Teoria de Potência em Agitação Mecânica de Líquidos, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Baixe Teoria de Potência em Agitação Mecânica de Líquidos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 1 3 – TEORIA DE POTÊNCIA EM SISTEMAS FLUÍDOS AGITADOS [2] [3] [4] [5] 3.1 – INTRODUÇÃO O desenvolvimento da Teoria de Potência que se seguirá, esta embasada na ferramenta da Mecânica dos Fluídos denominada Análise Dimensional. A Análise Dimensional quando aplicada em um problema de escoamento, permite simplificar sobremodo sua resolução, possibilitando converter um grande número de variáveis, sejam elas geométricas, operacionais e físicas, em um pequeno número de grupos adimensionais passíveis de um tratamento experimental e analítico. O desenvolvimento da Mecânica dos Fluídos sempre dependeu de resultados experimentais obtidos em laboratórios. São poucos os fenômenos que ocorrem nesta área que podem ser resolvidos somente através de métodos analíticos. A Agitação Mecânica em sistemas fluídos se enquadra neste tipo de problema, onde temos um escoamento com um número considerável de variáveis que necessita de um tratamento não totalmente analítico. Podemos descrever o método de estudo destes problemas reais da seguinte forma: Inicialmente a situação de escoamento real (no nosso caso agitação em sistemas fluídos ) é aproximada através de modelos matemáticos em uma visão puramente analítica, porém, suficientemente simples de modo a podermos obter uma solução inicial para o problema. A seguir medições experimentais são executadas para conferir os resultados analíticos. Com base nestas medições experimentais, refinamentos podem ser introduzidos na análise, e assim por diante. De qualquer modo, o trabalho experimental deste processo de aproximações é ao mesmo tempo longo e dispendioso. Que experimentos precisariam ser feitos para se determinar a potência absorvida num sistema fluído agitado? Para responder esta pergunta, precisaríamos determinar os parâmetros que são importantes e influenciam na determinação desta potência absorvida. A primeira vista, espera-se que a potência venha a depender da geometria do impelidor, da rotação do mesmo no meio fluído, da viscosidade e densidade do fluído. Representando a potência por P, podemos escrever uma equação preliminar que será: P = ψ( D , N , µ , ρ ) [3.1a] 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 2 Nesta função, podemos ter desprezado alguns parâmetros dos quais a potência dependa, ou mesmo incluído parâmetros dos quais a mesma não dependa. De qualquer modo, formulou-se uma equação preliminar para determinação da potência absorvida em termos controláveis e mensuráveis num laboratório. Imaginemos que série de experimentos precisariam ser feitos para se determinar a forma de dependência de P, das variáveis, D, N, µ e ρ. Após a construção de uma aparelhagem experimental adequada, o trabalho pode ser realizado. Para obtermos a curva de P versus N, para valores fixos de D, µ e ρ, poderemos vir a necessitar de testes em 10 valores de N. Para concluirmos sobre o efeito do diâmetro D do impelidor, cada teste seria repetido para impelidores de 10 diâmetros diferentes. Logo a seguir o procedimento seria repetido 10 vezes para viscosidade µ, e 10 vezes para a densidade ρ. Observa-se facilmente através de simples aritmética, que precisaríamos de 10 4 experimentos diferentes. Considerando que cada teste tomasse meia hora e trabalhassemos oito horas por dia, tal avaliação experimental devaria dois anos e meio para ser concluída. Não é necessário citar as dificuldades de apresentação dos resultados destes experimentos. Todo este trabalho complexo e dispendioso pode ser substituído pela Análise Dimensional citado, permitindo obter resultados significativos com considerável economia de esforço e tempo. Conforme dito anteriormente a Análise Dimensional permite agrupar um grande número de variáveis dimensionais em um pequeno número de grupos adimensionais e no nosso caso, a potência absorvida pelo impelidor em um sistema fluído agitado, pode ser agrupada e plotada como relação funcional de poucos parâmetros adimensionais. A forma da função obtida precisa ainda ser determinada experimentalmente, porém, em vez de conduzirmos 10 4 experimentos, podemos determinar a natureza da função com a mesma exatidão usando apenas 10 experimentos distintos. Imaginemos nosso problema que é estabelecermos a potência absorvida em um sistema fluído agitado mecânicamente por impelidores. Estabelecemos bem apropriadamente nossa potência como sendo função das seguintes variáveis. 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 5 Desta forma, podemos expressar todas as variáveis envolvidas no fenômeno estudado, em termos destas dimensões básicas. A tabela I a seguir lista algumas variáveis usadas neste trabalho e sua composição em dimensões básicas. As Quantidades assinaladas com sombreamento, são aquelas utilizadas como variáveis do nosso fenômeno, sendo a Potência uma função das mesmas Quantidade Símbolo Dimensões Massa M M ou FT 2 /L Comprimento L L Tempo T T Velocidade v L/T Aceleração a L/T 2 Força F ML/T 2 ou F Tensão ou Pressão σ,τ ou p M/LT 2 ou F/L 2 Módulo de Elasticidade E M/LT 2 ou F/L 2 Densidade ρ M/L 3 ou FT 2 /L 4 Viscosidade Dinâmica µ M/LT ou FT/L 2 Viscosidade Cinemática ν L 2 /T Vazão Q L 3 /T Energia ou Trabalho W ML 2 /T 2 ou FL Potência P ML 2 /T 3 ou FL/T TABELA I 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 6 3.2 –ANÁLISE DIMENSIONAL APLICADA A UM SISTEMA FLUÍDOAGITADO EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES Fluídos em movimento em sistemas agitados obedecem aos conceitos fundamentais de Movimento de Líquidos e Fenômenos de Transporte de Massa e, portanto sujeitos às leis de conservação de massa e momentum, leis estas que descrevem a velocidade e distribuição de pressão dentro de um fluído. Conforme visto em Conceituação Preliminar, para um fluído líquido Newtoniano, de densidade constante e viscosidade tambem considerada como constante (variação desprezível), a equação diferencial do momentum, chamada de Equação de Navier-Stokes escrita convenientemente com os operadores vetoriais, é dada por: Vpg Dt VD rr r 2∇+∇−= µρρ [3.2] onde: ρ -densidade do líquido µ -viscosidade do líquido Dt DV -derivada substancial g r -gravidade ( força de corpo ) p -pressão local No estudo de escoamentos, nos devemos selecionar o que se chama quantidades características, que devem representar as principais dimensões que são o Comprimento, o Tempo e a Massa (ou Força). Em muitos escoamentos podemos selecionar D como comprimento característico e V como velocidade característica. Num escoamento por um tubo circular, D é usualmente o diâmetro do tubo e V a velocidade média do fluxo. Para um escoamento em torno de uma esfera, D é usualmente o diâmetro da esfera e V a velocidade média do fluxo. No caso da agitação mecânica de líquidos o comprimento característico D utilizado é o diâmetro do impelidor. Utilizamos como tempo característico o recíproco da rotação do impelidor, 1/N. A massa característica é o produto da densidade do líquido, ρ e o cubo do diâmetro do impelidor D 3 , ρD3. A velocidade característica pode ser derivada a partir da dimensão comprimento e da dimensão tempo, utilizando o produto do diâmetro do impelidor e a rotação do agitador, DN. 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 7 A seguir definimos algumas variáveis adimensionais e operações diferenciais. Esta escolha é arbitraria e deve ser escolhida cuidadosamente de modo a representar as dimensões principais do comprimento L, tempo T e massa M. As variáveis adimensionais são definidas como sendo a relação entre a variável atual ( tipo comprimento x, y, z, tempo t, ou massa m ) e a quantidade característica ( conforme visto anteriormente, D p/ o comprimento, 1/N para o tempo, ρ.D3 para a massa, etc. ) Deste modo teremos as seguintes variáveis adimensionais : Comprimento Adimensional, x∗ , y∗ e z∗ O comprimento característico usado na agitação é o diâmetro do impelidor , D , de modo que o comprimento adimensional que é denotado por x∗ , y∗ e z∗ é dado por D x x =∗ D y y =∗ [3.3] D z z =∗ onde: x∗ , y∗ z∗ - comprimento adimensional x , y , z - comprimento atual D - comprimento característico Tempo Adimensional, t∗ O tempo característico usado na agitação é o recíproco da rotação do agitador, 1/N., de modo que o tempo adimensional , que é denotado por t∗ , é: tN N t N t t ===∗ −11 [3.4] 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 10 Desta forma a pressão adimensional é dada pela relação entre a variável atual e quantidade pressão característica, deduzida anteriormente. A variável pressão atual é utilizada como sendo, ( ) co gpp − , onde po é uma pressão de referência e gc é o fator de conversão gravitacional. ( ) 22 DN gpp p co ρ − =∗ [3.9] Operador vetorial adimensional , ∇∗       ∗∂ ∂ + ∗∂ ∂ + ∗∂ ∂ =∇=∇∗ k z j y i x D ˆˆˆ [3.10] Laplaciano Adimensional , ∇∗2       ∗∂ ∂ + ∗∂ ∂ + ∗∂ ∂ =∇=∗∇ k z j y i x D ˆˆˆ 2 2 2 2 2 2 222 [3.11] 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 11 Desta forma podemos montar um resumo das quantidades adimensionais deduzidas anteriormente e utilizadas neste trabalho, sendo elas: D x x =∗ D y y =∗ D z z =∗ comprimentos adimensionais tNt =∗ tempo adimensional 3 D m m ρ =∗ massa adimensional DN v v r r =∗ velocidade adimensional 2 DN g g r r =∗ aceleração gravidade adim. 35 ND P P ρ =∗ potência adimensional ( ) 22 0 DN gpp p c ρ − =∗ pressão adimensional       ∗∂ ∂ + ∗∂ ∂ + ∗∂ ∂ =∇=∇∗ k z j y i x D ˆˆˆ operador vetorial adimensional       ∗∂ ∂ + ∗∂ ∂ + ∗∂ ∂ =∇=∗∇ k z j y i x D ˆˆˆ 2 2 2 2 2 2 222 operador laplaciano adimensional Tabela II – Quantidades adimensionais De posse das quantidades adimensionais podemos reescrever a equação de Navier-Stokes dada em [3.2], na forma adimensional Vpg Dt VD rr r 2∇+∇−= µρρ [3.2] 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 12 Reescrevendo as variáveis adimensionais para podermos substituir em [3.2] , teremos; DN V V r r =∗  NDVV ∗= rr tNt =∗  N t t ∗ = ( ) 22 0 DN gpp p c ρ − =∗  ( ) 220 DNppp ρ ∗=− 2 DN g g r r =∗  2DNgg ∗= rr ∇=∇∗ D  D ∗∇ =∇ 222 ∇=∇ ∗ D  2 2 2 D ∗∇ =∇ Substituindo, eliminando e re-arranjando coeficientes ; ρ µ ρρ ρ Vpg Dt VD rrr 2∇ + ∇ −=  ρ µ ρ Vg g Dt VD rr r r 2∇ + ∇ −= [3.2a] ( ) ρ µ ρ ρ NDV D DNp DDNg N t D NDVD ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∇ + ∗ ∇ −=       ∗ r r r 2 22 2 2 [3.2b] ( ) ( ) ρ µ 1222 1 −∗∗ ∗∗∗ −∗ ∗ ∇ +∇−= NDV DNpDNg NtD NDVD r r r [3.2.c] ( ) [ ] ∗∗∗∗∗ ∗ ∗ ∇      +∇−= V D N pDNDNg Dt DNVD rr r 222 2 ρ µ [3.2d] 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 15 3.2.1 – POTÊNCIA DE AGITAÇÃO A distribuição de pressão através de um vaso agitado, não pode ser aplicada diretamente ao projeto, entretanto uma parte desta distribuição de pressão ao longo da face da pá do impelidor pode ser relacionada com a potência absorvida do agitador. Para demonstrar a veracidade desta relação, tomemos como ponto de partida a propria descrição do sistema. Potência é o produto da velocidade rotacional e o torque aplicado, P=TN, deduzido da seguinte forma; LFT VFP . . = = Vimos anteriormente que a velocidade característica é dado por V=DN, e o comprimento característico foi adotado como o diâmetro do impelidor, L=D, de modo que podemos reescrever; DNFP .= DFT .=  D T F = Substituindo, DN D T P .=  TNP = TNP = [3.17] O torque ou momento linear, T, é determinado integrando-se a distribuição de pressão ao longo da superfície das pás do impelidor, conforme mostrado na figura 3.2. 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 16 Fig. 3.2 - Distribuição de pressão ao longo de pá de impelidor O torque ou momento linear T é dado por: xFT .= Dx = FDT = A pressão sobre a pá do impelidor é dada por: A F p = 2DA = 2pDF = Substituindo, DDpDFT ... 2== Sendo P = TN  N P T = 3.Dp N P = 3.DN P p = [3.18] Distribuição de pressão 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 17 Portanto a relação entre a distribuição de pressão do líquido nas pás do impelidor e a Potência absorvida, é dada por: ( ) pá pp 0− α 3 ND P [3.19] Uma vez que a pressão adimensional dada em [3.9] é dado por: ∗ p α ( ) 22 0 DN gpp c ρ − Podemos substituir na relação de distribuição de pressão / potência, obtendo: ∗ p α 22 3 DN g ND P c ρ = 22 31 DN gDPN c ρ − A pressão adimensional pode ser escrita também na forma; ∗p α 53 DN Pgc ρ [3.20] Uma vez que a distribuição de pressão foi expressa em [3.14] e [3.16] como função do NRey e NFroude, ou seja ; Sistemas com superfície encapelada e vórtices ( ) ( )NFroudeNreyftzyxp ,,,, =∗∗∗∗ ∗ [3.14] Sistemas com superfície calma, plana e sem vórtices ( ) ( )Nreyftzyxp =∗∗∗∗ ∗ ,,, [3.16] De modo que nos é permitido escrever as seguintes equações: Sistemas com superfície encapelada e vórtices ( )NFroudeyNf DN gP c ,Re . 53 = ρ [3.21] 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 20 O que nos permite substituir em [3.28] ( ) ∗∗∗ ∇      = − ∇ V NDDN gpp co r 2 222 ρ µ ρ [3.28a] ( ) ∗∗∗ ∇=−∇ V N gpp co r 2µ [3.28b] ( ) ∗∗∗ ∇=−∇ V N gpp co r 2 µ [3.28c] O termo ( ) µN gpp co− , é chamado de pressão característica e é relacionada à força viscosa por unidade de área, sendo representada por p**. ( ) µN gpp p co − =∗∗ [3.29] Substituindo em [3.28c], podemos escrever. ∗∗∗∗∗ ∇=∇ Vp r 2 [3.30] Voltando à equação [3.28c] ( ) ∗∗∗ ∇=−∇ V N gpp co r 2 µ [3.28c] Conforme visto anteriormente em [3.19], a relação entre a pressão do fluído nas pás do impelidor e a potência absorvida, é dada por: ( ) pá pp 0− α 3 ND P [3.19] Substituindo na equação da pressão característica relacionada à força viscosa dada em [3.29], obtemos o Número de Potência Viscoso µµ N gDPN N g ND P p c c 313 −− ∗∗ == 32 DN Pg p c µ =∗∗ [3.31] 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 21 O segundo membro da equação é chamado de NPo Viscoso, e uma vez que o NPo Viscoso é constante a baixos NRey, temos; cte DN Pgc = 32µ P α µN2D3 [3.32] 3.2.3 – VELOCIDADE E BOMBEAMENTO A velocidade adimensional, V r , dada em [3.6], como sendo DN V V = r , pode ser expressa como função do NRey. e NFr. ( ) ( )NFroudeyNftzyxV ,Re,,, =∗∗∗∗ ∗r [3.13] Como visto, quando a superfície do líquido é plana e calma, como o que ocorre em tanques com defletores, os efeitos gravitacionais que provocam ondas e vórtices, podem ser desprezados, passando a velocidade ser função apenas do NRey . ( ) ( )yNftzyxV Re,,, =∗∗∗∗ ∗r [3.15] Desta forma; )(Re yf DN V V ==∗ r Podemos relacionar a velocidade através do tanque e a capacidade de bombeamento deste sistema agitado. Necessitamos de estabelecer o que é chamado de velocidade média para o sistema, ou seja, uma velocidade representativa do que ocorre num tanque ou recipiente. )(Re yf DN V V medmed == ∗ A relação entre velocidade e bombeamento é dada por; 3 – TEORIA DE POTÊNCIA’ Elaborado por Engo. Luiz Carlos de Sousa Botelho luiz.botelho@engendrar.com.br www.engendrar.com.br 22 2 D Q A Q Vmed == Sustituindo em Vmed / DN temos; )(Re 3 2 2 yf ND Q DN QD DN D Q === − Sendo Q / D 3 N chamado de Número de Bombeamento, NQ