OBMEP - APOSTILA4 - Equações, Inequações e Desigualdades

OBMEP - APOSTILA4 - Equações, Inequações e Desigualdades

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Equacoes, Inequacoes e Desigualdades

Adan J. Corcho & Krerley Oliveira 17 de novembro de 2006

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Os autores

Adan Corcho: e Licenciado em Matematica pela Univesidad de

Oriente-Cuba (1994), mestre pelo IMPA (1998) e doutor em Matematica pelo IMPA (2003). Suas atividades de pesquisa concentram-se na area de Equacoes Diferenciais Parciais, na qual tem publicado artigos cientıficos. Atualmente e professor da Universidade Federal de Alagoas, onde e membro fundador do programa de Mestrado em Matematica e participa ativamente no programa da Olimpıada Alagoana de Matematica.

Krerley Oliveira: e bacharel em Matematica pela UFRJ (2001), mestre pelo IMPA (2001) e doutor em Matematica pelo IMPA (2002). Seus interesses de pesquisa concentram-se na area de Sistemas Dinamicos, na qual tem publicado livros e artigos cientıficos. Atualmente e professor da Universidade Federal de Alagoas, onde e membro fundador do programa de Posgraduacao em Matematica. Fundou a Olimpıada Alagoana de Matematica e vem desde 2003 treinando estudantes e professores em Alagoas. Quando mais jovem, participou de Olimpıadas de Matematica, obtendo medalha de bronze na OBM e prata na Ibero-americana Universitaria. Tambem e torcedor do Fluminense e triatleta, tendo completado dois ironmans.

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Prefacio

Estas notas abordam um tema matematico extremamente importante devido as suas aplicacoes em diversos problemas de ordem pratica. Resolver equacoes e inequacoes e muitas vezes ensinado no colegio mediante aplicacao de regras e formulas, sem a preocupacao de ilustrar a importancia de deduzi-las. Nossa proposta neste texto e discutir as tecnicas envolvidas na resolucao dos problemas e nao somente resolve-los mecanicamente. Uma parte importante deste trabalho consiste em entender a traducao matematica de problemas que encontramos em nosso cotidiano e que podem ser modelados mediante equacoes e inequacoes.

A apostila e dividida em 4 capıtulos, contendo varios exemplos e problemas resolvidos, expostos de acordo com o grau de dificuldade. Os dois primeiros capıtulos tratam sobre equacoes e inequacoes do primeiro e do segundo graus e sao destinados a alunos do Ensino Fundamental (grupo 1) e do Ensino Medio (grupo 2), entretanto e importante que o professor instrutor tome o cuidado necessario para separar alguns exemplos mais complicados, que sao destinados somente para o grupo 2. O capıtulo 3 trata sobre desigualdades classicas e aplicacoes das mesmas, sendo destinado somente ao grupo 2, assim como a maior parte do capıtulo 4, que e um pouco mais avancado e aborda propriedades das equacoes polinomiais. Incluımos tambem um apendice tratando do Teorema Fundamental da Algebra, cuja

page 6 i i i i i i i leitura e opcional.

No final de cada capıtulo sao propostos varios exercıcios, que recomendamos sejam todos discutidos, e cujas algumas solucoes e sugestoes sao dadas no final do material, apesar de que nao se espera que o estudante resolva todos.

Finalmente, gostarıamos de agradecer aos alunos de iniciacao cientıfica Isnaldo Isaac, Karla Barbosa e Adriano Oliveira, pela ajuda na escolha dos problemas. Agradecemos tambem a Marcela Oliveira pela leitura cuidadosa, que evitou muitos desprazeres dos leitores com os erros de nosso portugues.

Esperamos que divirtam-se e aguardamos sugestoes e crıticas.

Maceio, 24 de Agosto de 2006 Adan Corcho & Krerley Oliveira

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Sumario

1.1 Equacoes do Primeiro Grau15
1.2 Sistemas de Equacoes do Primeiro Grau23
1.3 Exercıcios28
1.4 Equacao do Segundo Grau30
1.4.1 Completando Quadrados30
1.4.2 Relacao entre Coeficientes e Raızes35
1.4.3 Equacoes Biquadradas38
1.4.4 O Metodo de Vieti39
1.5 Exercıcios40
2.1 Inequacao do Primeiro Grau46
2.2 Inequacao do Segundo Grau52
2.2.1 Maximos e Mınimos57
2.3 Exercıcios59
3.1 Desigualdades Classicas61
3.2 Aplicacoes67
3.3 Exercıcios70

3 Desigualdades Classicas e Aplicacoes 61 7

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8 SUMARIO

4.1 Operacoes com Polinomios73
4.1.1 Algoritmo de Euclides7
4.2 Exercıcios81

4 Polinomios 73

5.1 Numeros complexos e raızes de polinomios8
5.1.1 Operacoes com numeros complexos89

5 Apendice 87 6 Para saber mais 91

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Introducao

Na antiguidade, todo conhecimento matematico era passado de geracao para geracao atraves de receitas. A falta de sımbolos e notacao adequada complicava substancialmente a vida de quem precisava usar a Matematica e de quem apreciava sua beleza. Por exemplo, o uso de letras (x, y, z, etc) para representar numeros desconhecidos nao tinha sido inventado ainda. Isso so veio ocorrer por volta dos meados do seculo XVI, ou seja, a menos de 500 anos atras.

Apesar disso, o conhecimento matematico das antigas civilizacoes era surpreendente. Os egıpcios, babilonios, mesopotamios, gregos e varios outros tinham conhecimentos de metodos e tecnicas que sao empregados hoje, como solucoes de equacoes do primeiro e segundo graus, inteiros que sao soma de quadrados e varios outros conhecimentos. Especialmente os gregos, cuja cultura matematica resistiu aos tempos com a preservacao de Os Elementos de Euclides, tinham desenvolvido e catalizado muitos dos avancos da epoca.

Entretanto, todos os resultados tinham uma linguagem atraves dos elementos de geometria, mesmo aqueles que so envolviam propriedades sobre os numeros. Essa dificuldade deve-se em parte ao sistema de numeracao romano, utilizado tambem pelos gregos, que era muito pouco pratico para realizar operacoes matematicas.

Por volta de 1.100, viveu na India Bhaskara, um dos mais importantes matematicos de sua epoca. Apesar de suas contribuicoes terem sido muito profundas na Matematica, incluindo-se aı resulta-

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10 SUMARIO dos sobre equacoes diofantinas, tudo indica que Bhaskara nao foi o primeiro a descobrir a formula, que no Brasil chamamos de formula de Bhaskara, assim como Pitagoras nao deve ter sido o primeiro a descobrir o Teorema que leva o seu nome, ja que 3.0 a.C os babilonios tinham conhecimento de ternas pitagoricas de numeros inteiros bem grandes.

Apesar de ter conhecimento de como solucionar uma equacao do segundo grau, a formula que Bhaskara usava nao era exatamente igual a que usamos hoje em dia, sendo mais uma receita de como encontrar as raızes de uma equacao. Para encontrar essas raızes, os indianos usavam a seguinte regra:

Multiplique ambos os membros da equacao pelo numero que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um numero igual ao quadrado do coeficiente original da incognita. A solucao desejada e a raiz quadrada disso.

O uso de letras para representar as quantidades desconhecidas so veio a se tornar mais popular com os arabes, que tambem desenvolveram um outro sistema de numeracao. Destaca-se tambem a participacao do matematico frances Francois Vieti, que aprimorou esse uso dos sımbolos algebricos em sua obra In artem analyticam isagoge e desenvolveu um outro metodo para resolver a equacao do segundo grau.

Na mesma epoca, um outro grande desafio estava perturbando as mentes matematicas de toda a Europa, em especial as da Italia. A solucao explicita utilizando as operacoes elementares (soma, subtracao, multiplicacao, divisao, radiciacao e potenciacao) da equacao do terceiro grau nao era conhecida e muitos dos melhores matematicos da epoca trabalharam neste problema, destacando-se entre eles Nicolo Fontana, o Tartaglia (gago, em italiano). A historia da solucao desta equacao esta repleta de intrigas, disputas e acusacoes, envolvendo Tartaglia e Cardano. Hoje os historiadores atribuem a Tartaglia a

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SUMARIO 1 primazia na descoberta da solucao da equacao do terceiro grau como conhecemos. E desta epoca tambem a solucao da equacao do quarto grau, atribuıda a Ludovico Ferrari.

Entretanto, apesar dos muitos esforcos empreendidos na direcao de encontrar a solucao geral da equacao do quinto grau, mais de duzentos anos se passaram sem nenhum sucesso. Ate que em 1824, o matematico noruegues Niels Abel mostrou que e impossıvel resolver as equacoes de grau cinco em sua forma geral. Ou seja, nem todas as equacoes de grau cinco podem ser resolvidas com as operacoes elementares. Mais ainda, em 1830 o matematico frances Evariste Galois descobre um metodo que determina quando uma equacao de grau qualquer e resoluvel com as operacoes elementares, encerrando um belıssimo capıtulo da historia da Matematica.

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12 SUMARIO

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Capıtulo 1 Equacoes

Para entender algumas das coisas que tratamos nesta breve introducao, vamos comecar este capıtulo estudando um objeto matematico de muita importancia e que aparece em situacoes onde a Matematica e aplicada: os polinomios. Reveremos um pouco das suas propriedades, estudadas no Ensino Fundamental e veremos como podemos aplicar essas propriedades para resolver e obter informacoes sobre algumas equacoes algebricas. Primeiramente, vamos relembrar o que e um polinomio:

Definicao 1.1. Um polinomio na variavel x e uma expressao do a0,a1,...,an sao seus coeficientes. O coeficiente an e chamado de coeficiente lıder do polinomio.

Observacao 1.2. Nao se define o grau do polinomio nulo, que tem todos os coeficientes iguais a zero.

Por exemplo, • p(x) = 3x − 1 e um polinomio de grau 1;

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