Apostila Calculo II - UDESC

Apostila Calculo II - UDESC

(Parte 1 de 8)

Autores: Elisandra Bar de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi, Marnei Luis Mandler

Home-page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/elisandra/ Joinville, fevereiro de 2010.

Departamento: Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Siglas: CDI-I, CDI2001 Semestre/Ano: 01/2010 Carga Horária Total: 72 horas Teórica: 72 horas Prática: 0

Cursos: Engenharia Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica, Engenharia de Produção e Sistemas, Licenciatura em Física, Licenciatura em Matemática.

Professores: Carlos Raphael Rocha, Eliane Bihuna de Azevedo, Elisandra Bar de Figueiredo, Graciela Moro, Jones Corso, Marnei Luis Mandler

Coordenação: Elisandra Bar de Figueiredo.

Objetivo Geral da Disciplina: Proporcionar ao estudante a oportunidade de apropriarse dos conhecimentos de cálculo diferencial e integral, bem como aplicar estes conceitos em sua área de atuação.

Ementa: Integrais de nidas. Teorema Fundamental do Cálculo. Funções de várias variáveis reais. Integrais duplas. Integrais triplas. Séries Numéricas. Série de Funções.

Objetivos Especí cos da Disciplina: Reconhecer e resolver problemas que envolvam integral de nida. Reconhecer e resolver problemas que envolvam funções de várias variáveis. Reconhecer e resolver problemas que envolvam integrais múltiplas. Reconhecer e resolver problemas que envolvam sequências e séries.

Cronograma de Atividades:

1. Integral De nida (18 horas aula) 1.1. Integral De nida (4 h/a) 1.2. Teorema Fundamental do Cálculo e Propriedades (2 h/a) 1.3. Integrais Impróprias (2 h/a)

1.4. Área em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)

1.5. Área em Coordenadas Polares (2 h/a) 1.6. Comprimento de Arco (2 h/a)

1.7. Volume de Sólido de Revolução (2 h/a)

2. Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial (18 horas aula)

2.1. De nição e Representação Grá ca de Funções de Várias Variáveis (2 h/a)

2.2. Limite de Funções de várias Variáveis (2 h/a) 2.3. Continuidade de Funções de várias variáveis (1 h/a) 2.4. Derivadas Parciais (1 h/a) 2.5. Derivadas Parciais de Ordem Superior (1 h/a) 2.6. Regra da Cadeia (2 h/a) 2.7. Derivação Implícita (1 h/a) 2.8. Taxas de Variação (2 h/a) 2.9. Diferencial Parcial e Diferencial Total (2 h/a) 2.10. Extremos de Funções de duas variáveis (2 h/a) 2.1. Avaliação (2 h/a)

3. Integrais Duplas (6 horas aula) 3.1. De nição (1 h/a)

3.2. Interpretação Geométrica (1 h/a)

3.3. Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)

3.4. Integral Dupla em Coordenadas Polares (2 h/a)

4. Integrais Triplas (12 horas aula) 4.1. De nição e Interpretação Geométrica (2 h/a) 4.2. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a) 4.3. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas (2 h/a) 4.4. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas (2 h/a) 4.5. Apresentação e discussão de Trabalhos (2 h/a)

5. Séries Numéricas e Séries de Funções (18 horas aula) 5.1. Sequências (2 h/a)

5.2. Séries Numéricas (2 h/a)

5.3. Série Geométrica e Série Harmônica (1 h/a)

5.4. Critério do Termo Geral, Critério da Integral (1 h/a)

5.5. Critério da Comparação (1 h/a)

5.6. Critério de D'Alembert, Critério de Cauchy (2 h/a) 5.7. Séries Alternadas, Teorema de Leibnitz (1 h/a) 5.8. Convergência Absoluta e Convergência Condicional (1 h/a) 5.9. Séries de Funções, Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências (2 h/a) 5.10. Derivação e Integração de Séries de Funções (1 h/a) 5.1. Séries de Taylor e Séries de MacLaurin (2 h/a) 5.12. Avaliação (2 h/a)

Avaliações: Serão realizadas 4 avaliações escritas individuais, com a seguinte distribuição de conteúdos: 1a Prova: referente ao Capítulo 1: nota x 2a Prova: referente ao Capítulo 2: nota y 3a Prova: referente aos Capítulos 3 e 4: nota z 4a Prova: referente ao Capítulo 5: nota w

Fará parte da terceira avaliação a apresentação oral de um trabalho, valendo até dois pontos na nota da terceira prova, conforme critério a ser divulgado. No entanto, a soma das nota das prova e do trabalho não poderá ultrapassar 10.

Média Semestral: A nota semestral será calculada pela média aritmética das notas das quatro avaliações.

Datas das Avaliações:

Todas as Turmas: 1a Prova: 27/03/10 (sábado, entre 09h30min e 12h) 2a Prova: 24/04/10 (sábado, entre 09h30min e 12h) 3a Prova: 2/05/10 (sábado, entre 09h30min e 12h30min) 4a Prova: 28/06/10 (segunda-feira, entre 18h e 20h30min)

O EXAME de todos os cursos será realizado no dia 07/07/2010 (quarta-feira, entre 18h e 20h30min)

Caso o acadêmico não possa comparecer a qualquer uma das avaliação, deverá entrar com pedido o cial de solicitação de segunda chamada desta prova, no prazo de cinco dias úteis, de acordo com a Resolução 018/2004 Consepe.

As provas de segunda chamada, quando deferidas, ocorrerão sempre antes da realização da próxima avaliação programada, em data, horário e local a serem divulgados no mural do DMAT e na página da disciplina.

É de responsabilidade do acadêmico acompanhar os trâmites do seu processo de segunda chamada.

• ANTON, H. Cálculo: um novo Horizonte. Bookman, PoA. Volumes 1 e 2 • AYRES, F. J. Cálculo. Coleção Schaum. McGraw-Hill do Brasil. SP.

• GONÇALVES, M. B. and FLEMMING, D. M. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Duplas, Integrais Triplas. Makron Books. SP.

• LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. Harbra. SP.

• PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Lopes e Silva. Porto.

• STEWART, J. Cálculo, Cengage Learning, SP. Volumes 1 e 2.

• SWOKOWSKI, E. Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books, SP. Volumes 1 e 2

Horário de Monitoria Monitor: Heric Dênis Farias

Horário de Atendimento dos Professores Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta

Conteúdo

1.1 Introdução2
1.2 Partição3
1.3 Soma Superior4
1.4 Soma Inferior5
1.5 Função Integrável6
1.5.8 Teorema do Valor Médio para Integrais13
1.6 Teorema Fundamental do Cálculo14
1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão)17
1.7 Integrais Impróprias19
1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c ∈ [a,b]20
1.9 Aplicações da Integral Denida21
1.9.1 Área em coordenadas retangulares21
1.9.9 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas28
1.9.12 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares29
1.10 Comprimento de Arco32
1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas32
1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas35
1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares36
1.1 Volume de um Sólido de Revolução38
1.1.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado41
1.12 Exercícios Gerais45
1.13 Respostas52
2.1 Introdução57
2.2 Função de Várias Variáveis58
2.2.5 Gráco de uma Função de Várias Variáveis59
2.2.10 Curvas e Súperfícies de Nível (Opcional)62
2.2.12 Distâncias e Bolas no Espaço63
2.3 Limite de uma Função de duas Variáveis64
2.3.9 Propriedades dos Limites68
2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis69
2.5 Derivadas Parciais70
2.5.7 Interpretação Geométrica das derivadas parciais71
2.6 Derivadas Parciais de Ordem Superior73
2.7 Derivada de uma Função Composta75
2.8 Derivadas de Funções Implícitas78
2.9 Derivada Parcial como Taxa de Variação80

2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 56 vi

2.1 Extremos de uma Função de duas Variáveis87
2.1.1 Ponto Crítico87
2.1.3 Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo87
2.12 Exercícios Gerais92
2.13 Respostas9
3.1 Introdução104
3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla106
3.3 Cálculo da Integral Dupla107
3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares1
3.5 Exercícios Gerais116
3.6 Respostas119

3 INTEGRAIS DUPLAS 103

4.1 Introdução122
4.2 Interpretação Geométrica da Integral Tripla122
4.3 Cálculo da Integral Tripla em Coordenadas Retangulares123
4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas127
4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas131
4.6 Exercícios Gerais137
4.7 Respostas141

4 INTEGRAIS TRIPLAS 121

5.1 Introdução145
5.2 Sequências145
5.2.3 Limite de uma Sequência146
5.2.7 Sequências Convergentes147
5.3 Subsequências148
5.4 Sequência Limitada148
5.5 Sequências Numéricas Monótonas148
5.6 Séries Numéricas150
5.6.4 Soma de uma Série152
5.6.7 Séries Convergentes153
5.7 Condição necessária para Convergência155
5.8 Séries Especiais156
5.8.1 Série harmônica156
5.8.3 Série geométrica157
5.9 Critérios de Convergência de Séries158
5.9.1 Critério da integral158
5.9.3 Série p ou Série Hiper-harmônica158
5.9.7 Critério da comparação160
5.9.10 Critério de D'Alambert ou Critério da Razão161
5.9.14 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz162
5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos163
5.10.3 Convergência de uma série alternada163
5.1 Série de Termos de Sinais Quaisquer165
5.12 Séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes166

5 SEQUÊNCIAS E SÉRIES 144 vii

(Parte 1 de 8)

Comentários