Cap 3 componentes simétricos

Cap 3 componentes simétricos

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CAPÍTULO 3 COMPONENTES SIMÉTRICOS

3.1 - Análise por componentes simétricos

Em 1918, o Dr. Fortescue apresentou à “American Institute of Electrical Engineers” o trabalho denominado “Método de Componentes Simétricos aplicado à solução de Circuitos Polifásicos”. Este método desde então vem sendo largamente usado na análise de funcionamento de circuitos elétricos desbalanceados. Embora o método seja aplicável a qualquer sistema polifásico desequilibrado, este curso tratará especificamente de sistemas trifásicos.

De acordo com o então denominado Teorema de Fortescue, três fasores, desequilibrados, de um sistema podem ser substituídos por três sistemas equilibrados de fasores. Os três conjuntos equilibrados são:

1. Componentes de sequência positiva, consiste de 3 fasores iguais em módulo, defasados de

120o , e tendo a mesma sequência que os fasores originais.

2. Componentes de sequência negativa, consistindo de 3 fasores iguais em módulo, defasados de 120o , e tendo a sequência da fase oposta a dos fasores originais.

3. Componentes de sequência zero, constituído de 3 fasores iguais em módulo com defasagem de 0o entre si.

Assim, se um sistema tem a sequência de fases abc, as sequências de fases dos componentes de sequência positiva e negativas, serão respectivamente abc e acb.

Exemplo: sejam 3 fasores originais de tensão, Va, Vb e Vc , que serão decompostos nos três conjuntos abaixo:

Figura 3.1 - A soma gráfica dos 3 sistemas dará:

Va Vc1

Va = Va1 + Va2 + Vao(3.1)

3.2 - Operadores

É bastante conhecido que o operador j produz rotação de 90o e que o operador -1 provoca rotação de 180o . Sabe-se também que duas aplicações sucessivas do operador j produzem rotação de “90o + 90o ”, ou seja: j x j = j2 produz rotação de 180o

Algumas das muitas combinações do operador j são mostradas a seguir:

Outro operador útil é o operador a, que causa uma rotação de 120o no sentido anti-horário:

Aplicando-o duas vezes haverá uma rotação de 240o , três vezes 360o . Algumas das muitas combinações do operador a são mostradas a seguir:

A fig. 3.3 mostra diversos fasores operados por a:

Figura 3.3 -

IMPORTANTE: Enquanto que +j significa rotação de +90o e -j rotação de -90o , para o operador a não se pode fazer afirmação análoga:

3.3 - Componentes simétricos de fasores assimétricos

Va = Va1 + Va2 + Va0(3.1)

Usando o operador a e os conceitos tirados das figuras anteriores:

b a c a b a c a b a c a

Substituindo o conjunto de equações (3.4) em (3.2) e (3.3), tem-se que o sistema de tensões Va, Vb e Vc poderá ser assim reescrito:

Vc = aVa1 + a2Va2 + Va0(3.7)

Matricialmente: V

a b c

(3.8)

Por conveniência, será adotado que :

Assim, a equação (3.8) poderá ser assim ser escrita: [Vp] = [A] . [Vc] A matriz inversa de A será:

Por outro lado, pré-multiplicando a equação (3.8) por A-1:

a b c

Assim, as temsões de componentes simétricas, para a fase “a” serão: V

x V V a b c

A relação obtida é de grande importância, pois permite decompor 3 fasores assimétricos em seus componentes simétricos.

Desenvolvendo a equação matricial (3.1):

Os demais componentes simétricos (Vb0, Vc0, Vb1, Vb2, Vc1, Vc2) são obtidos pelas equações (3.4).

Observações importantes:

1. A equação (3.12) mostra que, em circuitos trifásicos equilibrados, não há componente de sequência zero. 2. As equações (3.12), (3.13) e (3.14) valem também para corrente e podem ser resolvidas gráfica ou analiticamente. Quando representam correntes tem-se:

Ia0 = 1/3 (Ia + Ib + Ic)(3.15)
Ia1 = 1/3 (Ia + aIb + a2ic)(3.16)

3. Em um sistema trifásico com condutor neutro, IIIInabc=++. Assim, de (3.15):

IIna=30(3.18)

4- Quando não há retorno, In é nulo . Nestas condições, as correntes de sequência zero não existirão. Assim sendo, em uma carga ligada em ∆, não há corrente de sequência zero.

Exemplo 1:

Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que flui para uma carga ligada em ∆ pela linha a é de 10A. Tomando a corrente na linha a como referência e a linha c aberta, determine os componentes simétricos das correntes de linha.

IaIb Ic
↓ ↓
IaIb
IaIb

Das equações (3.4):

Comentários:

• Embora Ic = 0 , os componentes Ic1 e Ic2 têm valores definidos, mas Ic1 + Ic2 = 0.

• A soma das componentes de A deve dar 10/0o [A] e de B, 10/180o [A].

3.4 - Potência em termos de componentes simétricos:

Conhecendo-se os componentes simétricos de corrente e tensão, pode-se obter, a partir destes, a potência consumida:

Matricialmente:

N = S = [Va Vb Vc] I I x I I

a b c a b c t a

Ou seja, S = VLt . IL*

OBS: Uma matriz conjugada é constituída por elementos que são os conjugados dos elementos originais.

Introduzindo os componentes simétricos das tensões e correntes (eq. (3.8)

eIL = A I

t a

Da álgebra matricial: [A . V]t = Vt . At

Assim:

S = Vt . At[AI}* = Vt . At . A*

Da equação (3.9) nota-se que: At =A Sabe-se ainda que a e a2 são conjugados.

Portanto:

S = [Va0 Va1 Va2]

S = 3 [Va0 Va1 Va2] I I

Ou seja:

[Va Vb Vc] I I bc a a a a a p c

Exemplo 2:

, Vb = 30/-60o e Vc = 15/145o determinar as componentes simétricas correspondentes.

As equações (3.4) nos darão:

3o Exemplo: Dadas as componentes simétricas:

, determinar as tensões Va, Vb e Vc.

Solução:

Da equação (3.8): V V a a a a

a b c o o

3.5 - Componentes simétricos das impedâncias:

3.5.1 - Caso Geral Para a figura (3.5), as relações para as correntes e tensões serão:

M ab = M ba

M bc = M cb M ca = M ac

Z b Z c

V b V c b c

Figura 3.5 -

Va = Zaaia + MabIb + MacIc Vb = Mbaia + ZbbIb + MbcIc Vc = McaIa + McbIb + ZccIc

Matricialmente: V V a b c a ab ac ab b bc ca cb c

ou:[Vp] = [Zpp].[Ip] (3.24)
[Vc] = [Zcc] . [Ic](3.25)

Em termos de componentes simétricos pode também ser escrito:

[Vc] = [A-1][Vp](3.26)
[Ic] = [A-1][ip](3.27)
Levando (3.26) e (3.27) em (3.25):[A-1][Vp] = [Zcc][A-1][Ip]

Já foi visto anteriormente que:

Pré-multiplicando ambos membros por A: [Vp] = [A] [Zcc] [A-1] [Ip] (3.28)

Pré-multiplicando por [A-1]:[A-1] [Zpp] = [Zcc] [A-1]
Pós-multiplicando esta última por [A]:[Zcc] = [A-1] [Zpp] [A] (3.29)

3.5.2 - Circuito equilibrado

Estando as três fases equilibradas: Zaa = Zbb = Zcc = Z Mab = Mba = Mcb = Mbc = Mac = Mca = M

Substituindo na equação (3.30):

resolvendo esta:

Como se vê, a matriz de impedância se diagonalizou. Caso o circuito não fôsse equilibrado, a matriz acima seria totalmente cheia.

A equação (3.31) pode ainda ser assim escrita:

Reescrevendo a equação (3.25):

o o o o o o

Significado físico da equação (3.3): 1. Para sistemas equilibrados, a corrente de sequência zero flui apenas no circuito de sequência zero; corrente de sequência positiva no circuito de sequência positiva; corrente de sequência negativa no circuito de sequência negativa. 2. A impedância do circuito pelo qual circula a corrente de sequência zero é denominada de

“IMPEDÂNCIA DE SEQUÊNCIA ZERO”, o mesmo acontecendo para as demais sequências. 3. A f.e.m. produzida pelos geradores é apenas de sequência positiva.. Consequentemente, no caso de uma carga equilibrada, teremos somente corrente de sequência positiva.

3.6 - Impedâncias de sequência dos componentes do sistema:

3.6.1 - Linhas e cabos

A solução do sistema Z Z M Z Z M Z Z M

= − , mostra que para as linhas transpostas, “Z0” é maior que “Z1” ou “Z2” e qu”Z1”é igual a “Z2”. Normalmente a impedância de sequência zero é da ordem de 2,0 a 3,5 vezes o valor da impedância de sequência positiva ou negativa (em linhas aéreas ou cabos de 3 condutores). Isso ocorre porque as correntes de sequência zero estão em fase nos três condutores.

A soma das correntes de sequência zero das 3 fases sempre dará um resultado diferente de zero. Isso implica que, para elas existirem, deverá haver um caminho de retorno (neutro). A impedância deste retorno é “Zn”. O circuito de sequência zero unifilar, pelo qual normalmente passará apenas “Io” deverá, neste caso, ter uma impedância de retorno 3Zn. Assim, se mostra o efeito de uma corrente Io em uma impedância 3Zn: 3ZnI0.

I o

I o I o

3 I o( Retorno )

Figura 3.6 -

A esta impedância deverá ser acrescida a impedância própria dos condutores. Se o retorno é feito pela terra, será difícil obter um valor preciso para a impedância total dos condutores, pois o solo também é condutor.

3.6.2 - Transformadores

3.6.2.1 - Impedância de sequências positiva e negativa

Como nas linhas de transmissão, as impedâncias de sequência positiva e negativa dos transformadores devem ser iguais entre sí. Isso ocorre porque não há diferenças caso a energização dos mesmos ocorra com tensões de seq. (+) ou (-). Por outro lado, nos transformadores

Y/∆ de polaridade subtrativa, as tensões do lado (∆) sofrem um deslocamento angular, em relação às correspondentes tensões do lado(Y), de -30o para as tensões de sequência positiva e de +30o para as correspondentes tensões de sequência negativa. Esse assunto será analisado, em maiores detalhes, no capítulo 4.

3.6.2.2 - Impedância de sequência zero

As impedâncias de sequência zero dos transformadores dependem da conexão dos enrolamentos e da forma construtiva do núcleo. Essas impedâncias podem ser igual ou maior que as impedâncias de sequência positiva ou negativa (pode até ter um valor infinito).

Quando a impedância for de valôr finito e, desprezando a impedância de magnetização, tem-se: a) Um caminho de retorno para a corrente que circula para a terra em um dos lados do trafo, porque a corrente Io existe e é igual a 1/3 da corrente do neutro: Io = 1/3 (Ia + Ib + Ic). b) A f.e.m. causada pela circulação destas correntes através do enrolamento do transformador deve ser equilibrada por uma f.e.m. equivalente devido à circulação da corrente no outro enrolamento do transformador:

Caminho para circulação da corrente

Camnho de Retorno

Gerador

Figura 3.8 -

Caminhos de Retorno Gerador

Gerador não há caminhos p/ corrente de seq. zero

Diagrama equivalente de sequência zero para transformadores de 2 enrolamentos:

Um diagrama simples pode ser usado para representar todos os diagramas unifilares de sequência zero, para os transformadores:

Chaves série

Chaves Shunt

Fonte Ponto de falta

Para utilizar o diagrama anterior, procede-se da seguinte maneira:

• Fechar a chave série para um enrolamento ESTRELA ATERRADO, que é o que proporciona um circuito de retorno para a corrente que circula pela terra.

• Fechar a chave shunt para os enrolamentos em DELTA, pois este proporciona um circuito fechado para a corrente de compensação de f.m.m.

Os circuitos equivalentes de sequência zero serão portanto: 1)

Figura 3.16 - Exemplo: Determine o circuito de sequência zero do sistema:

Figura 3.17 - Solução:

3.6.2.3 - Transformador de 3 enrolamentos O circuito equivalente é idêntico aquele para o transformador de 2 enrolamentos.

A chave shunt é fechada para o enrolamento em ∆ e a chave série para a conexão Y :

Z p

Z s Z t

Z m CONEXÃO GERAL

Seja o trafo Y/∆/Y . O seu circuito de sequência zero é:

Z p

Z s Z t

Z m

Figura 3.21 - Para o trafo ∆/∆/Y

3.6.3 - Máquinas síncronas

As impedâncias de sequência (+) e (-) das máquinas síncronas não são iguais entre sí mesmo se a máquina for eletricamente equilibrada. Isto ocorre porque as tensões de sequência (-), de sequência de fases, por exemplo, ACB, quando aplicadas a uma máquina que gira e produz tensões de sequência (+), de sequência de fases ABC, se comportarão como se houvesse uma outra máquina, dentro daquela primeira, porém, girando em sentido oposto.

a) Impedância de sequência (+):

Esta é a impedância normal da máquina. Toma-se o valor subtransitório, transitório ou síncrono,(conforme a natureza do problema.

b) Impedância de sequência (-):

A f.m.m. produzida pela corrente de sequência (-) fluindo no estator , dá origem a um campo rotativo, cujo sentido de rotação é oposto àquele do rotor, com a mesma velocidade síncrona “ω”, do rotor. Assim, o fluxo produzido varre rapidamente o rotor, induzindo correntes nos enrolamentos de campo, amortecedores e na superfície do rotor, evitando assim que o fluxo penetre no rotor, e dando origem a um baixo valor de reatância. Esse campo oposto tira a máquina do seu regime normal, provocando instabilidade, como se fosse colocada ou retirada carga da máquina. A impedância “Z2” varia continuamente do eixo “d” para o “q”, em consequência, toma-se a média das reatâncias sub- transitórias X”d e X”q:

c) Impedância de sequência zero:

A f.m.m. produzida pela corrente de sequência zero terá o mesmo valor instantâneo em todas as fases. Assim, para um enrolamento trifásico uniforme, a f.m.m. em qualquer ponto, será a soma de 3 ondas senoidais idênticas, deslocadas entre si de 120o .

Portanto o fluxo resultante é zero e não haverá reatância, exceto aquela devido ao fluxo de dispersão (e imperfeições no enrolamento). Consequentemente, a impedância “Zo” será composta da resistência do enrolamento mais uma pequena reatância.

- Note-se a diferença do efeito da sequência (0) nos trafos e nas máquinas síncronas.

Na figura 3.23 abaixo tem-se um gerador que alimenta uma caerga resistiva, através de uma linha. A representação deste gerador, em seus circuitos de sequência (+), (–) e (0), está nas figuras 3.24, 3.25 e 3.26:

Zg E aN

E a240 L L L

Figura 3.23 - Diagrama de sequência (+)

E a E b

LLE c I a1

I b1

I c1 c b a Z 1

E a LZ 1

I a1

Figura 3.24 - Diagrama de sequência (-)

Diagrama de sequência (0)

1) Fazer o circuito da sequência (0) do diagrama unifilar:

R TP Z n

Figura 3.27 - Solução:

2) Fazer os circuitos de sequência (+), (-) e (0) do diagrama unifilar:

Solução: Diagramas de sequência (+) e (-):

Z, Z1 A 2 A
Z= ZT1 T2
Z, Z1 B 2 B
Z= ZT1 T2
Z= ZL1 L2
Z= ZL1 L2
Z= Z1 C 2 C
Z= ZT 1 T 2

Figura 3.30 - Diagrama de sequência zero:

L Z A 0

ZC 0

ZT 0 ZT 0

ZT 0

ZL 0 ZL 0

ZB 03 RRL

Seq. Zero

3) Esquematize o circuito de sequência zero para o sistema abaixo. Considere que as reatâncias de sequência zero dos geradores e motores valem 0,05 pu. Os reatores para a limitação de corrente valem 2,0 Ω. A reatância de sequência (0) da L.T. é de 250 Ω.

1) Reatância de sequência (0) dos transformadores: Zo

Zo = Z1

Para a base MA MVA

3) Motores:

4) Reatores limitadores de corrente:

Zbase = UM base

5) Linha de transmissão:

p r

4) Desenhe os circuitos de impedância de sequência negativa e de sequência zero para o sistema de potência da figura 3.34. Dê os valores de todas as reatâncias em p.u. numa base de 30.0 KVA, 6,9 KV no circuito do gerador 1. Assinale os circuitos de maneira correspondente ao diagrama unifilar. Os neutros dos geradores 1 e 2 estão ligados à terra através de reatores limitadores de corrente com reatância de 5%, cada qual tendo como base os valores da máquina à qual estão ligados. Cada gerador possui reatâncias de sequências negativa e zero de 15% e 5%, respectivamente, com base em seus próprios valores nominais. A reatância de sequência zero da linha de transmissão é 250 ohms de B a C e 210 ohms de C a E.

Reatores dos Geradores: → Zn = 5%

Linhas:

Adotar: UB = 6,9 KV; MB = 30 MVA → nos geradores GA e GB

Solução:

UB(BC e CE) = 115 KV

x ← 15x = 1,5 KV

Reatâncias: Geradores:

Z Z pu

Z Z pu

A n

Gc: Z Z pu

Z pu C C

Transformadores:

Sendo:ZB = UB2/MB =

CE: Z Z puZ

CE1 CE

CIRCUITOS: 1) de sequência negativa:

2) de sequência nula:

5) Desenhe os circuitos de sequência negativa e de sequência zero para o sistema de potência do exercicio 6 do capítulo 1. Escolha uma base de 50.0 KVA, 138 KV na linha de transmissão de 40 ohms e dê as reatâncias em p.u.. A reatância de sequência negativa de cada máquina síncrona é igual à respectiva reatância subtransitória. A reatância de sequência zero de cada máquina é de 8% com base nos próprios valores nominais. Os neutros das máquinas estão ligados à terra através de reatores cujas reatâncias valem 5%, com base nos valores nominais das respectivas máquinas. Suponha que as reatâncias de sequência zero das linhas de transmissão valem 300% das respectivas reatâncias de sequência positiva.

ABj 40W j 20WWj 20

Figura 3.37 - Solução:

UB = 138 KV (nas linhas); MB = 50 MVA

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