Aula19-Construções Geométricas

Aula19-Construções Geométricas

(Parte 1 de 3)

Aula 19 { Tra cado de Ovais I

Objetivos

• Utilizar a concordancia entre arcos de circunferencias na constru c~ao de ovais regulares e irregulares.

Construir a envolvente do c rculo.

De ni c~ao: Oval e uma curva fechada, constitu da pela concordancia de arcos de circunferencia. Elas podem ser classi cadas em regulares ou irregulares. As ovais regulares ( ou falsa elipse) apresentam dois eixos de simetria e as ovais irregulares ( ou oval propriamente dita) possuem um s o eixo.

Constru c~ao de Ovais Irregulares.

De ni c~ao: As Ovais Irregulares s~ao tamb em chamados de Ovulo. Um ovulo e uma curva plana geom etrica fechada, resultante da combina c~ao de uma semicircunferencia com uma semi-oval e que se aproxima o mais poss vel da forma de um ovo cortado ao meio e no sentido de seu comprimento. O ovulo e, pois, a combina c~ao da oval com a circunferencia, diferindo da oval regular por ser mais largo para um dos extremos do que para outro, semelhante ao que sucede com o ovo, de cuja forma deriva o seu nome.

Problema 1: Construir um ovulo de quatro centros conhecendo-se o diametro CD da semicircunferencia.

1.1 Construa uma circunferencia considerando o diametro CD. A interse c~ao da mediatriz do segmento CD com a circunferencia s~ao os pontos A e E. O primeiro centro do ovulo e o ponto m edio O da circunferencia, o segundo e o terceiro centros s~ao os extremos C e D do diametro dado e o quarto centro e o ponto E.

1.2 A primeira parte que comp~oe o ovulo e a semicircunferencia que cont em o ponto A e determinada pelo diametro CD.

1.3 Prolongue a semi-reta de origem C passando por E e tamb em a de origem em D passando por E.

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1.4 O segundo arco que comp~oe o ovulo possui centro em C de raio CD tra cado do ponto D at e o ponto F no prolongamento da semi-reta de origem em C. O terceiro arco que comp~oe o ovulo possui centro em D de raio CD tra cado do ponto C at e o ponto G no prolongamento da semi-reta de origem em D.

1.5 O quarto e ultimo arco que comp~oe o ovulo possui centro em E e une os ponto F e G.

Figura 159

A interse c~ao da mediatriz do diametro do ovulo com o quarto arco e o ponto B e o segmento AB e chamado eixo do ovulo. Note que o ovulo e sim etrico em rela c~ao ao seu eixo.

Sugest~ao para o Exerc cio 1 Construa um ovulo auxiliar com um diametro C′D0 qualquer. Como os ovulos de quatro centros s~ao guras homot eticas basta encontrar o diametro CD por proporcionalidade.

Figura 160 CEDERJ 92

Problema 2: Construir um ovulo de seis centros, dado o diametro CD do semicircunferencia.

2.1 Trace a mediatriz de CD. Tal mediatriz interceptar a a circunferencia de diametro A e G

4 CO sobre a reta suporte do diametro CD de tal forma que E e F sejam externos a circunferencia. Tome GJ = 1

na reta suporte do diametro AG de tal forma que J seja externo a circunferencia.

2.3 Una G a E e F e obtenha H e I na circunferencia que cont em o ponto G, cujo diametro e CD.

2.4 O centro O da circunferencia e o primeiro centro, com o qual trace a semicircunferencia de C a D que cont em o ponto A.

2.5 Prolongue a semi-reta de origem em E que passa por G e tamb em a semi-reta de origem em F que passa por G.

2.6 O ponto E e o segundo centro, com o qual trace o arco de raio ED do ponto D ao ponto L na semi-reta de origem em E.

2.7 O ponto F e o terceito centro, com o qual trace o arco de raio FC do ponto C ao ponto K na semi-reta de origem em F.

2.8 Trace as semi-retas de origem H e I que passam por G.

2.9 O ponto H e o quarto centro, com o qual trace o arco de raio HL do ponto L ao ponto M na semi-reta de origem em H.

2.10 O ponto I e o quinto centro, com o qual trace o arco de raio IK do ponto K ao ponto N na semi-reta de origem em I.

2.1 O sexto e ultimo centro e o ponto J, com o qual trace o arco entre os ponto M e N.

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Figura 161

Observa c~ao: O tra cado das tangentes e normais as ovais n~ao oferece di culdade, pois e feito como se fez para os arcos de circunferencia.

2. Tra car uma ovulo de seis centros, dados o segundo e terceiro centros E e F.

Figura 162

Constru c~ao de Ovais Regulares Problema 3: Tra car uma oval regular dados os dois eixos. Resolu c~ao:

3.1 Trace os AB e CD perpendiculares cujo ponto de interse c~ao seja o ponto m edio O.

3.2 Tome o ponto E sobre o segmento AB tal que AE = OC e o ponto F sobre o segmento AE tal que EF = 1

3.3 Construa os triangulos equil ateros AMF e ANF.

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3.4 Una M e N a F e obtenha O′ e O" sobre o prolongamento do eixo CD.

3.5 Com centro em F e raio FM trace o arco do ponto M ao ponto N passando pelo ponto A.

3.6 Obtenha os pontos M0, N0 e F0 sim etricos dos pontos M, N e F, respectivamente em rela c~ao ao eixo CD.

3.7 Com centro em O0 e raio O0M trace o arco do ponto M ao ponto M0 passando pelo ponto C.

3.8 Repita a constru c~ao dos arcos sim etricos com centros em F0 e O".

Justi cativa: Calcule O0M e O0C em fun c~ao dos semi-eixos dados OC e AO. Note que o triangulo OFO0 e retangulo e tem angulos de 30o e 60o, da ser a hipotenusa o dobro do cateto menor. Tem-se que:

OCp 3+OC

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