apresentação

Serie Numerica
Series Numericas Maria do Carmo Martins
Novembro de 2006
Definicao e generalidades
Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Chama-se serie numerica ou serie de numeros reais ou soma infinita a expressao que se obtem somando todos os termos de (un). Simbolicamente:

u1 + u2 + u3 + · + un + | = |
n=1 un

Definicao e generalidades
Considerando a serie ∑ un, tem-se

termos da serie em que un e o termo geral da serie.
Observacao
Por vezes e conveniente considerar series do tipo ∑∞ n=0 un, ou mais geralmente, ∑∞ n=p un, onde p e um numero natural. Assim, sao tambem series as expressoes
un = u2 + u3 + · + un + |
Sucessao associada a uma serie
Considere-se a serie numerica ∑ un. Define-se
S1 = u1 primeiro termo da serie S2 = u1 + u2 soma dos dois primeiros termos da serie S3 = u1 + u2 + u3 soma dos tres primeiros termos da serie
Sucessao associada a uma serie
somas parciais da serie∑ un
(Sn)n∈N ou (Sn) e uma sucessao de numeros reais chamada sucessao das somas parciais da serie ∑ un ou sucessao associada a serie.
Sucessao associada a uma serie
Exemplo: Seja Sn = n n+1 o termo geral geral da sucessao das somas parciais da serie ∑ un. Determine un.
Convergencia da sucessao associada a serie
Considere-se a serie numerica ∑ un e seja (Sn) a sua sucessao associada. Entao
Natureza de uma serie
Diz-se que a serie de termo geral un e convergente se existir em R o
O numero real S diz-se a soma da serie ∑ un. Escreve-se
Diz-se que a serie de termo geral un e divergente se a sucessao associada a serie for divergente, isto e, se
Chama-se natureza de uma serie a propriedade de ser convergente ou divergente.
Observacao
Note-se que sendo (Sn) uma sucessao, o calculo do limite de Sn obedece as propriedades algebricas dos limites das sucessoes, podendo aplicar-se, sempre que seja possıvel, as regras praticas ja estudadas.
Exemplos
Resto de uma serie
Seja ∑ un uma serie numerica. Chama-se resto de ordem p da serie ∑ un a serie que se obtem suprimindo os p primeiros termos da serie. Simbolicamente
Exemplo: Escreva o resto de ordem 4 da serie ∑ 1n.
Observacao
Suponhamos que ∑ un e uma serie numerica convergente cuja
+un+1 + un+2 + | ︸ ︷︷ ︸ |
Sn Rn ou seja,
Observacao (continuacao)
Tomando limites, tem-se:
Concluimos entao que uma serie e convergente se o resto de ordem n for um infinitesimo, isto e:∑ un e convergente ⇔ limRn = 0
Serie geometrica
Chama-se serie geometrica a toda a serie da forma
arn = a + ar + ar2 + ar3 + · + arn + |
Refira-se que, numa serie geometrica cada termo pode obtido a partir do termo anterior multiplicando pela razao r.
Exemplo:
Verifique que a serie ∑ 1 2n e geometrica e indique a razao.
Estudemos a natureza (convergente ou divergente) da serie geometrica. Escrevendo a sucessao das somas parciais, multiplicando por r e subtraindo, vem
Consideremos os seguintes casos:
Calculemos o limite de Sn:
limSn = lim a − arn
= lim
Sendo rn uma exponencial, o limite vai depender da base.
Sendo (Sn) convergente, entao a serie ∑ arn−1 e convergente
Natureza da serie geometrica (4)
Sendo (Sn) divergente, entao a serie ∑ arn−1 e divergente.
Se n e par, entao Sn = a
Assim, Sn = a para n ımpar e Sn = 0 para n par. E sabido que esta sucessao nao tem limite e, portanto, a serie e divergente.
Natureza da serie geometrica (5)
2) Se r = 1, entao Sn = na. Calculando o limite de Sn tem-se: limSn = limna = ∞
Como (Sn) e divergente, entao ∑ arn−1 e divergente.
Conclusao:
caso, a sua soma e
Exemplos
Determine a natureza das seguintes series e, em caso de convergencia, calcule a respectiva soma:1 ∑ 2
Serie de Mengoli
Chama-se serie de Mengoli1 a toda a serie cujo termo geral pode ser escrito numa das seguintes formas:
1Pietro Mengoli, matematico italiano que em em 1650 estabeleceu s soma de grande numero de series de termos positivos e a divergencia da serie harmonica
Exemplos
Verifique que sao de Mengoli as seguintes series:1 ∑ 1
Serie de Mengoli
Analisemos cada um dos casos da definicao anterior. Consideremos o caso (1). Admitamos que existe uma sucessao (an) tal que un = an − an+1. Tem-se
Calculemos o limite de Sn:
Serie de Mengoli
Portanto,
(Sn) converge ⇔ (an) converge∑ un converge ⇔ (an) converge
Conclusao: A serie de Mengoli∑
converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e S = a1 − liman.
Serie de Mengoli
Consideremos o caso (2). Admitamos que existe uma sucessao (an) tal que un = an − an+2. Tem-se
Calculemos o limite de Sn:
Serie de Mengoli
Portanto,
(Sn) converge ⇔ (an) converge∑ un converge ⇔ (an) converge
Conclusao: A serie de Mengoli∑
converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e S = a1 + a2 − 2liman.
Serie de Mengoli
Consideremos, finalmente, o caso (3). Admitamos que existe uma sucessao (an) tal que un = an − an+p, com p ∈ N. Tem-se
Calculemos o limite de Sn:
Serie de Mengoli
Conclusao: A serie de Mengoli∑
com p ∈ N, converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e
Exercıcio
Calcule a soma das series das seguintes series1 ∑ 1
Serie Aritmetica
Chama-se serie artmetica a toda a serie em que e constante a diferenca entre um termo e o seu antecedente.
Portanto, a serie ∑ un e uma serie aritmetica se un+1 − un = r, com r constante. Tem-se assim,
Como limSn = ∞, a serie aritmetica e sempre divergente.
Exemplo:
Determine a natureza da serie ∑ 2n.
Serie geometrica-aritmetica
narn−1 = a + 2ar + 3ar2 + 4ar3 + · + narn−1 + |
Chama-se serie geometrica-aritmetica a toda a serie da forma∑
Exemplo:
Verifique que a serie ∑ n 2n e uma serie geometrica-aritmetica.
Natureza da serie geometrica-aritmetica (1)
Estudemos a natureza da serie ∑ narn−1, procedendo de modo analogo ao das series geometricas.
−narn
Natureza da serie geometrica-aritmetica (2)
Consideremos os seguintes casos:
Calculemos o limite de Sn:
limSn = lim ( a − arn
Sendo rn uma exponencial, o limite vai depender da base. Assim, teremos de considerar os casos:
Natureza da serie geometrica-aritmetica (3) limSn = lim ( a − arn
= lim
2Recorde-se que a exponencial de base maior que 1 evolui mais rapidamente do que qualquer potencia do seu expoente
Natureza da serie geometrica-aritmetica (4)
Sn = a − arn
Natureza da serie geometrica-aritmetica (5)
Se n e par, entao Sn = −na2 , pelo que limSn depende do sinal de a.
Se n e ımpar, entao Sn = a+na2 , pelo que
limSn = lim a +na
Assim, nao existe limSn e, portanto, a serie e divergente.
Natureza da serie geometrica-aritmetica (6) limSn = lim an2 + an
Como (Sn) e divergente, entao ∑ narn−1 e divergente.
Conclusao: A serie geometrica-aritmetica ∑ narn−1 converge se, e so se, |r| < 1. Neste caso, a sua soma e
Teorema 1 - Criterio Geral de Cauchy
Para que uma serie ∑ un seja convergente e necessario e suficiente que
Note-se que:
Teorema (Criterio de Cauchy para as sucessoes) Seja (un) uma sucessao numerica.
Corolario 1 - Condicao necessaria para a convergencia (serie)
Observacao: O corolario anterior diz-nos que∑ un converge ⇒ limun = 0.
No entanto,
Exemplo
Aplicando o criterio geral de convergencia determine a natureza da serie ∑ 1n.
Corolario 2
Se ∑ un e uma serie tal que limun 6= 0, entao a serie ∑ un e divergente.
Teorema 2
Se c e uma constante nao nula, entao as series ∑ un e ∑ c un sao da mesma natureza e, no caso de convergencia, se for S a soma de∑ un, entao c S sera a soma de ∑ c un.
Exemplo: Estude a natureza das series:1 ∑ 1
Teorema 3 un e ∑ vn duas series convergentes, cujas somas sao
Exemplo: Mostre que ∑( 4
) e convergente.
Corolario un e convergente e a serie ∑ vn e divergente (ou
Exemplo: Determine a natureza das series1 ∑( 1
Conclusao
un convergente∑ vn convergente
un convergente∑ vn divergente undivergente∑ vndivergente
⇒ nada se pode concluir acerca da natureza da serie∑ (un + vn).
Teorema 4
Se uma serie, ∑ un, e convergente, entao a serie, ∑u′n, que se obtem associando dois a dois os termos consecutivos da serie de forma a construir novos termos e tambem convergente e tem a mesma soma.
Corolario:Se ∑u′n e divergente, entao ∑ un e divergente.
Teorema 5
A natureza de uma serie nao se altera se modificarmos um numero finito dos seus termos, isto e,
- Se duas series diferem de um numero finito de termos elas tem a mesma natureza.
Nota: As series ∑ an e ∑a′n tem a mesma natureza, mas podem nao ter a mesma soma.
Exemplo: Determine a natureza da serie∑
e, em caso de convergencia, calcule a soma.
Series de termos nao negativos
Uma serie ∑ un diz-se de termos nao negativos se
Serie de termos nao positivos
Uma serie ∑ un diz-se de termos nao positivos se