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MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO A Conjuntos e Funções

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Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, pessoas etc.

Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por letras minúsculas. Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras:

¾ Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Ex.: A={1,3,5}.

elementos. Ex.:B={x /x é número ímpar menor que sete}.

¾ Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus ¾ Pelo diagrama de Venn. Ex.:

PRINCIPAIS SÍMBOLOS ∈ pertence ∉ não pertence

/tal que

⊂ está contido ⊄ não está contido

existe ao menos um

∃! existe um único

∃/ não existe

∀ para todo ou qualquer ⇒ implicação

∪ união ∩ intersecção

Exemplo Sendo P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determina, por extensão, os seguintes conjuntos:

A = {x ∈ P / x = 3k, k ∈ P} = {}
B = {x ∈ P / x = 2k, k ∈ P} = {}

Observações ¾ Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado por φ ou { }.

¾ Quando o conjunto é infinito utilizamos reticências (...). Ex.: E = {1, 2, 3,}.

¾ Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Ex.: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então A ⊂ B ou A é subconjunto de B.

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¾ Chamamos de A ∩ B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. Ex.: Se A = {1, 2, 3, 8} e B = {2, 8, 9} então A ∩ B = {2, 8}.

¾ Chamamos de A ∪ B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B.

Considerando os conjuntos A e B do exemplo anterior, temos A ∪ B = {1, 2, 3, 8, 9}.

Principais Conjuntos Numéricos

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,}
Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Q = {x / x = b a, com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0}

Observações

¾ Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois casos:

1) a representação decimal é finita:

2) a representação decimal é infinita periódica:

1==

Considera os números 2, 3 e π , suas representações decimais são:

2 = 1,4142135
3 = 1,7320508
π = 3,1415926535

e = 2,71828... (n.º de Euler)

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Observa que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma b a. Todas as raízes não exatas são exemplos de números irracionais.

R = Q U I = { x / x é racional ou x é irracional} Portanto, são números reais:

• os números irracionais. Podemos representar os Reais em uma reta que chamamos Reta Real:

Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do ponto ou abscissa do ponto.

Alguns Conceitos Importantes

O módulo de um número é geometricamente a distância dele ao ponto de coordenada zero.

asea a

Se a e b são números reais, então (a,b) é um par ordenado de números reais, onde o primeiro elemento é a e o segundo elemento é b.

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Representação Gráfica y (Eixo das ordenadas)

oa x (Eixo das abscissas)

b - - - - -• P(a,b)

• P é o ponto de coordenadas a e b • O número a é chamado abscissa de P

• O número b é chamado ordenada de P

• A origem do sistema é o ponto O(0,0).

Exemplo Representa os pontos: M(2,3), N(-1,4), P(-2,-1), Q(3,-2), R(4,0), S(-3,0), T(0,1) e V(0,-3).

Exercícios 1) Completa usando os símbolos ∈ ou ∉:

a) – 7 _ N b)2 _ Qc) ½ _ I d)4

9 _ Q

e) 0,1666Q f) 64−_ R g) 3,232 _ Q h) 327−_ Z

2) Determina, por extensão, os seguintes conjuntos: a) {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 4} b) {x ∈ Z / -3 < x ≤ 3} c) {x ∈ Z / 0 ≤ x < 5} d) {x ∈ N / x ≤ -3} e) {x ∈ Z / x > 4}

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Intervalos

Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b , com a < b, temos:

¾ intervalo aberto (a, b) = { x ∈ R / a < x < b }

¾ intervalo semi-aberto à direita (a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b }

¾ intervalo semi-aberto à esquerda [a, b) = { x ∈ R / a ≤ x < b }

¾ intervalos infinitos (a, + ∞) = {x ∈ R / x > a}

[a, + ∞) = {x ∈ R / x ≥ a} (– ∞, a) = {x ∈ R / x < a} (– ∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a} Observação: (– ∞, + ∞) = R

Exemplos Usando a notação de conjuntos, escreve os intervalos:

a) [6,10] = { x ∈ R / 6 ≤ x ≤ 10 } b) (-1,5] = { x ∈ R / -1 < x ≤ b } c) (-∞,3) = { x ∈ R / x < 3 }

Operações com intervalos

• União )(∪ A ∪ B = { x ∈ U / x ∈ A ou x ∈ B }

• Diferença (–) A – B = { x ∈ U / x ∈ A e x ∉ B } w.pucrs.br/famat/daniela daniela@pucrs.br

Exemplos

1) Se A = {x ∈ R / 2 ≤ x < 5} e B = {x ∈ R / 3 ≤ x < 8}, determina A ∩ B, A ∪B, e A – B.

2) Se A = {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 0} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x < 3}, determina A ∩ B, A ∪B, e A – B.

Exercício: determina A ∩ B, A ∪B e A – B quando: a) A = {x ∈ R / 0 < x < 3} e B = {x ∈ R / 1 < x < 5} b) A = {x ∈ R / -4 < x ≤ 1} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x ≤ 3} c) A = {x ∈ R / -2 ≤ x < 2} e B = {x ∈ R / x ≥ 0} w.pucrs.br/famat/daniela daniela@pucrs.br

Funções

As funções desempenham um papel importante na ciência. A observação mostra que há certos fenômenos que apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico, desde que as condições iniciais sejam as mesmas. A busca de uma função que representa uma determinada situação é chamada “modelagem matemática”.

Suponhamos, por exemplo, que queremos estudar uma variação de espaço e tempo no fenômeno da queda de corpos no vazio. Procuramos a regularidade do fenômeno (a lei). Quanto menores forem os intervalos de tempo em que fizermos as medições, melhor se conhecerá a variação.

Suponhamos que se fizeram as medições de segundo em segundo e que encontramos:

Tempos (em segundos) 0 1 2 3 4 5
Distâncias (em metros) 0 4,9 19,6 4,1 78,4 122,5

Esta tabela dá a primeira idéia da lei: d = ½ gt2

Se “t” é a variável do conjunto dos tempos e “d” a variável do conjunto das distâncias, a lei é a correspondência entre t e d. Dizemos que “d” é função da variável “t” e escrevemos simbolicamente d = f(t), onde t é a variável independente e d a variável dependente.

Dizemos que uma variável y é função de uma variável x, se e somente se, a cada valor de x (variável independente) corresponde um único valor de y = f(x) (variável dependente).

Outros exemplos

1) Se uma torneira despeja 30 l de água por minuto, o volume de água despejada dependerá do tempo que a torneira ficar aberta: Após 1 minuto será de 30 l;

Após 2 minutos será de 2×30 l = 60 l; Após 5 minutos será de 5×30 l = 150 l; Após 40 minutos será de 40×30 l = 1200 l

Indicando o tempo por x e o volume por y, temos y=30x. A cada valor de x tem

um único valor para y. Dizemos que “y é função de x ”.

2) A tarifa do táxi é uma função do número de quilômetros rodados, ou seja, para cada número de quilômetros rodados equivale um único valor a ser pago.

3) A cota de contribuição do imposto de renda é função do rendimento do individuo.

4) A receita total é função da quantidade vendida. 5) O custo Total depende da quantidade produzida.

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é feita através de tabelas, conjunto de pares ordenados, etc

A maioria das funções pode ser expressa através de uma relação (ou lei) matemática, como os exemplos anteriores. Entretanto existem funções que não podem ser expressas por uma lei matemática. Neste caso a relação entre as variáveis

Exemplo: a temperatura máxima no mês de fevereiro de 2002, de uma certa cidade, é função da data, pois cada dia tem uma única temperatura máxima.

Uma função f de um conjunto A num conjunto B é uma regra que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Diz-se neste caso que a função f está definida em A com valores em B.

BAf→:(lê-se: função f de A em B)
yx→(lê-se: a cada valor de Ax∈ associa-se um só valor yde B)

Indica-se que ƒ é uma função de A em B pela notação:

O domínio de uma função f é o conjunto dos possíveis valores da variável independente x. Indica-se por Dom f ou D(f ), assim, Dom ƒ = A;

Chamamos o conjunto B de contradomínio da função. Indica-se por C(ƒ), logo, C(ƒ)=B;

Chamamos o elemento y de B, associado ao elemento x de A de imagem de x pela função ƒ. Indica-se y = ƒ(x);

Chamamos de Conjunto Imagem o conjunto dos elementos y de B que são imagens dos elementos x de A. Indica-se por Im ou Im(ƒ). OBS: Im(ƒ)⊆ Β.

Função real de variável real é aquela cujo domínio e contradomínio são os reais.

Nas funções reais quando o domínio não está especificado considera-se que o domínio será de todos os reais x para os quais y = f(x) tem significado nos reais.

Exemplos e Exercícios

1) Expressa por meio de uma fórmula matemática a função RRf→: que a cada real

a) o seu quadradob) a sua terça parte c) a sua metade somada com três

x associa:

2) Resolve Uma certa livraria vende uma certa revista por R$ 15,0 a unidade. Considerando “x” a quantidade vendida, expressa por meio de uma fórmula matemática a função receita total como função da quantidade vendida.

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3) Se A = { -2, -1, 0, 1 } e ZAf→: definida por f(x) = x2 – 1 calcula Im(f).

4) Dada a função RRf→:, definida por f(x)=2x-7 pede-se:

5) Dada a função RRf→: definida por f(x)=x2-9x+14, determina: a) f(-3) b) f(0) c) f(7)

7) Determina o domínio das seguintes funções de variável real:

xxf xxf

Analisa os gráficos a seguir e identifica quais representam e quais não representam funções. Em seguida, determina o domínio e a imagem das funções:

a)b) c)
-20 2
x 02

x y

2-2 0 2
-2x

y x

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d)e) f) y
x

Observações

das abscissas (eixo x)

¾ O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo

¾ A imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y).

Os valores de x para os quais f(x)=0 chamam-se zeros ou raízes da função.

Geometricamente os zeros de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo x.

¾ f é positiva para um elemento x, x ∈ Dom f se, e somente se f(x) > 0;

¾ f é negativa para um elemento x, x ∈ Dom f se, e somente se f(x) < 0.

y
AB
01 2 3 4 5 x

Exemplo:

Observando o gráfico acima, temos: • f(1) = 0 e f(5) = 0 , logo, os números 1 e 5 são os zeros da função;

• f é positiva quando x ∈ (– ∞; 1) ou x ∈ (5; + ∞);

• f é negativa quando x ∈ (1; 5).

Observação: nota que o sinal da função para um elemento x, x ∈ Dom f é o sinal de f(x) e não o sinal de x.

c
a

x b

d
y
-2-1 0 2
-2
1
-10 1 2 3

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CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO y

ox

Observamos que: ¾ no intervalo A, aumentando o valor de x, aumenta também o valor de y. Dizemos então que a função é crescente no intervalo A .

¾ no intervalo B, aumentando o valor de x, o valor y diminui. Dizemos então que a função é decrescente no intervalo B.

De forma geral:

Exemplo Dada a função representada pelo gráfico abaixo, determina: y

½
-1-½ o 1 x

a) os zeros da função; b) o(s) intervalo(s) onde a função é crescente e o(s) intervalo(s) onde ela é decrescente; c) o(s) intervalo(s) onde a função é positiva e o intervalo onde ela é negativa.

w.pucrs.br/famat/daniela daniela@pucrs.br a) Qual é o domínio da f? b) Qual é a imagem de f.

c) Para que valor de x, f(x)= 0? d) Para que valor de x, f(x) > 0? e) Para que valor de x, f(x) < 0? f) Esta função é crescente ou decrescente?

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a) }{42/≤≤−Ν∈xc) }{37/−<≤−Ν∈x e) }{012/2=−−ℜ∈x
b) }{31/*≤<−Ζ∈xd) }{1023/*=−Ν∈x f) }{31/2=+ℜ∈yx

1) Determina, por extensão, os seguintes conjuntos:

3) Dados A=(-4,3], B=[-5,5] e E=(-∞,1), calcula: a) A ∩ Β ∩ E b) Α ∪ Β ∪ E c) (Α ∪ Β) ∩ Ε

4) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, então qual é o conjunto P = (Α − C) ∪ (C – B) ∪ (Α ∩ Β ∩ C)

5) Qual é a intersecção dos conjuntos Q ∪ (Ν ∩ Ζ) e (Ζ ∩ Q) ∪ Ν ?

6) Sendo ℜ→ℜ:f uma função definida por f(x)=x2-3x-10 , calcula: a) f(-2) b) f(-1) c) f(0) d) f(1/2)

7) Dada a função ℜ→ℜ:f definida por f(x) = x2 – 5x + 6, calcula os valores reais de x para que se tenha: a) f(x)=0 b) f(x)=12 c) f(x)=6

8) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 5x – b. Calcula o valor de a e b de modo que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3.

9) Dada a função ℜ→ℜ:f definida por f(x) = x2 – x – 12, determina k para que f(k + 1) = 0.

xf, c) Calcula x para que f(x)=2 3.

1) Calcula o domínio das funções:

xxf

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b) 12)(−=xxfh) xxf3)(=
xxfi) xxxf3)(2−=
d) 5+=xyj)

xy

e) 35−=xyk) 3xy=
2+=xyl)

f) 4 xy

12) (PUC/Campinas-SP) Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, qual foi o total de quilômetros percorridos?

13) Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções.

1) a){0,1,2,3,4}; b){1,2,3}; c){}; d){4}; e){-3,4}; f){2 , 2−}

Respostas

2) Sim. A = B = {2,3} 3) a) (-4,1); b) (∞−,5]; c)[-5,1)

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4) {a,b,c,e}
5)Ζ
7) a){2,3}; b){-1,6}, c){0,5}
10) a) -7/12, -5/2;b) - 7/3; c) {4, 7/3}
d) ℜ; e) ℜ; f) ℜ; g) [1; +∞); h) ℜ; i ) ℜ;j ) }4/3/{−≠ℜ∈x ou IR – {¾} ; k) ℜ;
l ) } 3 e 4/{≠≠ℜ∈x ou IR – {3, 4}

12) 21;

b)
c)
d)
e)

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PRINCIPAIS Funções Elementares

Dado um número real k, chama-se função constante a função ℜ→ℜ:f, definida por f(x) = k.

a) f(x) = 1b) f(x) = -3 c) f(x) =2 d) f(x) =

Exemplos 3

Gráfico da função constante

O gráfico da função constante f(x) = k é uma reta paralela ao eixo x passando pelos pontos de ordenada y = k. Nos exemplos (a) e (b) acima temos:

a)b)
yy
0x
1
0x -3

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

Dados os números reais a e b, com a ≠ 0, chama-se função do 1º grau a função ℜ→ℜ:f, definida por y = ax + b ou f(x) = ax + b.

O número a é chamado coeficiente angular e o número b é chamado coeficiente linear (onde a reta corta o eixo y).

Exemplos

b) y = x + 3coeficiente angular: _ coeficiente linear: _

a) f(x)=5x-2 coeficiente angular: _ coeficiente linear: _

x−coeficiente angular: _ coeficiente linear: _

c) g(x)= 2 Observação: xxf=)( é chamada Função Identidade.

f(x) = 1 f(x) = – 3 w.pucrs.br/famat/daniela daniela@pucrs.br

Gráfico da função polinomial do 1ºgrau

O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não-paralela nem ao eixo x nem ao eixo y. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem também é

o conjunto dos números reais. Ou seja, Dom f=ℜ eIm f = ℜ.

Exemplos 1) Constrói o gráfico das seguintes funções:

a) Y = 2x+3b) y = -2x+3

2) Escreve a função correspondente ao gráfico:

4
2
1
1 2 3

1) Dada a função f(x) = 4x – 2, pede-se: a) o valor de x para o qual se tenha f(x)=0.

b) o valor de x que tem imagem 1.

a) f(0)b) f(5)

2) Sendo f(x+3) = 2x + 4, pede-se:

função e sinal da função

3) Constrói o gráfico das funções abaixo, determinando domínio, imagem, zero da a) y = x b) f(x)=2 c) f(x) =5-3x d) f(x)=0

4) Dada a função linear y = ax + b, sabe-se que f(1) = 6 e f(2) = 1. Encontra a e b.

5) Dá a lei da função determinada pelo gráfico abaixo.

2
1

y -1 3 x

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6) Um ciclista, com velocidade constante (a partir dos 5 primeiros minutos), percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico abaixo.

y(espaço em km) 10

5
515

x(tempo em minutos) Em quanto tempo percorrerá 15 km?

7) O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y é composta de duas partes: uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número x de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,0 e o quilômetro rodado, R$ 1,20.

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