Serie Numerica

Series Numericas Maria do Carmo Martins

Novembro de 2006

Definicao e generalidades

Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Chama-se serie numerica ou serie de numeros reais ou soma infinita a expressao que se obtem somando todos os termos de (un). Simbolicamente:

u1 + u2 + u3 + · + un +

=

n=1 un

Definicao e generalidades

Considerando a serie ∑ un, tem-se

termos da serie em que un e o termo geral da serie.

Observacao

Por vezes e conveniente considerar series do tipo ∑∞ n=0 un, ou mais geralmente, ∑∞ n=p un, onde p e um numero natural. Assim, sao tambem series as expressoes

un = u2 + u3 + · + un +

Sucessao associada a uma serie

Considere-se a serie numerica ∑ un. Define-se

S1 = u1 primeiro termo da serie S2 = u1 + u2 soma dos dois primeiros termos da serie S3 = u1 + u2 + u3 soma dos tres primeiros termos da serie

Sucessao associada a uma serie

somas parciais da serie∑ un

(Sn)n∈N ou (Sn) e uma sucessao de numeros reais chamada sucessao das somas parciais da serie ∑ un ou sucessao associada a serie.

Sucessao associada a uma serie

Exemplo: Seja Sn = n n+1 o termo geral geral da sucessao das somas parciais da serie ∑ un. Determine un.

Convergencia da sucessao associada a serie

Considere-se a serie numerica ∑ un e seja (Sn) a sua sucessao associada. Entao

Natureza de uma serie

Diz-se que a serie de termo geral un e convergente se existir em R o

O numero real S diz-se a soma da serie ∑ un. Escreve-se

Diz-se que a serie de termo geral un e divergente se a sucessao associada a serie for divergente, isto e, se

Chama-se natureza de uma serie a propriedade de ser convergente ou divergente.

Observacao

Note-se que sendo (Sn) uma sucessao, o calculo do limite de Sn obedece as propriedades algebricas dos limites das sucessoes, podendo aplicar-se, sempre que seja possıvel, as regras praticas ja estudadas.

Exemplos

Resto de uma serie

Seja ∑ un uma serie numerica. Chama-se resto de ordem p da serie ∑ un a serie que se obtem suprimindo os p primeiros termos da serie. Simbolicamente

Exemplo: Escreva o resto de ordem 4 da serie ∑ 1n.

Observacao

Suponhamos que ∑ un e uma serie numerica convergente cuja

+un+1 + un+2 +

︸ ︷︷ ︸

Sn Rn ou seja,

Observacao (continuacao)

Tomando limites, tem-se:

Concluimos entao que uma serie e convergente se o resto de ordem n for um infinitesimo, isto e:∑ un e convergente ⇔ limRn = 0

Serie geometrica

Chama-se serie geometrica a toda a serie da forma

arn = a + ar + ar2 + ar3 + · + arn +

Refira-se que, numa serie geometrica cada termo pode obtido a partir do termo anterior multiplicando pela razao r.

Exemplo:

Verifique que a serie ∑ 1 2n e geometrica e indique a razao.

Estudemos a natureza (convergente ou divergente) da serie geometrica. Escrevendo a sucessao das somas parciais, multiplicando por r e subtraindo, vem

Consideremos os seguintes casos:

Calculemos o limite de Sn:

limSn = lim a − arn

= lim

Sendo rn uma exponencial, o limite vai depender da base.

Sendo (Sn) convergente, entao a serie ∑ arn−1 e convergente

Natureza da serie geometrica (4)

Sendo (Sn) divergente, entao a serie ∑ arn−1 e divergente.

Se n e par, entao Sn = a

Assim, Sn = a para n ımpar e Sn = 0 para n par. E sabido que esta sucessao nao tem limite e, portanto, a serie e divergente.

Natureza da serie geometrica (5)

2) Se r = 1, entao Sn = na. Calculando o limite de Sn tem-se: limSn = limna = ∞

Como (Sn) e divergente, entao ∑ arn−1 e divergente.

Conclusao:

caso, a sua soma e

Exemplos

Determine a natureza das seguintes series e, em caso de convergencia, calcule a respectiva soma:1 ∑ 2

Serie de Mengoli

Chama-se serie de Mengoli1 a toda a serie cujo termo geral pode ser escrito numa das seguintes formas:

1Pietro Mengoli, matematico italiano que em em 1650 estabeleceu s soma de grande numero de series de termos positivos e a divergencia da serie harmonica

Exemplos

Verifique que sao de Mengoli as seguintes series:1 ∑ 1

Serie de Mengoli

Analisemos cada um dos casos da definicao anterior. Consideremos o caso (1). Admitamos que existe uma sucessao (an) tal que un = an − an+1. Tem-se

Calculemos o limite de Sn:

Serie de Mengoli

Portanto,

(Sn) converge ⇔ (an) converge∑ un converge ⇔ (an) converge

Conclusao: A serie de Mengoli∑

converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e S = a1 − liman.

Serie de Mengoli

Consideremos o caso (2). Admitamos que existe uma sucessao (an) tal que un = an − an+2. Tem-se

Calculemos o limite de Sn:

Serie de Mengoli

Portanto,

(Sn) converge ⇔ (an) converge∑ un converge ⇔ (an) converge

Conclusao: A serie de Mengoli∑

converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e S = a1 + a2 − 2liman.

Serie de Mengoli

Consideremos, finalmente, o caso (3). Admitamos que existe uma sucessao (an) tal que un = an − an+p, com p ∈ N. Tem-se

Calculemos o limite de Sn:

Serie de Mengoli

Conclusao: A serie de Mengoli∑

com p ∈ N, converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e

Exercıcio

Calcule a soma das series das seguintes series1 ∑ 1

Serie Aritmetica

Chama-se serie artmetica a toda a serie em que e constante a diferenca entre um termo e o seu antecedente.

Portanto, a serie ∑ un e uma serie aritmetica se un+1 − un = r, com r constante. Tem-se assim,

Como limSn = ∞, a serie aritmetica e sempre divergente.

Exemplo:

Determine a natureza da serie ∑ 2n.

Serie geometrica-aritmetica

narn−1 = a + 2ar + 3ar2 + 4ar3 + · + narn−1 +

Chama-se serie geometrica-aritmetica a toda a serie da forma∑

Exemplo:

Verifique que a serie ∑ n 2n e uma serie geometrica-aritmetica.

Natureza da serie geometrica-aritmetica (1)

Estudemos a natureza da serie ∑ narn−1, procedendo de modo analogo ao das series geometricas.

−narn

Natureza da serie geometrica-aritmetica (2)

Consideremos os seguintes casos:

Calculemos o limite de Sn:

limSn = lim ( a − arn

Sendo rn uma exponencial, o limite vai depender da base. Assim, teremos de considerar os casos:

Natureza da serie geometrica-aritmetica (3) limSn = lim ( a − arn

= lim

2Recorde-se que a exponencial de base maior que 1 evolui mais rapidamente do que qualquer potencia do seu expoente

Natureza da serie geometrica-aritmetica (4)

Sn = a − arn

Natureza da serie geometrica-aritmetica (5)

Se n e par, entao Sn = −na2 , pelo que limSn depende do sinal de a.

Se n e ımpar, entao Sn = a+na2 , pelo que

limSn = lim a +na

Assim, nao existe limSn e, portanto, a serie e divergente.

Natureza da serie geometrica-aritmetica (6) limSn = lim an2 + an

Como (Sn) e divergente, entao ∑ narn−1 e divergente.

Conclusao: A serie geometrica-aritmetica ∑ narn−1 converge se, e so se, |r| < 1. Neste caso, a sua soma e

Teorema 1 - Criterio Geral de Cauchy

Para que uma serie ∑ un seja convergente e necessario e suficiente que

Note-se que:

Teorema (Criterio de Cauchy para as sucessoes) Seja (un) uma sucessao numerica.

Corolario 1 - Condicao necessaria para a convergencia (serie)

Observacao: O corolario anterior diz-nos que∑ un converge ⇒ limun = 0.

No entanto,

Exemplo

Aplicando o criterio geral de convergencia determine a natureza da serie ∑ 1n.

Corolario 2

Se ∑ un e uma serie tal que limun 6= 0, entao a serie ∑ un e divergente.

Teorema 2

Se c e uma constante nao nula, entao as series ∑ un e ∑ c un sao da mesma natureza e, no caso de convergencia, se for S a soma de∑ un, entao c S sera a soma de ∑ c un.

Exemplo: Estude a natureza das series:1 ∑ 1

Teorema 3 un e ∑ vn duas series convergentes, cujas somas sao

Exemplo: Mostre que ∑( 4

) e convergente.

Corolario un e convergente e a serie ∑ vn e divergente (ou

Exemplo: Determine a natureza das series1 ∑( 1

Conclusao

un convergente∑ vn convergente

un convergente∑ vn divergente undivergente∑ vndivergente

⇒ nada se pode concluir acerca da natureza da serie∑ (un + vn).

Teorema 4

Se uma serie, ∑ un, e convergente, entao a serie, ∑u′n, que se obtem associando dois a dois os termos consecutivos da serie de forma a construir novos termos e tambem convergente e tem a mesma soma.

Corolario:Se ∑u′n e divergente, entao ∑ un e divergente.

Teorema 5

A natureza de uma serie nao se altera se modificarmos um numero finito dos seus termos, isto e,

- Se duas series diferem de um numero finito de termos elas tem a mesma natureza.

Nota: As series ∑ an e ∑a′n tem a mesma natureza, mas podem nao ter a mesma soma.

Exemplo: Determine a natureza da serie∑

e, em caso de convergencia, calcule a soma.

Series de termos nao negativos

Uma serie ∑ un diz-se de termos nao negativos se

Serie de termos nao positivos

Uma serie ∑ un diz-se de termos nao positivos se