Temas Problemas

Temas Problemas

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Prefacio

O conteudo deste livro e o mesmo das 10 aulas que foram dadas pelos autores a professores que atuam no Ensino Medio no Rio de Janeiro, em janeiro de 2001.

O curso durou uma semana, com duas aulas em cada manha enquanto as tardes eram dedicadas a resolucao e a discussao em conjunto dos exercıcios propostos.

Todos os problemas aqui apresentados tem respostas completas no final.

A Sociedade Brasileira de Matematica dispoe de um conjunto de 10 vıdeos nos quais estao gravadas, ao vivo, as aulas. As pessoas e instituicoes interessadas na aquisicao dos mesmos podem dirigir-se a SBM nos enderecos que constam no presente volume.

Ao por este material a disposicao dos professores e estudantes universitarios que se preparam para o exercıcio do magisterio, a intencao dos autores e a de destacar alguns temas usualmente estudados no Ensino Medio, mostrando que, ao lado de sua conceituacao apropriada, eles podem ser ilustrados por meio de problemas simples, acessıveis, porem desafiadores e contextuais. Evidentemente, trata-se de uma pequena amostra, indicando um fertil e atraente caminho a ser trilhado.

Mais uma vez, as atividades que realizamos, o livro publicadoeo sv ıdeos gravados devem sua existencia em grande parte a VITAE, ao IMPA e a SBM. A estas notaveis instituicoes, o agradecimento dos autores.

Rio de Janeiro, junho de 2001

Elon Lages Lima

Paulo Cezar P. Carvalho

Eduardo Wagner Augusto Cesar Morgado

Capıtulo 1

Proporcionalidade e Funcoes Afins

Em seu livro “Elementos de Algebra”, publicado em Sao Petersburgo em 1770, o grande matematico Leonardo Euler propoe o seguinte problema:

Uma lebre esta 50 pulos a frente de um cachorro, o qual da 3 pulos no tempo que ela leva para dar 4. Sabendo que 2 pulos do cachorro valem 3 da lebre, quantos pulos ele deve dar para pega-la?

Este e um exemplo de questao que se refere a proporcionalidade, assunto que exporemos a seguir.

1 Proporcionalidade

Diz-se que duas grandezas sao proporcionais quando existe uma correspondencia x → y, que associa a cada valor x de uma delas um valor y bem definido da outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condicoes:

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x entao o valor correspondente de y sera dobrado, triplicado, etc. Na linguagem matematica: se x → y entao nx → ny para todo n ∈ N.

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Exemplo 1. Sejam x o volume e y o peso de uma porcao de um lıquido homogeneo. A correspondencia x → y cumpre claramente as duas condicoes acima, logo o volume e proporcional ao peso.

Exemplo 2. Sejam r e s retas paralelas. Dado qualquer retangulo que tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o comprimento de um desses lados e z a area do retangulo.

z s

A correspondencia x → z e uma proporcionalidade. Ou seja: quando a altura de um retangulo e fixada, sua area z e proporcional a base x.

Com efeito, em primeiro lugar, se x< x′ entao a area z′ do retangulo de base x′ e igual a area z do retangulo de base x mais a area de um retangulo de base x′ − x, logo z< z′.

Em segundo lugar, um retangulo de base n·x pode ser expresso como reuniao de n retangulos justapostos de base x (e mesma area z) logo sua area e n · z.

Observacao. A afirmacao contida no Exemplo 2 e uma consequencia imediata da formula que exprime a area de um retangulo como o produto da base pela altura. Esta e, entretanto, uma justificativa a posteriori. Nao e conveniente usa-la no presente contexto pois, na verdade, o primeiro passo da deducao daquela formula e a verificacao da proporcionalidade acima.

Exemplo 3. Consideremos no plano um angulo AOB e uma reta r que nao e paralela ao lado OA nem a OB (Figura 2). Dado qualquer segmento de reta de comprimento x, contido em OA,a s paralelas a r tracadas por suas extremidades determinam sobre o lado OB um segmento de comprimento y.

Proporcionalidade e Func oes Afins 5 y r

Antes de justificar esta afirmacao devemos mostrar que o comprimento y depende apenas do comprimento x mas nao da posicao do segmento tomado sobre o lado OA. (Isto significa que a correspondencia x → y esta bem definida.)

Ora, se tomarmos sobre o lado OA dois segmentos de mesmo comprimento x entao na Figura 3, onde MN e M′N′ sao paralelos a OA, os triangulos MNP e M′N′P′ tem, cada um, um lado de

Exemplo 4. Investindo uma quantia x numa caderneta de poupanca, apos o decurso de um mes obtem-se um montante y.A correspondencia x → y e uma proporcionalidade: o que se recebe no fim do mes e proporcional ao que se aplicou. Com efeito, e claro que aplicando-se mais recebe-se mais e investindo-se uma quantia n vezes maior do que x, pode-se considerar essa operacao como n investimentos iguais a x, logo o que se recebe e n · y.

6 Temas e Problemas y r x x x x' x x y y

Proporcionalidade e Func oes Afins 7

Observacao. Se uma quantia fixa gera, apos um mes de investimento, um retorno y,n ao e verdade que apos n meses essa mesma quantia gere o retorno n·y, mesmo que a taxa de juros permanec¸a constante. Pois ao final de cada mes e como se tivesse sido aplicada novamente uma quantia maior, igual a existente no mes anterior mais os juros correspondentes. Assim o retorno (num perıodo fixo) e proporcional ao capital inicial mas nao e proporcional ao tempo de investimento.

Esta observacao mostra que a propriedade “quanto maior for x, maior sera y”n ao assegura a proporcionalidade entre x e y. Outro exemplo disto e a correspondencia x → y, onde x e o lado de um quadrado e y e sua area.

Diante dos exemplos anteriores, podemos formular a definicao matematica de proporcionalidade, onde as grandezas sao substituıdas por numeros reais, que sao suas medidas.

Estamos considerando apenas grandezas que tem medida positiva, logo o modelo matematico da proporcionalidade leva em consideracao apenas numeros reais positivos.

com as seguintes propriedades:

Numa proporcionalidade a propriedade 2), acima admitida apenas quando n ∈ N, vale para um numero real positivo qualquer. Este e o conteudo do

Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

A demonstracao do teorema acima estan o Apendice 1 na pag. 16. Ver tambem os seguintes livros, publicados pela S.B.M.: “Meu

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cionalidade f satisfaz esta igualdade para qualquer numero real positivo c tem importantes consequencias, como veremos agora.

Uma funcao f: R → R definida por f(x)= ax, onde a ∈ R e uma constante, chama-se uma funcao linear. Quando a> 0,a funcao linear f(x)= ax transforma um numero real positivo x no numero positivo ax, logo define, por restricao, uma proporciona- proporcionalidade e a restricao de uma funcao linear a R . O coeficiente a chama-se o fator de proporcionalidade.

Esta ultima observacao nos permite concluir que se bos esses quocientes sao iguais ao fator de proporcionalidade a.

A igualdade y /x = y /x chama-se uma proporcao.

Chama-se regra de tres ao problema que consiste em, conhe- cendo tres dos numeros x , y

Ha duas maneiras tradicionais de resolver esse problema. Su- ponhamos dados x , y e x . O quarto elemento da proporcao sera chamado y. Entao deve ser y /x = y/x , donde se tira y = x y /x . Esta e uma forma de resolver a regra de tres.

O outro metodo de resolver a regra de tres chama-se “reducao a = y /x ed aı vem o valor do termo y que falta na proporcao

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