Apostila cálculo IV equações diferenciais

Apostila cálculo IV equações diferenciais

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ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado Versão: 2010/2

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CURSO DISCIPLINA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Nº DE AULAS SEMANAIS ANO 2010 03 SEMESTRE 2º CARGA HORÁRIA PERÍODO 4º

54 UNIDADE ACADÊMICA INESP EMENTA

Equações diferenciais de primeira e segunda ordem. Aplicação de equação diferencial em: cinemática, dinâmica, vibrações mecânicas, biologia, economia.

Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de utilizar as técnicas de resolução das equações diferenciais para resolver problemas. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

I – Equações Diferenciais de Primeira Ordem 1.1 – Equações Lineares e Não-Lineares

1.2 – Equações de Variáreis Separadas 1.3 – Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem

1.4 – Problemas de Mecânica 1.5 – Equações Exatas e Fatores Integrantes

1.6 – Equações Homogêneas 1.7 – Problemas e Aplicações Diversos 1.8 –Teorema da Existência e Unicidade 1.9 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem I – Equações Lineares de Segunda Ordem 2.1 – Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes 2.2 – Soluções Fundamentais das Equações Homogêneas Lineares 2.3 – Independência Linear 2.4 – Raízes Complexas da Equação Característica 2.5 – Raízes Repetidas; Redução de Ordem 2.6 – Método dos Coeficientes Independentes 2.7 – Método de Variação de Parâmetros

2.8 – Oscilações Mecânicas e Oscilações Elétricas

2.9 – Oscilações Forçadas MÉTODOS E RECURSOS DIDÁTICOS

Aula expositiva, seguida de debates, exercícios de sondagem e fixação; Proposição de situações problemáticas, mediante condições explicativas para as possíveis soluções, pesquisa em livros e na w. Quadro negro, giz, internet, e-mail.

Atividades extra-classe:

- Resolução de listas de exercícios de fixação e aprofundamento. - Resolução virtual de exercícios em editor de texto matemático.

AVALIAÇÃO Serão distribuídos 100 créditos no decorrer do semestre através de trabalhos e provas.

Serão distribuídos 30 pontos no primeiro bimestre letivo, 35 pontos no segundo bimestre e 35 pontos no terceiro bimestre.

As recuperações das avaliações ocorrerão ao longo do semestre.

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BOYCE, W. E. & PRIMA, R. C. Di. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999 LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Ed. Harbra, 1994.

ABUNAHMAN, Sergio. Equações diferenciais. 2.ed. Rio de Janeiro: Erica, 1993.

SIMMIONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: MacGraw-Hill, 1987. STEWART, James. Cálculo. 5. São Paulo: Thomson, 2006.

PISKUNOV, N.. Cálculo diferencial e integral. 7. ed. Porto: Lopes da Silva, 1984. GOLDSTEIN, Larry J.. LAY, David C. e SCHNEIDER, David I.. Matemática aplicada:

economia, administração e contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. LANG, Serge. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos, 1975.

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1 – Equações Diferenciais Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função sua variável e suas derivadas, ou seja

1.1 – Equações de Variáveis Separáveis A equação geral de primeira ordem assume a forma

yxf dx

,(Eq.1)

Se a Eq.(1) é não-linear, isto é , se f não é uma função linear da variável dependente y, não existe um método geral para resolver a equação. Consideremos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processo direto de integração pode ser usado. Em primeiro lugar, reescrevemos a Eq.(1)

N dx dyNMM dx dyN

NM dx f dx

dyNMyxyxEq.(2)

0,, dx Caso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y, a Eq.(2) se torna

dyNMyxEq.(3)

Uma equação deste tipo é dita separável porque é escrita na forma diferencial

dxMdyN dxMdyN dyNdxM xy yx 0

Exemplos

Ex.-1 Resolva a equação 2

1 yx dx

CxyyouCxyy dxxdyy dxxdyy yx dx

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Ex.-2 Achar a solução do problema de valor inicial 12 243 2 x dx dy , 10 y. Determine y em função de

Cxxxyy Cxxxyy dxxxdyy y x dx dy

xxxyouxxxy xxxy xxxy xy

Ex.-3 Resolver o problema de valor inicial xy dx dy

Cxsenyy

Cxsenyxdxxdyyy dxxdyyy y dxxdyy ydxxdy y xy dx dy cos

Exercícios Resolva a equação diferencial proposta:

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dx dy

1 yx dx

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