Apostila - Exercicios de Matematica comentada - Joselias

Apostila - Exercicios de Matematica comentada - Joselias

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NOTAS DE AULAS - Matemática - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - w.concurseiros.org

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Dados do professor Joselias S. da Silva.

Joselias é Bacharel em Estatística, formado pela Escola Nacional de Ciências Estatísticas(ENCE). Foi Diretor de Orçamentos do Tribunal Regional Federal(TRF- 3ªRegião) e atualmente é professor em universidades paulistas e cursinhos preparatórios para concursos públicos.

Livro de sua autoria: É autor do livro Matemática Para

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Concursos Públicos com Teoria e 500 Questões Resolvidas e Comentadas-Editora Policon. O livro pode ser adquirido pela Internet na Livraria dos Concurseiros através do site Dúvidas e convite para aulas podem ser feitas pelo site: w.concurseiros.org ou livraria@livrariadosconcurseiros.com.br ou joselias@uol.com.br VEJA O HD VIRTUAL NO ENDEREÇO ABAIXO: http://discovirtual.uol.com.br/disco_virtual/joselias/Apostilas

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Boa Sorte. Joselias.

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CAPÍTULO 1 1- NÚMEROS INTEIROS, FRACIONÁRIOS E DECIMAIS.

1.1- NÚMEROS NATURAIS

os seus rebanhos. Então, surgiram os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 12,

Os números naturais surgiram quando as primeiras civilizações começaram a contar

À representação dos números chamamos de numeral, por exemplo: 19 é o numeral representado pelos algarismos 1 e 9.

1.1.3- NÚMEROS PARES E NÚMEROS ÍMPARES

12, 14,

Chamaremos de números pares aos números múltiplos de 2, isto é: 0, 2, 4, 6, 8, 10,

3, 5, 7, 9,

Chamaremos de números ímpares aos números naturais que não são pares, isto é: 1,

1.2- NÚMEROS INTEIROS

,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...

Estudaremos no ensino fundamental que os números inteiros são:

1.2.1- PROPRIEDADES E OPERAÇÕES DOS NÚMEROS INTEIROS Se a, b e c são números inteiros, então: I- a+b = b+a e ab = ba Dizemos então que a soma e o produto são operações comutativas.

I- a+(b+c) = (a+b)+c e a.(bc) = (ab).c Dizemos então que a soma e o produto são operações associativas.

I- a(b+c) = ab + ac Dizemos então que o produto é distributivo em relação à operação soma.

IV- a+0 = a Dizemos que zero é o elemento neutro da operação soma.

V- a.1 = a Dizemos que um é o elemento neutro da operação produto.

VI- Para cada inteiro a, existe um inteiro x, tal que x+a = 0. Este valor de x será representado por –a, e será chamado de simétrico ou oposto do número a.

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Exemplos: -2 é simétrico de 2

-3 é simétrico de 3

-2 é oposto de 2 3 é simétrico de -3 3 é oposto de -3

1.2.2- MÓDULO (OU VALOR ABSOLUTO) O módulo (ou valor absoluto) de um inteiro não negativo a e de seu oposto –a será o próprio valor inteiro a. Representaremos o módulo do inteiro a como sendo a. Isto é:

Observe que:

1.2.3- CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Representaremos o conjunto dos números inteiros por:

Teremos então os seguintes conjuntos derivados do conjunto dos números inteiros:

1.3- MÚLTIPLOS E DIVISORES Sejam a e b números inteiros. Dizemos que a é múltiplo de b, se a é o produto de b por um número inteiro c.

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Exemplos: a) 18 é múltiplo de 3, pois 18 = 3 x 6. b) 18 é múltiplo de 6, pois 18 = 6 x 3. c) -12 é múltiplo de 4, pois -12 = 4 x (-3). d) 0 é múltiplo de 5, pois 0 = 5 x 0.

Observamos que se a e b são números inteiros tal que a é múltiplo de b ou c ( isto é

a = b . c) então, b e c são divisores de a. Exemplo: i. 3 é divisor de 18. i. 6 é divisor de 18. i. 4 é divisor de -12. iv. -4 é divisor de 12.

1.4- NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS

Nesse caso os números primos serão: 2, 3, 5, 7, 1, 13, 17, 19, 23, 29, 31,

Dizemos que um número inteiro n, maior do que um, é primo se seus divisores são - 1, 1, -n, n.

Podemos dizer também que os números primos são os números inteiros maiores do que um que possuem apenas dois divisores positivos (o número 1 e ele mesmo).

Os números inteiros maiores do que um que não são primos serão chamados de números compostos.

1.5- DIVISIBILIDADE (Critério de divisibilidade) Vamos verificar os critérios de divisibilidade para alguns números.

DIVISIBILIDADE POR 2

Um número é divisível por 2 quando é par ( termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ).

: 14, 36, 2658, 3100,

Exemplos:

DIVISIBILIDADE POR 3

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3.

Exemplos:

a) 42(4+2=6) b) 126(1+2+6=9)

DIVISIBILIDADE POR 4

Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4.

Exemplos:

a) 3128(28 é divisível por 4) b) 974(4 é divisível por 4)

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DIVISIBILIDADE POR 5

Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco. Exemplos: a)735 b) 950

DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, tem que ser par e divisível por 3. Exemplos: a) 138 b) 714

DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Exemplos: a) 12240 é divisível por 8, pois 240 é divisível por 8. b) 95.880 é divisível por 8, pois 880 é divisível por 8.

DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplos: a) 567 é divisível por 9, pois 5 + 6 + 7 = 18 é divisível por 9. b) 2124 é divisível por 9, pois 2 + 1 + 2 + 4 = 9 é divisível por 9. c) 8793 é divisível por 9, pois 8 + 7 + 9 + 3 = 27 é divisível por 9.

DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero). Exemplos: a) 54800 é divisível por 10. b) 71350 é divisível por 10.

DIVISIBILIDADE POR 1 Um número é divisível por 1, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 1. Exemplos: a) 23639 é divisível por 1, pois, • soma dos algarismos de ordem par: 3 + 3 = 6

• soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 6 + 9 = 17 Diferença: 17 – 6 = 1 é divisível por 1.

b) 919193 é divisível por 1. • soma dos algarismos de ordem par: 1 + 1 + 3 = 5

• soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27

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Diferença: 27 – 5 = 2 é divisível por 1.

1.6- DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Todo número inteiro, maior que um, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores primos. Exemplos: a) O número 45 pode ser decomposto como 32x51. b) O número 72 pode ser decomposto como 23x32. Esperamos que todos os leitores tenham visto no ensino fundamental a seguinte regra prática para decomposição dos números em fatores primos:

Decomposição do 72 em fatores primos.

1ª Passo: Dividimos o número 72 pelo menor divisor primo de 72.

2ª Passo: Dividimos o quociente obtido no 1ª Passo pelo menor divisor primo desse quociente.

3ª Passo: Continuamos conforme o 2ª Passo, considerando os quocientes obtidos no passo anterior até chegarmos ao quociente igual a um, quando poderemos escrever o número decomposto como o produto dos fatores primos obtidos.

Exemplos: a) Vamos decompor o número 72 em fatores primos:

Logo temos: 72 = 23x32. b) Vamos decompor o número 40 em fatores primos:

Logo temos: 40 = 23x51.

1.7- NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 5 pedaços iguais.

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Cada pedaço representa 1

(um quinto) da pizza. Isto é, 2 pedaços representam 2

5 dois quintos.

Portanto quero dizer que uma fração significa uma parcela(ou várias parcelas) de um todo. Deste modo representaremos uma fração como a b , onde a é chamado de numerador e b de denominador. Exemplos:

a) 1

5 fração ordinária b) 2

7 fração ordinária c) 1

10 fração decimal d) 9

100 fração decimal

1.8 – NÚMEROS RACIONAIS Dizemos que um número é racional se ele pode ser escrito na forma:

Isto quer dizer que um número é racional se ele pó ser escrito como uma fração. Os números que não podem ser representados como um fração serão chamados de Irracionais. Exemplos:

d) 2 7 é racional.

e) 2 é irracional f) π é irracional

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01) ¾ de 160 vale: a) 120 b) 125 c) 130 d) 135 e) 140 Resposta: A

02) 3/5 de 200 vale: a) 115 b) 120 c) 125 d) 135 e) 145 Resposta: B

03) ¾ de 8/9 vale: a) 2/3 b) 1/3 c) 2/5 d) 1/5 e) 3/5 Resposta: A

04) 2/3 de 27/4 vale: a) 7 b) 7/2 c) 9 d) 9/2 e) 10 Resposta: D

05) O valor de x para que 2/5 seja 80 vale: a) 100 b) 200 c) 220 d) 250 e) 300 Resposta: B

06) O valor de x para que ¾ seja 600 vale: a) 400 b) 500

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NOTAS DE AULAS- Matemática - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - w.concurseiros.org c) 600 d) 700 e) 800 Resposta: E

a) 0,1=

07) Transforme em fração: b) 0,2...= c) 0,3...= d) 0,4...= e) 0,6...= f) 0,121212...= g) 0,232323...= h) 0,451451...= i) 0,721721...= j) 0,233333...= k) 0,455555...= l) 0,344444...= m) 0,54444...=

Resposta: a) 1/9; b) 2/9; c) 3/9; d) 4/9; e) 6/9; f) 12/9; g) 23/9; h) 451/9; i) 721/9; j) 23/90; k) 41/90; l) 31/90; m) 49/90.

08) A razão entre 0,34444...e 93/45 vale: a) 1/6 b) 1/5 c) 1 d) 5 e) 6 Resposta: A

09) A razão entre 0,2333e 42/90 vale:

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 1 Resposta: D

10) Efetue a)1 b)1/25 c)1/125 d)1/225

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NOTAS DE AULAS- Matemática - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - w.concurseiros.org e)1/525 Resposta: E

1) Efetue:

a) -1/30 b) -2/30 c) -2/25 d) 2/35 e) N.R.A. Resposta: E

12) Efetue:

a) 10/3 b) 10/7 c) 5/3 d) 5/7 e) N.R.A. Resposta: B

13) Efetue:

a) –3/7 b) 35/7 c) –7/9 d) –911 e) N.R.A. Resposta: E

14) Efetue:

a) 64 b) 32

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NOTAS DE AULAS- Matemática - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - w.concurseiros.org c) 16 d) –16 e) N.R.A.

15) A razão entre 0,4555e 82/45 vale:

Resposta: E a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/4 e) 1/5 Resposta: D

16) Efetue:

a) 30 b) 36 c) 40 d) 4 e) 64 Resposta: B

17) Efetue:

a) 25 b) 36 c) 49 d) 64 e) 81 Resposta: E

18) Efetue:

a) 35/76 b) 35/81 c) 25/76 d) 24/31 e) N.R.A. Resposta: A

19) Efetue:

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NOTAS DE AULAS- Matemática - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - w.concurseiros.org a)10 b)9 c)8 d)7 e) N.R.A. Resposta: A 20) Efetue:

a)1/6 b)2/6 c)3/6 d)4/6 e) N.R.A. Resposta: A

21) Efetue:

a)10 b)9 c)8 d)7 e) N.R.A. Resposta: A

2) Efetue:

a)6 b)5 c)4 d)3 e) N.R.A. Resposta: A

23)Efetue:

a)1/5 b)2/5 c)3/5 d)4/5 e) N.R.A. Resposta: A

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24) Efetue:

a)1 b)2 c)3 d)4 e) N.R.A. Resposta: A

25) Calcule: (0,3...)²

a) 0,9
b) 0,6
c) 0,3
d) 0,1

e) n.d.a. Resposta: D

26) Qual o valor da expressão?

a) 0,1
b) 0,3
c) 0,4
d) 0,5
e) 0,7

Resposta: E

27) Os divisores positivos do número 72 são: Resposta: {1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}

28) Os divisores positivos do número 90 são: Resposta: {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90}

29) O número de divisores positivos de 360 é: a) 2 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 Resposta: C 30) O número de divisores positivos de 72 é: a) 12 b) 13

0,334

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NOTAS DE AULAS- Matemática - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - w.concurseiros.org c) 14 d) 15 e) 16 Resposta: A

31) O número de divisores positivos possui de 90 é: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 Resposta: A

Divisores de 30:-30, -15 , -10, -6, - 5, -3, -2, -1, 1 , 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Divisores de 24:, –24 , –12 , –8 , –6 , –4 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24.

1.9- MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dados dois inteiros a e b, não nulos, chamamos de máximo divisor comum e indicamos por MDC(a,b), ao maior número inteiro positivo que é divisor comum de a e b simultaneamente. Exemplos: Sejam os inteiros 30 e 24 Então, temos: O máximo divisor comum será o maior divisor simultâneo de 30 e 24. Logo temos; MDC (30 , 24) = 6.

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