Apostila de Limite CDI, Notas de estudo de Economia

Baixe Apostila de Limite CDI e outras Notas de estudo em PDF para Economia, somente na Docsity! Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 1 SIR ELIAS UNIDADE 1 - LIMITES 1.1 NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO Seja a função f(x) = )1x( 1xx2 2 − −− definida para todo x real e x ≠ 1. Se x ≠ 1, podemos dividir o numerador e o denominador por x - 1 obtendo f(x) = )1x( )1x)(1x2( − −+ ⇒ f(x) = 2x + 1. Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferentes de 1. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos: x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 f(x) 1 2 2,5 2,8 2,98 2,998 Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos: x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 f(x) 5 4 3,5 3,2 3,02 3,002 Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 1, f(x) aproxima-se de 3, isto é, quanto mais próximo de 1 estiver x, tanto mais próximo de 3 estará f(x). 1.2 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL Uma das conseqüências das propriedades de limite é a regra de obter o limite de uma função polinomial. Teorema 1 O limite de uma função polinomial f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn = ∑ = n 0i aixi, ai ∈ R, para x tendendo para a, é igual ao valor numérico de f(x) para x = a. Por uma questão de simplicidade indicaremos as propriedades de limites como sendo as propriedades P e vamos fazer rápido sumário dessas propriedades. PROPRIEDADES Se ax lim → f(x) = L, ax lim → g(x) = M e c = constante, então: 1. ax lim → c = c Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 2 2. ax lim → [c. f(x)] = c. ax lim → f(x) = c . L 3. ax lim → [(f + g) (x)] = ax lim → f(x) + ax lim → g(x) = L + M 4. ax lim → [(f - g) (x)] = ax lim → f(x) - ax lim → g(x) = L - M 5. ax lim → [(f . g) (x)] = ax lim → f(x) . ax lim → g(x) = L . M 6. ax lim →      )x(g )x(f = )x(glim )x(flim ax ax → → = M L (M ≠ 0) 7. ax lim → [(f) n (x)] = [ ax lim → f(x)] n = Ln 8. ax lim → n )x(f = n ax )x(flim → = n L (se n *N∈ e L ≥ 0 ou se n é ímpar e L ≤ 0) EXERCÍCIOS 1.1 - Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado. a) )2x5x3(lim 2 2x +− → b) 3x4 3x2xlim 2 1x − −+ −→ c) 22 1x 2x3 1xx2lim         − +− → d) 3 2 23 2x 3x4x 2x3x2xlim ++ +−+ −→ Solução a) Pelo teorema da função polinomial, vem: )2x5x3(lim 2 2x +− → = 3. 2 2 - 5. 2 + 2 = 4 b) 3x4 3x2xlim 2 1x − −+ −→ = )3x4(lim )3x2x(lim 1x 2 1x − −+ −→ −→ = 7 4 7 4 = − − c) 22 1x 2x3 1xx2lim         − +− → = 22 1x 2x3 1xx2lim         − +− → = 2 1x 2 1x )2x3(lim )1xx2(lim           − +− → → = 22 = 4 Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 5 Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende para a, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x = a, temos: )x(flim 1x→ = 1)2x(lim)1x( )2x)(1x(lim 1x 2x3xlim 1x1x 2 1x −=−= − −−= − +− →→→ 1.6 - Seja a função f definida por f(x) =         = ≠ − −− 2xse,3 2xse, 2x 2x3x2 2 . Calcular )x(flim2x→ 1.7 - Seja a função f definida por f(x) =         −= −≠ + ++ 3xse3 3xse 3x 9x9x2 2 Mostre que 3)x(flim 3x −= −→ 1.8 Calcular 3x5x3x 1x4xx2lim 23 23 1x −+− +−+ → . Solução Temos 0)1x4xx2(lim 23 1x =+−+ → e 0)3x5x3x(lim 23 1x =−+− → . Os polinômios (2x3 + x2 - 4x +1) e (x3 - 3x2 + 5x - 3) anulam-se para x = 1, portanto, pelo teorema de D´Alembert, são divisíveis por (x - 1), isto é, x - 1 é um fator comum em (2x3+ x2 - 4x +1) e (x3 - 3x2 + 5x - 3). Efetuamos as divisões de (2x3 + x2 - 4x + 1) e (x3 - 3x2 + 5x - 3) por (x - 1), obtemos: 3x2x 1x3x2 )3x2x).(1x( )1x3x2).(1x( 3x5x3x 1x4xx2 2 2 2 2 23 23 +− −+= +−− −+−= −+− +−+ Então 2 3x2x 1x3x2lim 3x5x3x 1x4xx2lim 2 2 1x23 23 1x = +− −+= −+− +−+ →→ 1.9 - Calcular os limites: Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 6 a) 2xx 3xx3xlim 23 23 1x +− −−+ −→ b) 3x8x 9x6xlim 3 3 3x −− −− → c) 5x8x4x 4x6x3xlim 23 23 1x −+− −+− → d) 23 4 2x x2x 4x10xlim − +− → 1.10- Calcular 1x3x2 2xx4x3lim 23 23 1x +− +−− → Solução Temos 0)2xx4x3(lim 23 1x =+−− → e 0)1x3x2(lim 23 1x =+− → Efetuando as divisões de 3x3 - 4x2 - x + 2 e 2x3 - 3x2 + 1 por x - 1, temos: 1xx2 2xx3 )1xx2)(1x( )2xx3)(1x( 1x3x2 2xx4x3 2 2 2 2 23 23 −− −−= −−− −−−= +− +−− então 1xx2 2xx3lim 1x3x2 2xx4x3lim 2 2 1x23 23 1x −− −−= +− +−− →→ mas 0)2xx3(lim 2 1x =−− → e 0)1xx2(lim 2 1x =−− → , então⇒ 3 5 1x2 2x3lim )1x2)(1x( )2x3)(1x(lim 1xx2 2xx3lim 1x1x2 2 1x = + += +− +−= −− −− →→→ 1.11- Calcular os limites: a) 3x4x 2x3xlim 4 3 1x +− +− → b) 4x4x7x2 12x12xx4xlim 23 234 2x −++ −−++ −→ c) 2x5x4x 4x5xxxlim 23 234 1x +++ ++−− −→ d) 8x12x2x7x2 4x12x5x2xlim 234 234 2x −−++ −−−+ −→ 1.3 LIMITES LATERAIS Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 7 Lembremos que, ao considerarmos )x(flimax→ , estávamos interessados no comportamento da função nos valores próximos de a, isto é, nos valores de x pertencentes a um intervalo aberto contendo a, porém diferentes de a e, portanto, nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que a. Entretanto, o comportamento em algumas funções, quando x assume valores próximos e menores que a, é diferente do comportamento da mesma função, quando x assume valores próximos e maiores que a. Quando isto acontece o limite de f(x) não existe em a. Assim, por exemplo, na função: f(x) =      >− = <− 1xse2x 1xse2 1xsex4 Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1 (à esquerda de 1) temos: x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 f(x) 4 3,5 3,25 3,1 3,01 3,001 Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, (à direita de 1), temos: x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 f(x) 0 -0,5 -0,75 -0,9 -0,99 -0,999 Observamos que, se está próximo de 1, à esquerda de 1, então os valores da função estão próximos de 3, e se x está próximo de 1, à direita, então os valores da função estão próximos de -1. Em casos como este, onde supomos x assumindo valores próximos de 1, mas somente à esquerda ou somente à direita de 1, consideramos os limites laterais pela esquerda ou pela direita de 1, que definiremos a seguir. Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]b, a[. O limite de f(x), quando x se aproxima de a pela direita, será L e escrevemos L)x(flim ax = +→ Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]b, a[, cujo L)x(flimax = −→ . O limite de f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda, será L ( L)x(flimax = −→ ) e o limite de f(x), quando x se aproxima de a pela direita, também será L ( L)x(flimax = +→ ) As propriedades de limites e o teorema do limite da função polinomial são válidos se substituirmos "x → a" por "x→a+", ou por "x → a – “. Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 10 − ∞= − − → 21x )1x( 1lim onde o símbolo "- ∞ " lê-se "menos infinito" ou "infinito negativo". Consideremos agora a função h definida por h(x) = 1x 1 − para todo x real e x ≠ 1. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1 temos: x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 f(x) 1- -2 -4 -10 -100 -1000 E atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos: x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 f(x) 1 2 4 10 100 1000 Observemos que se x assume valores próximos e à esquerda de 1, a função decresce ilimitadamente e se x assume valores próximos e à direita de 1, então a função cresce ilimitadamente. Estamos considerando os limites laterais que são "infinitos" e escrevemos: + ∞= − − ∞= − +− →→ 1x 1lime 1x 1lim 1x1x Para concluirmos que os valores de uma função cresciam infinitamente ou decresciam infinitamente, quando x se aproxima de a, pela esquerda ou pela direita de a, construímos uma tabela de valores da função quando x estava próximo de ª Vejamos como chegar à mesma conclusão sem construirmos essa tabela. Teorema Sejam f e g tais que 0c)x(flimax ≠= → então: I) 0)x(g )x(fse )x(g )x(flim ax >+ ∞= → quando x está próximo de a; II) 0)x(g )x(fse )x(g )x(flim ax <− ∞= → quando x está próximo de a. EXERCÍCIOS 1.18) Calcule a) 21x )1x( 2x3lim − + → b) 22x )2x( x1 lim − − → Solução a) Com 5)2x3(lim1x =+→ e 0)1x(lim 2 2x =− → , estudemos o sinal de 2)1x( 2x3 )x(g )x(f − += quando x está próximo de 1. sinal de g(x) = (x - 1)2 Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 11 Notemos que 0 )1x( 2x3 )x(g )x(f 2 > − += quando x está próximo de 1, então: + ∞= − + → 21x )1x( 2x3lim b) Com 1)x1(lim2x −=−→ e 0)2x(lim 2 2x =− → , estudemos o sinal de 2)2x( x1 )x(g )x(f − −= quando x está próximo de 2. Notemos que 2)2x( x1 )x(g )x(f − −= < 0 quando x está próximo de 2, então: − ∞= − − → 22x )2x( x1lim 1.19) Calcule a) 22x )2x( 4x3lim − − → b) 21x )1x( 3x2lim − + → c) 21x )1x( x31lim − − → 1 x 0 + + + + + + 0 0 -2/3 - + - sinal de f(x) = 3x + 2 2)1x( 2x3 )x(g )x(f − += + -+ - + 0 1 2 x 0 + 0 - + - x1)x(fdesinal −= 22)(xg(x)desinal −= 2)2x( x1 )x(g )x(f desinal − −= Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 12 d) 2 2 0x x 2x5x3lim +− → 1.20) Calcule a) 1x 1x2lim 1x − + −→ b) 1x 1x2lim 1x − + +→ Solução Como )1x(lim)1x2(lim 1x1x −=+ −+ →→ e 0)1x(lim)1x(lim 1x1x =−=− +− →→ , estudemos o sinal de 1x 1x2 )x(g )x(f − += quando x está próximo de 1. Notemos que 1x 1x2 )x(g )x(f − += < 0 quando x está próximo de 1, à esquerda, então: − ∞= − + −→ 1x 1x2lim 1x e 1x 1x2 )x(g )x(f − += > 0 quando x está próximo de 1, à direita, então: + ∞= − + +→ 1x 1x2lim 1x Observemos que não tem significado falarmos em 1x 1x2lim 1x − + → pois − ∞= − + −→ 1x 1x2lim 1x e + ∞= − + +→ 1x 1x2lim 1x . 1.21) Determine: a) 2x 4xlim 2x + + −→ d) 31x )1x( 3x2lim − + → -1/2 1 x - - - 0 0 + - - 0 + + + ( ) 1x2xfdesinal += ( ) 1xxgdesinal −= ( ) 1x 1x2 )x(g xf desinal − += Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 15 x -1 -5 -10 -100 -1000 f(x) 1 25 100 10000 1000000 Observamos que, a medida que decresce através de valores negativos, os valores da função crescem e ilimitadamente. Em outras palavras, dizemos que podemos tornar f(x) tão grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando para x valores negativos cujos módulos sejam suficientemente grandes e escrevemos: + ∞= ∞→= )x(flim x Teorema Se c ∈ R e n é um número inteiro e positivo então: I) cclimclim xx == − ∞→+ ∞→ II) + ∞=+ ∞→ n x xlim III)    ∞− ∞+ = − ∞→ ímparénse parénse xlim n x IV) 0 x 1lim nx = + ∞→ V) 0 x 1lim nx = − ∞→ Teorema Se f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn, an ≠ 0, é uma função polinomial, então: )xa(lim)x(flim nnxx + ∞→+ ∞→ = e )xa(lim)x(flim n nxx − ∞→− ∞→ = Teorema Se f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn, an ≠ 0, e g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bmxm, bm ≠ 0 são funções polinomiais, então:     = − ∞+→∞+→ mn m n xx x b alim )x(g )x(flim e     = − − ∞→− ∞→ mn m n xx x b alim )x(g )x(flim EXERCÍCIOS 1.22) Encontre: a) )3x7x4(lim 2 x +− + ∞→ b) )3x5x2x3(lim 23 x +−+− + ∞→ c) )2x3x4x5(lim 23 x +−− − ∞→ d) )4x5x2x7x3(lim 234 x −−+− − ∞→ Solução Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 16 a) )3x7x4(lim 2 x +− + ∞→ = + ∞= + ∞→ )x4(lim 2 x b) )3x5x2x3(lim 23 x +−+− + ∞→ = − ∞=− + ∞→ )x3(lim 3 x c) )2x3x4x5(lim 23 x +−− − ∞→ = − ∞= − ∞→ )x5(lim 3 x d) )4x5x2x7x3(lim 234 x −−+− − ∞→ = + ∞= − ∞→ )x3(lim 4 x 1.23) Encontre: a) 1x5 2x3lim x − + + ∞→ b) 3x2 x45lim x − − − ∞→ c) 2x3 3x4x5lim 2 x + +− − ∞→ d) 2x5x3 1x4lim 2x −+ − − ∞→ Solução a) 1x5 2x3lim x − + + ∞→ = x5 x3lim x + ∞→ = 5 3 5 3lim x = + ∞→ b) 3x2 x45lim x − − − ∞→ = x2 x4lim x − ∞→ = 2)2(limx −=− − ∞→ c) 2x3 3x4x5lim 2 x + +− − ∞→ = x3 x5lim 2 x − ∞→ = + ∞=− ∞→ 3 x5lim x d) 2x5x3 1x4lim 2x −+ − − ∞→ = 2x x3 x4lim − ∞→ = x3 4lim x − ∞→ = 0 1.24) Encontre: a) 1x5 x23lim x + − + ∞→ b) 2x3 3x4lim x + − − ∞→ c) 1x 4xlim 2 x + − + ∞→ d) 1x 1xlim 2 3 x + − − ∞→ Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 17 e) 2x6x5x3 4x3xlim 23 2 x +−+ +− + ∞→ f) 1x8 4xlim 3 2 x − + − ∞→ 1.5.1 Resumo Faremos um resumo dos teoremas apresentados, lembrando que as proposições continuam verdadeiras se trocarmos "x → + ∞ " por " x → – ∞ " Dados Conclusão + ∞= + ∞→ )x(flim x + ∞= + ∞→ )x(glim x ?)x)(gf(lim x =+ + ∞→ − ∞= + ∞→ )x(flim x − ∞= − ∞→ )x(glim x − ∞=+ − ∞→ )x)(gf(lim x + ∞= + ∞→ )x(flim x 0b)x(glim x ≠= + ∞→    <∞− >∞+ = + ∞→ 0bse 0bse )x)(g.f(lim x − ∞= + ∞→ )x(flim x 0b)x(glim x ≠= + ∞→    <∞+ >∞− = + ∞→ 0bse 0bse )x)(g.f(lim x + ∞= + ∞→ )x(flim x + ∞= + ∞→ )x(glim x + ∞= + ∞→ )x)(g.f(lim x + ∞= + ∞→ )x(flim x − ∞= + ∞→ )x(glim x − ∞= + ∞→ )x)(g.f(lim x − ∞= + ∞→ )x(flim x − ∞= + ∞→ )x(glim x + ∞= + ∞→ )x)(g.f(lim x + ∞= + ∞→ )x(flim x 0 )x(f 1lim x = + ∞→ − ∞= + ∞→ )x(flim x 0 )x(f 1lim x = + ∞→ 0)x(flim x = + ∞→ + ∞= + ∞→ )x(f 1lim x Não podemos estabelecer leis para os seguintes casos: + ∞= + ∞→ )x(flim x + ∞= + ∞→ )x(glim x ?)x)(gf(lim x =− + ∞→ − ∞= + ∞→ )x(flim x − ∞= + ∞→ )x(glim x ?)x)(gf(lim x =− + ∞→ + ∞= + ∞→ )x(flim x − ∞= + ∞→ )x(glim x ?)x)(gf(lim x =+ + ∞→ + ∞= + ∞→ )x(flim x (ou - ∞ ) 0)x(glimx =+ ∞→ ?)x)(g.f(limx =+ ∞→ + ∞= + ∞→ )x(flim x (ou - ∞ ) + ∞= + ∞→ )x(glim x (ou + ∞ ) ?)x( g flim x = + ∞→ 1.6 CONTINUIDADE Quando definimos ax )x(flim → analisamos o comportamento da função )(xf para valores de x próximos de a , mas diferentes de .a Em muitos exemplos vimos que Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 20 =)()( xfa =)() xfb 3,3 =x 1,2 −>xp 1.27) Exercícios de revisão de Limites. a) f(x) =      >−+− = <−− 2xse7x6x 2xse2 2xse1x3x2 2 2 b) = ++ −− → 22 6lim 2 2 3 xx xx x c) = −++ −−++ −→ 4472 12124lim 23 234 3 xxx xxxx x d) = + ++− ∞−→ 2 1532lim 3 265 x xxx x e) = −+− +− → 584 2lim 23 23 1 xxx xx x f) = −− + → 12 3lim 21 xx x x Respostas de limites Página 3 1.2) a) 2 b) 4 c) - 8/3 d) - 12 e) 0 f) 1/8 g) 9/4 h) 3 5 i) 2 j) –2 Página 4 1.4) Página 9 1.12) a)1 b)5 c) ∃ 1.13) a)5 b)5 c) 5 1.14) a)1 b)-11 c) ∃ 1.15) a)1 b)-3 c) ∃ 1.16) a)2 b)2 c) 2 1.17) a)1 b)1 c) 1 Página 17 1.26) a) + ∞ b) + ∞ c) + ∞ d) – ∞ e) – ∞ f) + ∞ 1.27) a) + ∞ b) – ∞, se não for par e + ∞ se for ímpar c) + ∞, se c > 0 e – ∞ se c < 0 d) – ∞, se c > 0 e + ∞ se c < 0 Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 21 a) 2 b) 4 c) 6 d) 2/5 e) -7/3 f) 7/11 g) 3/2 h) 3 i) – 8/3 Página 5 1.9) a) -4/5 b) 21/19 c) 1 d) 11/2 Página 6 1.11) a) ½ b) -1/5 c) 8 d) 7/8 Página 12 1.22) a) + ∞ b) + ∞ c) - ∞ d) + ∞ e) - ∞ f) - ∞ Página 13 1.24) a) - ∞ b) +∞ c) + ∞ d) - ∞ e) + ∞ Página 18 1.30) a) – 2/5 b) 4/3 c) + ∞ d) – ∞ e) 0 f)0 g)1/3 h)8 i)9/8 j)72 Página 19 1.32) a) 1 b) - 1 c) 2 d) 2 e) + ∞ f) 0 g)1 h) 0 Este arquivo foi upado por SIR ELIAS, contudo o contéudo desta apostila não foi feito pelo mesmo. 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