicidade Geral35
2.7 Metodos Numericos36
2.8 Exercıcios Adicionais37

2 Equacoes Diferenciais de Primeira Ordem 12

3.1 Reducao de Ordem4
3.2 Equacoes com Coeficientes Constantes46
3.3 As Equacoes de Euler49
3.4 Equacoes Nao-Homogeneas50
3.5 O Metodo dos Coeficientes a Determinar51
3.6 Variacao de Parametros53
3.7 Aplicacoes57
3.7.1 Vibracoes Mecanicas57
3.7.2 Vibracoes Eletricas61
3.8 Exercıcios Adicionais62

3 Equacoes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem 40

4.1 Revisao de Series de Potencias65
4.2 Resolucao de Equacoes Diferenciais68

4 Resolucao de Equacoes Diferenciais via Series de Potencias 65 2

4.2.2 O Caso em que xo e um Ponto Singular Regular (Opcional)76
4.3 Exercıcios Adicionais81
5.1 A Funcao Degrau8
5.2 A Transformada de Laplace de Funcoes Periodicas95
5.3 Funcoes de Impulso97
5.4 O Teorema da Convolucao9
5.5 Tabela de Transformadas de Laplace e de Transformadas Inversas de Laplace100
5.6 Exercıcios Adicionais101

5 A Transformada de Laplace 83

6.1 Resultados Gerais104
6.2 Quando a Matrix A for Constante109
6.2.1 A Possui n Auto-vetores Linearmente independentes109
6.2.2 Autovalores Complexos1
6.2.3 Autovalores Repetidos113
6.3 Sistemas de Equacoes Diferenciais e Diagonalizacao de Matrizes115
6.4 A Matriz eAt117
6.5 Sistemas Lineares de Primeira Ordem Nao-Homogeneos, A Constante120
6.6 Aplicacoes122
6.6.1 Misturas122
6.6.2 Sistemas de Massas e Molas Acoplados123
6.6.3 Circuitos Eletricos124
6.7 Sistemas de Equacoes Lineares no Plano - Analise Qualitativa126
6.8 Exercıcios Adicionais132

6 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem 104 7 Respostas dos Exercıcios 135

Introducao

Este texto tem como objetivo atender a disciplina de Equacoes Diferenciais A, na qual e introduzida o importante conceito de equacoes diferenciais ordinarias, de sistemas de equacoes diferenciais ordinarias e algumas aplicacoes dos mesmos.

Na Secao 1 introduziremos o conceito de equacoes diferenciais, sistemas de equacoes diferenciais e daremos alguns exemplos de aplicacoes dos mesmos.

Na Secao 2 estudaremos as equacoes diferenciais de primeira ordem. Focalizaremos nossa atencao nas seguintes equacoes: lineares, de variaveis separaveis, homogeneas e exatas, para as quais serao apresentados procedimentos de como resolve-las. Tambem sera enunciado o Teorema de Existencia e Unicidade no caso de uma equacao diferencial de primeira ordem geral. Embora as equacoes de Bernoulli nao sejam lineares, elas serao estudas como um caso importante de equacoes que podem ser transformadas em equacoes lineares atraves de uma simples mudanca de variaveis. Introduziremos os metodos de Euler como uma opcao para se calcular numericamente as solucoes daquelas equacoes que nao se enquadram nas categorias acima. Finalmente, veremos algumas aplicacoes das equacoes de primeira ordem a problemas de misturas, dinamica de populacoes, decaimento de materiais radioativos, problemas de mecanica, dentre outros.

Na Secao 3 estudaremos as equacoes diferenciais lineares de segunda ordem. Veremos que o espaco solucao de uma equacao diferencial linear de segunda homogenea e um espaco vetorial de dimensao dois, portanto, a sua resolucao se reduz ao problema de encontramos duas solucoes linearmente independentes da mesma. Isto sera feito para as equacoes com coeficientes constantes, para as equacoes de Euler, as quais se reduzem aquelas atraves de uma mudanca de variaveis. Estudaremos os metodos da reducao de ordem que nos permite encontrar uma segunda solucao de uma equacao homogenea, uma vez conhecida uma solucao da mesma, digamos por inspecao, de forma que as duas sejam linearmente independentes. Estudaremos o metodo da variacao de parametros que nos permite encontrar a solucao geral de uma equacao nao-homogenea, conhecendose duas solucoes linearmente independentes da solucao homogenea associada. Finalmente, veremos aplicacoes das equacoes diferenciais de segunda ordem a problemas de vibracoes mecanicas e eletricas.

Na Secao 4 usaremos o metodo de series de potencias na resolucao de equacoes diferenciais lineares de segunda ordem. Comecaremos esta secao com uma revisao de series de potencias e, em seguida, enunciaremos o Teorema de Existencia e Unicidade para equacoes lineares de segunda ordem com coeficientes analıticos. Resolveremos, como exercıcio, varias equacoes diferenciais que aparecem em problemas de fısica, dentre elas, as equacoes de Hermite, de Legendre e de Chebyshev. Finalmente, veremos o metodo de serie de potencias em torno de um ponto singular.

Na Secao 5 introduziremos a transformada de Laplace e a sua inversa. Introduziremos a funcao degrau unitario que nos permite representar de uma maneira concisa funcoes descontınuas e a delta de Dirac que e uma generalizacao de uma forca que embora atue apenas num dado instante, seja capaz de produzir um impulso unitario. A partir da definicao, obteremos varias propriedades da transformada de Laplace e calcularemos as transformadas de varias funcoes, incluindo aquelas que envolvem a funcao degrau unitario e a delta de Dirac. Veremos como a transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas de valores iniciais, transformando-os em problemas puramente algebricos. No final desta secao apresentaremos uma tabela com transformadas de Laplace e suas inversas.

Na Secao 6 estudaremos os sistemas de equacoes lineares de primeira ordem. Iniciaremos com a teoria geral de sistemas de equacoes lineares de primeira ordem, incluindo o Teorema de Existencia e Unicidade. Mostraremos que o conjunto solucao de um sistema linear homogeneo com n equacoes diferenciais de primeira ordem e um espaco vetorial de dimensao n. Dedicaremos uma boa parte do tempo ao estudo de sistemas homogeneos quando a matriz A tem coeficientes constantes e veremos a relacao entre resolucao do mesmo e algebra linear (autovalores, autovetores e diagonalizacao de matrizes). Introduziremos o conceito de exponencial de uma matriz constante e veremos a sua relacao com a solucao de sistemas lineares. Mostraremos que uma vez conhecidas n solucoes linearmente independentes do sistema homogeneo, podemos a partir do metodo de variacao de parametros resolver um sistema nao-homogeneo. Veremos algumas aplicacoes de sistemas de equacoes lineares em problemas de misturas, circuitos eletricos e sistemas mecanicos. Finalizaremos esta secao fazendo uma analise qualitativa das solucoes de sistemas lineares em duas dimensoes. Finalmente, nas Secao 7, apresentaremos a resolucao detalhada dos exercıcios propostos.

1 Equacoes Diferenciais Ordinarias

Definicao 1.1 Uma equacao diferencial ordinaria e uma equacao que envolve uma funcao desconhecida, y(x), suas derivadas ate uma ordem n e a variavel independente x; ou seja, e uma equacao da forma

f(x, y, y′, y′′,, y(n)) = 0. (1)

Definicao 1.2 A ordem de uma equacao diferencial e a ordem da derivada mais alta que aparece na mesma.

Definicao 1.3 Dizemos que uma equacao diferencial ordinaria de ordem n e linear se ela e da seguinte forma

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) ++ a1(x)y′ + ao(x)y = g(x), (2)

onde os coeficientes ao(x),...,an(x) sao funcoes conhecidas da variavel x e an(x) nao e identicamente nula. Quando g(x) for identicamente nula, dizemos que a equacao (2) e homogenea. Se uma equacao diferencial ordinaria de ordem n nao for do tipo (2), dizemos ela e nao-linear.

As equacoes diferenciais ordinarias aparecem em varias aplicacoes e, a seguir, daremos alguns exemplos das mesmas.

Exemplo 1.1 Na descricao de populacoes, por exemplo, bacterias, se chamarmos de x(t) o numero destas no instante t, e comum supor que a taxa de variacao de x em cada instante seja proporcional a x, ou seja,

onde a constante de proporcionalidade, k, e positiva, o que nos conduz a uma equacao diferencial ordinaria linear de primeira ordem homogenea.

No estudo do decaimento de massa de materiais radioativos, onde x(t) e a massa do material no instante t, temos uma equacao do tipo (3), onde substituimos k por −k.

onde p(t) e q(t) sao funcoes contınuas num dado intervalo aberto I, e uma equacao diferencial ordinaria de primeira ordem linear, ela aparece, por exemplo, em modelagem de misturas, onde Q(t) descreve a quantidade de sal presente um recipiente num instante t.

Note que a equacao (3) e um caso particular de (4) quando p(t) e constante e g(t) e identicamente nula.

Exemplo 1.3 A equacao diferencial

onde r e K sao constantes positivas, e chamada de equacao de Verhulst, ou equacao logıstica, ela aparece no contexto do crescimento ou declınio da populacao de uma especie. Ela e uma equacao diferencial ordinaria de primeira ordem nao-linear.

Muitas equacoes diferenciais de segunda ordem aparecem em problemas de mecanica e resultam da Segunda Lei de Newton, a qual diz que a resultante de todas as forcas, f, que atuam num corpo, e igual ao produto da massa do mesmo, m, pela sua aceleracao. Como a aceleracao e a derivada segunda da posicao, x, em relacao ao tempo e a forca em geral depende da posicao, da velocidade, x′, e do instante, t, considerado, segue-se que esta lei nos leva a uma equacao diferencial de segunda ordem da seguinte forma:

Se f nao depender explicitamente de t; ou seja, f = f(x,v), podemos assumir que v = v(x), entao da regra da cadeia, dvdt = dvdx dxdt = dvdx v e (5) pode ser re-escrita como v dv

que e uma equacao diferencial de primeira ordem.

Exemplo 1.4 Suponha que um paraquedista ao cair esteja sujeito a uma forca de atrito do ar que seja proporcional ao quadrado da sua velocidade, entao, de (6)

onde x e a altura do paraquedista em relacao a superfıcie da Terra. Esta equacao e um caso particular das equacoes de Bernoulli.

Exemplo 1.5 Outra equacao diferencial que resulta da Segunda Lei de Newton e my′′ + γ y′ + k y = f(t), (7) onde m, γ e k sao constantes, com m 6= 0. Esta e uma equacao diferencial ordinaria de segunda ordem, ela modela um sistema massa-mola, onde a massa vale m, a constante elastica da mola e k, num meio que oferece atrito (se γ 6= 0) e sujeito a uma forca externa f(t).

Um caso particularmente interessante de (7) e a equacao

que descreve a amplitude de um pendulo simples, que consiste num sistema formado de uma massa, m, amarrada numa corda de comprimento l, pendurados num teto, no limite em que consideramos pequenas amplitudes (senθ ≈ θ). Em modelagem de circuitos eletricos RLC em serie, temos uma equacao similar a (7), onde x, m, γ, k e f(t), sao substituidos, respectivamente, por Q, L, R, 1C e e(t), com Q(t), a carga no capacitor no instante t, R, L e C, sao a resistencia do resistor, a indutancia do indutor e a carga do capacitor, respectivamente.

Exemplo 1.6 As funcoes cosx e senx sao solucoes da equacao diferencial y′′+y = 0, para todo x real. Da mesma forma, y = cex, onde c e uma constante arbitraria e solucao da equacao diferencial y′ = y, para todo x real.

Dada a equacao diferencial (1), muitas vezes estamos interessados em solucoes da mesma que satisfacam um conjunto de condicoes iniciais num dado instante xo, ou seja, queremos encontrar y = φ(x), tal que

f(x, y′, y′′,, y(n)) = 0, y(xo) = yo, y′(xo) = y′o, . . . , y(n)(xo) = y(n)o . (9)

Este e chamado de problema de valor inicial. No caso do sistema massa-mola descrito no Exemplo 1.5, um problema de valor inicial corresponderia a especificarmos a posicao y(xo) e a velocidade y′(xo) iniciais da massa. Por outro lado, no Exemplo 1.2, corresponderia a especificarmos a massa inicial de sal, Q(to), presente no recipiente.

Definicao 1.5 Dizer que uma funcao diferenciavel y = φ(x) e uma solucao do problema de valor inicial (9) num intervalo aberto I, significa que a funcao φ(x) alem de satisfazer a equacao diferencial dada em (9), para todo x em I, ela tambem satisfaz as condicoes inciais prescritas em (9).

Em muitas aplicacoes, em vez de apenas uma equacao diferencial, teremos um sistema de equacoes diferenciais de primeira ordem,

x′1(t) = g1(t, x1, x2,, xn)
x′2(t) = g2(t, x1, x2,, xn)
x′n(t) = gn(t, x1, x2,, xn)

Definicao 1.6 Dizemos que um sistema de n equacoes diferenciais de primeira ordem e linear, se tem a seguinte forma:

x′1(t) = a11(t)x1 + a12(t)x2+ a1n(t)xn + b1(t)
x′2(t) = a21(t)x1 + a22(t)x2+ a2n(t)xn + b2(t)
x′n(t) = an1(t)x1 + an2(t)x2 ++ ann(t)xn + bn(t),

onde os coeficiente aij(t) e bi(t) sao funcoes contınuas de t. Se o sistema nao puder ser colocado na forma acima, dizemos que ele e nao-linear.

Exemplo 1.8 Um exemplo interessante de sistema de equacoes de diferenciais de primeira ordem nao-lineares e o seguinte:

onde a,b,c e d sao constantes positivas. Ele e chamado de sistema predador-presa.

As funcoes x e y descrevem as populacoes da presa e do predador no instante t, por exemplo, coelhos e raposas, respectivamente. A constante a pode ser vista como a taxa de nascimento da populacao x, o que contribui para o crescimento da mesma; por outro lado, a constante b, representa a interacao da presa com o predador, contribuindo para a diminuicao da mesma. A constante c e vista como a taxa de morte do predador e d a interacao deste como a presa, a qual contribui para o crescimento da populacao y.

Figura 1: Sistema de massas e molas acoplados.

Exemplo 1.9 Considere a Figura 1, onde temos duas massas acopladas atraves de uma mola.

Sejam x1(t) e x2(t) os afastamentos das massas em relacao as suas posicoes de equilıbrio num dado instante t. Se isolarmos cada uma das massas e considerarmos todas as forcas que atuam nas mesmas (veja Figura 1), ao aplicarmos a Segunda Lei de Newton em cada uma teremos as seguintes equacoes diferenciais

este sistema de equacoes diferenciais de segunda ordem pode ser transformado num sistema de equacoes diferenciais lineares de primeira ordem da seguinte forma: introduziremos novas variaveis

Exemplo 1.10 Equacoes diferenciais de ordem n podem ser transformadas em sistemas de n equacoes. Por exemplo, o problema de valor inicial

lineares de primeira ordem: x

2 Equacoes Diferenciais de Primeira Ordem

Nesta Secao estudaremos problemas de valores iniciais do tipo

Nos restringiremos aos seguintes tipos de equacoes diferenciais de primeira ordem: lineares, variaveis separaveis, homogeneas e exatas, para as equacoes descreveremos um procedimento de como resolve-las.

2.1 Equacoes Diferenciais Lineares

Uma equacao diferencial ordinaria linear de primeira ordem mais geral e da seguinte forma y′ + p(x)y = g(x), (13) assumiremos que as funcoes p(x) e g(x) sejam contınuas num intervalo aberto I, contendo o ponto xo, no qual estaremos considerando o problema de valor inicial. Se p(x) = 0 em (13), temos

de g(x). Se quisermos uma solucao de (14) tal que y(xo) = yo, devemos escolher c = yo − G(xo); ou seja,

xo g(s)ds e a solucao desejada, para todo x ∈ I.

A unicidade da solucao segue-se da construcao acima, pois, se tivessemos duas solucoes y1 e y2 do problema de valor inicial y′ = g(x), y(xo) = yo, em I, entao a funcao y = y1 − y2, seria solucao entao, y(x) = 0, para todo x em I, o que implicaria y1(x) = y2(x) em I. A seguir, mostraremos que podemos transformar o problema (13) em (14). Para tal tentaremos

a qual e equivalente a

ou ainda,

cuja solucao e

onde P′(x) = p(x) e k uma constante arbitraria. Portanto, tomando-se a exponencial da equacao (15), temos c uma constante nao-nula.

A funcao µ(x) e chamada de fator integrante de (13). Logo, se multiplicarmos (13) por µ(x) = ceP(x), teremos

ou ainda,

Em virtude da expressao acima, ao usarmos µ(x) podemos assumir que c = 1, o que corresponde a fazer k = 0 e teremos µ(x) = eP(x). Em outras palavras, dado um fator integrante, qualquer multiplo escalar nao-nulo dele tambem sera um fator integrante. A expressao (17), contendo uma constante arbitraria, e chamada de solucao geral de (13).

Observacao 2.1 Um erro muito comum do aluno e de esquecer que todo o procedimento acima foi baseado no fato de que o coeficiente de y′ em (13) e 1. Assim se num dado problema isto nao acontecer, primeiro divida a equacao toda pelo coeficiente de y′, so depois disso identificar p(x) e g(x).

ou seja,

O que nos da todas as funcoes que satisfazem a equacao diferencial em (18), ou seja, a solucao geral da mesma.

Se quisermos satisfazer a condicao inicial dada, devemos escolher a constante c convenientemente, ou seja, devemos impor 1 = y(0) = −1+c, portanto, c = 2. A solucao desejada e y = −1 + 2ex, cujo grafico e mostrado na Figura 2.

Podemos encontrar explicitamente a solucao do problema de valor inicial (13) em funcao da condicao inicial. De fato, se tomarmos k = −P(xo), teremos

R x em particular, µ(xo) = 1. Integrando-se a equacao que aparece em (16) de xo a x, com µ dado em (19), temos,

a solucao do problema de valor inicial (13), a qual esta definida para todo x em I.

Novamente, a unicidade segue da construcao acima, pois, se tivessemos duas solucoes y1 e y2 do problema de valor inicial (13), entao, a diferenca delas, y = y1 − y2, seria solucao do problema de valor inicial y′ + py = 0 e y(xo) = 0, ou seja, eP(x)y(x) = 0 em I, como p(x) e contınua em I, P(x) e sempre finito neste intervalo, logo, terıamos y(x) identicamente nulo, portanto, y1(x) e y2(x) iguais em I. Assim, temos o seguinte Teorema de Existencia e Unicidade no caso linear:

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