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Desta forma, o volume é dado por: V=∫2 0

)(dxxA

A(x) é a área da seção transversal em x e pode ser calculada como

0 )4()(dyyxxA e o volume pode ser determinado por:

−−==∫∫∫dxdyyxdxxAV unidades de volume.

Agora, como exercício determine o valor do volume da região, invertendo a ordem de integração.

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Exemplo 1) Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido compreendido pela superfície z=x2 e os planos x=0, x=2, y=3, y=0 e z=0.

Exemplo 2) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano z=4-4x-2y.

Curso Cálculo I – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 10 x unidades de volume.

Exemplo 3) Determine o volume do sólido limitado pelo cilndro 422=+yx e os planos y+z=4 e z=0.

x y dydxy

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Exemplo 4) Encontre o volume da região limitada por z= 223yx+ e x yxyxdydxyxfV

1.2.3- EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e escreva a integral dupla de acordo com a mudança da ordem de integração. Após este procedimento, utilize um software para plotagem da figura e confirme seu esboço.

y y xdxdyb ydxdya

2) Esboce a região de integração e calcule a integral:

Curso Cálculo I – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 12 y yx xsenydydxb dxdyea

3) Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e determine o valor da integral dxdyxa pi

4) Determine o valor da integral imprópria ∫∫∞ −1 1 3 dydx yx

5) Encontre o volume da região limitada pelo parabolóide 22yxz+= e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas retas y=x, x=0 e x+y=2 no plano xy.

6) Encontre o volume do sólido que é limitado superiormente pelo cilindro z=x2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola y=2-x2 e pela reta y=x no plano xy.

7) Prove que 2

−− dxedxdyedxdye x b b b yxb

1.2.4- INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES

Tog gleB utton Em algumas situações, o processo de integração torna-se mais simples pela mudança de coordenadas do sistema, geralmente, quando a geometria do problema adequa-se a tal sistema de coordenadas.

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Vamos analisar a figura abaixo:

A divisão natural da região R, em coordenadas polares, será um "retângulo polar", de lados r e θ. Suponha que uma função f(r,θ) seja definida sobre uma região R, limitada por αθ= e βθ= e pelas curvas

Analisando um destes retângulos polares teremos:

A área deste setor circular pode ser dada por: θ∆∆=∆rrA e no limite, com as dimensões dos lados deste retângulo polar tendendo a zero temos θrdrddA=. Desta forma, uma integral dupla em coordenadas polares é escrita gr rdrdrfdArf

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Exemplo 1) Encontre os limites de integração para integrar f(r,)θsobre a região R que está dentro do cardióide r=1+cosθ e fora da circunferência r=1.

cos1 θ θθrdrdrf

1.2.5- ÁREA EM COORDENADAS PLANAS

A área de uma região R fechada em coordenadas planas e limitada no plano de coordenadas polares é dada por A=∫∫R rdrdθ

Exemplo 1) Encontre área de )2cos(42θ=r .

Curso Cálculo I – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 15 θpipi θ θθ θθd drrdrdA

Exemplo 2) Determine a área compreendida pela rosácea de três pétalas r=senθ3.

pipipi θ piθθθθθθ ddsenrdrdrdrddAA R R sen

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1.2.6- EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume dentro da superfície 9222=++zyx e fora de 122=+yx.

Resp: pi 3

2) A integral iterada representa o volume de um sólido. Faça um esboço do sólido: dydxyx∫∫−−

3) A integral iterada representa o volume de um sólido. Faça um esboço do

ATIVIDADES 1) Calcule as integrais nos exercícios abaixo:

Curso Cálculo I – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 17 dxdydz xyz sp dzdydxzyx

3) Seja a integral dada por: ∫∫∫ y dzdydx a) Faça um esboço da região espacial a ser trabalhada b) Reescreva a integral iterada equivalente na ordem

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