equações diferenciais ordinarias

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Equações Diferenciais Ordinárias Notas de aulas - 21 de Maio de 2003

Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil

Prof. Ulysses Sodré

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email: <ulysses@sercomtel.com.br> email: <ulysses@matematica.uel.br> Material compilado no dia 21 de Maio de 2003.

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Ora, a fé é o firme fundamento das coisas que se esperam e a prova das coisas que não se vêem. Porque por ela os antigos alcançaram bom testemunho. Pela fé entendemos que os mundos foram criados pela palavra de Deus; de modo que o visível não foi feito daquilo que se vê. HEBREUS 1:1-3, Bíblia Sagrada.

CONTEÚDO i

Conteúdo

1.1 Definição de Equação Diferencial Ordinária1
1.2 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial1
1.3 Classes de diferenciabilidade2
1.4 Operadores diferenciais lineares2
1.5 Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n3
1.6 Solução de uma Equação Diferencial3
1.7 Existência e unicidade de solução para uma EDO4
1.8 Problema de Valor Inicial (PVI)5

1 Conceitos fundamentais em equações diferenciais 1

2.1 As formas normal e diferencial de primeira ordem5
2.2 Equações separáveis de primeira ordem6
2.3 Modelos Matemáticos e Equações Diferenciais6
2.4 Crescimento Populacional: Modelo de Malthus7
2.5 Crescimento Populacional: Maodelo de Verhulst9
2.6 Equações homogêneas de primeira ordem10
2.7 Equações Exatas de primeira ordem12
2.8 Teorema de Existência e Unicidade de solução de um PVI15
2.9 Simplificação de equações lineares de primeira ordem15
2.10 Complementos de Análise na reta15
2.1 Método do Fator Integrante17
2.12 Equações não lineares de primeira ordem redutíveis a lineares20

2 Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 5

3.2 Equações Lineares homogêneas de segunda ordem24
3.3 Teorema de Existência e Unicidade de solução de um PVI24
3.4 Equações Lineares de 2a. ordem com coeficientes constantes25
3.5 Solução da equação homogênea associada26
3.6 Método de d’Alembert para obter outra solução27
3.7 Equação eqüidimensional de Euler-Cauchy29
3.8 Método dos Coeficientes a Determinar36
3.9 Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)38

CONTEÚDO iv

4.1 Equação do tipo y(n) = f(x)42
4.2 Equação que não tem o termo em y43
4.3 Equação que não tem os termos em y e em y′43
4.4 Equação que não tem os termos em y, y′ e y′′4
4.5 Equação que não tem y, y′, y′′,, y(k−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.6 Equação que não tem a variável independente x4
4.7 EDO F(y,y′,...,y(n)) = 0, F homogênea só nas variáveis y(k)45

4 Redução da ordem de uma equação diferencial 42

5.1 Decaimento Radioativo46
5.2 Lei do resfriamento de Newton48
5.3 Elementos de Eletricidade49

Seção 1 Conceitos fundamentais em equações diferenciais 1

1 Conceitos fundamentais em equações diferenciais

1.1 Definição de Equação Diferencial Ordinária

F(x, y(x), y′(x), y′′(x),, y(n)(x)) = 0

Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais. x é a variável independente, y é a variável dependente e o símbolo y(k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x).

Exemplos:

1.2 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial

A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo:

Exemplos:

1.3 Classes de diferenciabilidade 2

1.3 Classes de diferenciabilidade

Uma função real f : R → R pertence à classe de diferenciabilidade Cn(R), se:

Exemplos:

1.4 Operadores diferenciais lineares

Demonstra-se que o conjunto F = Cn(R) de todas as funções reais n vezes continuamente diferenciáveis, é um espaço vetorial sobre R. Para cada f ∈ F, definimos o operador diferencial D : F → F por

1.5 Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n 3

Demonstra-se que são lineares estes operadores diferenciais Dk : F → F, isto é, para quaisquer f,g ∈ F e para quaisquer a,b ∈ R:

Exemplo: O operador L = x5D2 + exD + sin(x)I é linear sobre o espaço vetorial F = C2(R), pois para para quaisquer f,g ∈ F e para quaisquer números reais a e b, vale a identidade

1.5 Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n

a0(x) y(n) + a1(x) y(n−1) + a2(x) y(n−2) ++ an(x) y = b(x)

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma nhecidas sendo a0 = a0(x) não identicamente nula e todas estas funções devem depender somente da variável x. A função (incógnita) desconhe-

Em virtude das informações da seção anterior, é possível definir o operador diferencial linear

L = a0(x) D(n) + a1(x) D(n−1) + a2(x) D(n−2) ++ an(x) I

e assim a equação diferencial acima terá a forma simplificada e este é o motivo pelo qual, a equação diferencial acima recebe o nome de linear.

1.6 Solução de uma Equação Diferencial

Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz identicamente à equação. A solução mais geral possível que admite uma

1.7 Existência e unicidade de solução para uma EDO 4 equação diferencial é denominada solução geral, enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.

Exemplos:

1.7 Existência e unicidade de solução para uma EDO

Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO.

1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial?

Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características.

Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” ao cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções.

1.8 Problema de Valor Inicial (PVI) 5

1.8 Problema de Valor Inicial (PVI)

Uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é denominado Problema de Valor Inicial (PVI).

Exemplo:

Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.

2 Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

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