Apostila Calculo II - UDESC

(Parte 1 de 8)

Autores: Elisandra Bar de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi, Marnei Luis Mandler

Home-page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/elisandra/ Joinville, fevereiro de 2010.

Departamento: Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Siglas: CDI-I, CDI2001 Semestre/Ano: 01/2010 Carga Horária Total: 72 horas Teórica: 72 horas Prática: 0

Cursos: Engenharia Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica, Engenharia de Produção e Sistemas, Licenciatura em Física, Licenciatura em Matemática.

Professores: Carlos Raphael Rocha, Eliane Bihuna de Azevedo, Elisandra Bar de Figueiredo, Graciela Moro, Jones Corso, Marnei Luis Mandler

Coordenação: Elisandra Bar de Figueiredo.

Objetivo Geral da Disciplina: Proporcionar ao estudante a oportunidade de apropriarse dos conhecimentos de cálculo diferencial e integral, bem como aplicar estes conceitos em sua área de atuação.

Ementa: Integrais de nidas. Teorema Fundamental do Cálculo. Funções de várias variáveis reais. Integrais duplas. Integrais triplas. Séries Numéricas. Série de Funções.

Objetivos Especí cos da Disciplina: Reconhecer e resolver problemas que envolvam integral de nida. Reconhecer e resolver problemas que envolvam funções de várias variáveis. Reconhecer e resolver problemas que envolvam integrais múltiplas. Reconhecer e resolver problemas que envolvam sequências e séries.

Cronograma de Atividades:

1. Integral De nida (18 horas aula) 1.1. Integral De nida (4 h/a) 1.2. Teorema Fundamental do Cálculo e Propriedades (2 h/a) 1.3. Integrais Impróprias (2 h/a)

1.4. Área em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)

1.5. Área em Coordenadas Polares (2 h/a) 1.6. Comprimento de Arco (2 h/a)

1.7. Volume de Sólido de Revolução (2 h/a)

2. Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial (18 horas aula)

2.1. De nição e Representação Grá ca de Funções de Várias Variáveis (2 h/a)

2.2. Limite de Funções de várias Variáveis (2 h/a) 2.3. Continuidade de Funções de várias variáveis (1 h/a) 2.4. Derivadas Parciais (1 h/a) 2.5. Derivadas Parciais de Ordem Superior (1 h/a) 2.6. Regra da Cadeia (2 h/a) 2.7. Derivação Implícita (1 h/a) 2.8. Taxas de Variação (2 h/a) 2.9. Diferencial Parcial e Diferencial Total (2 h/a) 2.10. Extremos de Funções de duas variáveis (2 h/a) 2.1. Avaliação (2 h/a)

3. Integrais Duplas (6 horas aula) 3.1. De nição (1 h/a)

3.2. Interpretação Geométrica (1 h/a)

3.3. Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)

3.4. Integral Dupla em Coordenadas Polares (2 h/a)

4. Integrais Triplas (12 horas aula) 4.1. De nição e Interpretação Geométrica (2 h/a) 4.2. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a) 4.3. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas (2 h/a) 4.4. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas (2 h/a) 4.5. Apresentação e discussão de Trabalhos (2 h/a)

5. Séries Numéricas e Séries de Funções (18 horas aula) 5.1. Sequências (2 h/a)

5.2. Séries Numéricas (2 h/a)

5.3. Série Geométrica e Série Harmônica (1 h/a)

5.4. Critério do Termo Geral, Critério da Integral (1 h/a)

5.5. Critério da Comparação (1 h/a)

5.6. Critério de D'Alembert, Critério de Cauchy (2 h/a) 5.7. Séries Alternadas, Teorema de Leibnitz (1 h/a) 5.8. Convergência Absoluta e Convergência Condicional (1 h/a) 5.9. Séries de Funções, Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências (2 h/a) 5.10. Derivação e Integração de Séries de Funções (1 h/a) 5.1. Séries de Taylor e Séries de MacLaurin (2 h/a) 5.12. Avaliação (2 h/a)

Avaliações: Serão realizadas 4 avaliações escritas individuais, com a seguinte distribuição de conteúdos: 1a Prova: referente ao Capítulo 1: nota x 2a Prova: referente ao Capítulo 2: nota y 3a Prova: referente aos Capítulos 3 e 4: nota z 4a Prova: referente ao Capítulo 5: nota w

Fará parte da terceira avaliação a apresentação oral de um trabalho, valendo até dois pontos na nota da terceira prova, conforme critério a ser divulgado. No entanto, a soma das nota das prova e do trabalho não poderá ultrapassar 10.

Média Semestral: A nota semestral será calculada pela média aritmética das notas das quatro avaliações.

Datas das Avaliações:

Todas as Turmas: 1a Prova: 27/03/10 (sábado, entre 09h30min e 12h) 2a Prova: 24/04/10 (sábado, entre 09h30min e 12h) 3a Prova: 2/05/10 (sábado, entre 09h30min e 12h30min) 4a Prova: 28/06/10 (segunda-feira, entre 18h e 20h30min)

O EXAME de todos os cursos será realizado no dia 07/07/2010 (quarta-feira, entre 18h e 20h30min)

Caso o acadêmico não possa comparecer a qualquer uma das avaliação, deverá entrar com pedido o cial de solicitação de segunda chamada desta prova, no prazo de cinco dias úteis, de acordo com a Resolução 018/2004 Consepe.

As provas de segunda chamada, quando deferidas, ocorrerão sempre antes da realização da próxima avaliação programada, em data, horário e local a serem divulgados no mural do DMAT e na página da disciplina.

É de responsabilidade do acadêmico acompanhar os trâmites do seu processo de segunda chamada.

• ANTON, H. Cálculo: um novo Horizonte. Bookman, PoA. Volumes 1 e 2 • AYRES, F. J. Cálculo. Coleção Schaum. McGraw-Hill do Brasil. SP.

• GONÇALVES, M. B. and FLEMMING, D. M. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Duplas, Integrais Triplas. Makron Books. SP.

• LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. Harbra. SP.

• PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Lopes e Silva. Porto.

• STEWART, J. Cálculo, Cengage Learning, SP. Volumes 1 e 2.

• SWOKOWSKI, E. Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books, SP. Volumes 1 e 2

Horário de Monitoria Monitor: Heric Dênis Farias

Horário de Atendimento dos Professores Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta

Conteúdo

1.1 Introdução	2
1.2 Partição	3
1.3 Soma Superior	4
1.4 Soma Inferior	5
1.5 Função Integrável	6
1.5.8 Teorema do Valor Médio para Integrais	13
1.6 Teorema Fundamental do Cálculo	14
1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão)	17
1.7 Integrais Impróprias	19
1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c ∈ [a,b]	20
1.9 Aplicações da Integral Denida	21
1.9.1 Área em coordenadas retangulares	21
1.9.9 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas	28
1.9.12 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares	29
1.10 Comprimento de Arco	32
1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas	32
1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas	35
1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares	36
1.1 Volume de um Sólido de Revolução	38
1.1.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado	41
1.12 Exercícios Gerais	45
1.13 Respostas	52

2.1 Introdução	57
2.2 Função de Várias Variáveis	58
2.2.5 Gráco de uma Função de Várias Variáveis	59
2.2.10 Curvas e Súperfícies de Nível (Opcional)	62
2.2.12 Distâncias e Bolas no Espaço	63
2.3 Limite de uma Função de duas Variáveis	64
2.3.9 Propriedades dos Limites	68
2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis	69
2.5 Derivadas Parciais	70
2.5.7 Interpretação Geométrica das derivadas parciais	71
2.6 Derivadas Parciais de Ordem Superior	73
2.7 Derivada de uma Função Composta	75
2.8 Derivadas de Funções Implícitas	78
2.9 Derivada Parcial como Taxa de Variação	80

2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 56 vi

2.1 Extremos de uma Função de duas Variáveis	87
2.1.1 Ponto Crítico	87
2.1.3 Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo	87
2.12 Exercícios Gerais	92
2.13 Respostas	9

3.1 Introdução	104
3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla	106
3.3 Cálculo da Integral Dupla	107
3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares	1
3.5 Exercícios Gerais	116
3.6 Respostas	119

3 INTEGRAIS DUPLAS 103

4.1 Introdução	122
4.2 Interpretação Geométrica da Integral Tripla	122
4.3 Cálculo da Integral Tripla em Coordenadas Retangulares	123
4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas	127
4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas	131
4.6 Exercícios Gerais	137
4.7 Respostas	141

4 INTEGRAIS TRIPLAS 121

5.1 Introdução	145
5.2 Sequências	145
5.2.3 Limite de uma Sequência	146
5.2.7 Sequências Convergentes	147
5.3 Subsequências	148
5.4 Sequência Limitada	148
5.5 Sequências Numéricas Monótonas	148
5.6 Séries Numéricas	150
5.6.4 Soma de uma Série	152
5.6.7 Séries Convergentes	153
5.7 Condição necessária para Convergência	155
5.8 Séries Especiais	156
5.8.1 Série harmônica	156
5.8.3 Série geométrica	157
5.9 Critérios de Convergência de Séries	158
5.9.1 Critério da integral	158
5.9.3 Série p ou Série Hiper-harmônica	158
5.9.7 Critério da comparação	160
5.9.10 Critério de D'Alambert ou Critério da Razão	161
5.9.14 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz	162
5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos	163
5.10.3 Convergência de uma série alternada	163
5.1 Série de Termos de Sinais Quaisquer	165
5.12 Séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes	166

5 SEQUÊNCIAS E SÉRIES 144 vii

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