Matemática aplicada

Matemática aplicada

(Parte 1 de 8)

APOSTILA Matemática Aplicada

Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR

Lauro César Galvão

1 SISTEMATIZAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS1-1
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS1-1
1.1.1 Conjunto dos números naturais1-1
1.1.2 Conjunto dos números inte iros1-1
1.1.3 Conjunto dos números racionais1-1
1.1.4 Conjunto dos números irracionais1-3
1.1.5 Conjunto dos números reais1-4
1.2 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS1-4
1.2.1 Noções primitivas1-4
1.2.2 Igualdade de conjuntos1-5
1.2.3 Subconjuntos1-5
1.2.4 União de conjuntos1-5
1.2.5 Intersecção de conjuntos1-6
1.2.6 Diferença de conjuntos1-6
1.3 INTERVALOS1-7
1.3.1 Operações com intervalos1-8
2 FUNÇÕES2-10
2.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO2-10
2.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO2-1
2.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO2-13
2.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO2-13
2.5 FUNÇÃO COMPOSTA2-14
2.6 FUNÇÃO INVERSA2-16
2.6.1 Determinação da função inversa2-16
3 FUNÇÃO POLINOMIAL3-18
3.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU3-18
3.1.1 Função linear3-18
3.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1o grau3-18
3.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico3-19
3.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau3-20
3.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau3-21
3.2 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU3-2
3.2.1 Resolução de inequações do 1o grau3-23
3.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau3-23
3.2.3 Inequação -produto e inequação -quociente3-24
3.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU3-26
3.3.1 Gráfico de uma função quadrática3-26
3.3.2 Concavidade3-26
3.3.3 Zeros de uma função quadrática3-27
3.3.4 Vértice da parábola3-27
3.3.5 Gráfico de uma parábola3-28
3.3.6 Estudo do sinal da função quadrática3-28
3.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU3-29
3.4.1 Resolução de inequações do 2o grau3-29
3.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau3-30
3.4.3 Inequação -produto e inequação -quociente3-31
4 FUNÇÃO EXPONENCIAL4-34
4.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO4-34
4.1.1 Potências com expoente natural4-34
4.1.2 Potências com expoente inteiro4-34
4.1.3 Potências com expoente racional4-34
4.1.4 Potênc ias com expoente real4-34
4.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS4-35
4.2.1 Resolução de equações exponenciais4-36
4.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios4-37
4.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano4-38
4.3.2 Características da função exponencial4-39
4.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS4-39
4.4.1 Resolução de inequações exponenciais4-39
5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA5-41
5.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO5-41
5.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO5-41
5.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS5-42
5.4 COLOGARITMO5-42
5.5 MUDANÇA DE BASE5-43
5.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA5-4
5.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano5-4
5.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS5-45
6 TRIGONOMETRIA6-47
6.1 TRIÂNGULO RETÂNGULO6-47
6.2 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO6-47
6.3 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO6-49
6.4 CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES6-50
6.4.1 Ângulos complementares6-51
6.4.2 Divisão6-51
6.4.3 Aplicando o teor ema de Pitágoras6-51
6.5 ÂNGULOS NOTÁVEIS6-52
6.6 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA OU CICLO TRIGONOMÉTRICO6-54
6.6.1 Arco de circunferência6-54
6.6.2 Medidas de arcos6-54
6.6.3 Ciclo trigono métrico6-56
6.6.4 Arcos côngruos6-57
6.7 SENO E COSSENO DE UM ARCO6-59
6.7.1 Conseqüências6-59
6.7.2 Função seno e função cosseno6-59
6.7.3 Gráfico das funções seno e cosseno6-60
6.8 TANGENTE DE UM ARCO6-62
6.8.1 Conseqüências6-62
6.8.2 Função tang ente6-62
6.8.3 Gráfico da função tangente6-62
6.9 COTANGENTE DE UM ARCO6-63
6.9.1 Conseqüências6-64
6.9.2 Função cotangente6-64
6.9.3 Gráfico da função cotangente6-64
6.10 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO6-64
6.10.1 Função secante e cossecante6-65
6.10.2 Gráfico da função secante6-65
6.10.3 Gráfico da função cossecante6-6
6.1 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS6-67
6.1.1 Usando o teorema de Pitágoras6-67
6.1.2 Usando semelhança entre triângulos6-68
6.12 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS6-69
6.12.1 Processo para demonstrar identidades6-69
7 MATRIZES7-72
7.1 CONCEITO DE MATRIZ7-72
7.1.1 Algumas matrizes especiais7-73
7.2 MATRIZ QUADRADA7-73
7.2.1 Matriz identidade7-73
7.2.2 Matriz diagonal7-74
7.2.3 Matriz oposta7-74
7.3 IGUALDADE DE MATRIZES7-74
7.3.1 Matriz transposta7-75
7.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES7-75
7.4.1 Adição de matrizes7-75
7.4.3 Produto de um número real por uma matriz7-76
7.4.4 Produto de matrizes7-7
7.4.5 Matriz inversa7-78
8 DETERMINANTES8-80
8.1 DETERMINANTE DE 1A ORDEM8-80
8.2 DETERMINANTE DE 2A ORDEM8-80
8.3 DETERMINANTE DE 3A ORDEM8-81
8.3.1 Regra de Sarrus8-81
8.4 DETERMINANTE DE ORDEM MAIOR QUE 38-82
8.4.1 Menor complementar8-82
8.4.2 Cofator ou complemento algébrico8-82
8.4.3 Conclusões8-83
8.4.4 Teorema de Laplace8-84
8.4.5 Teorema de Binet8-86
8.4.6 Determinante da matriz inversa8-86
9 SISTEMAS LINEARES9-8
9.1 EQUAÇÃO LINEAR9-8
9.1.1 Solução de uma equação linear9-8
9.2 SISTEMA LINEAR9-89
9.2.1 Sistemas lineares equivalentes9-90
9.3 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR9-91
9.4 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR9-91
9.4.1 Forma matricial do sistema linear9-91
9.5 REGRA DE CRAMER9-92
9.6 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR ESCALONAMENTO9-94
10 GEOMETRIA10-9
10.1 POLÍGONOS10-9
10.1.1 Polígonos regulares10-9
10.1.2 Área do triân gulo10-9
10.1.3 Área do paralelogramo10-103
10.1.4 Área dos paralelogramos notáveis10-103
10.1.5 Área do trapézio10-104
10.1.6 Área e comprimento de um círculo10-106
10.1.7 Área da coroa circular10-106
10.1.8 Área do setor circular10-107
10.1.9 Área do segmento circular10-107
10.2 GEOMETRIA ESPACIAL10-109
10.2.1 Poliedros10-109
10.2.2 Poliedros regulares10-1
10.2.3 Prismas10-114
10.2.4 Pirâmides10-121
10.2.5 Tronco de pirâmide10-123
10.2.6 Cilindros10-128
10.2.7 Cones10-131
10.2.8 Tronco de cone10-133
10.2.9 Esferas10-137
1 GEOMETRIA ANALÍTICA: PONTO E RETAS1-143
1.1 SEGMENTO DE RETA1-143
1.2 SEGMENTO ORIENTADO1-143
1.2.1 Eixo1-143
1.3 MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO ORIENTADO1-143
1.3.1 Abscissa de um ponto1-144
1.3.2 Ponto médio1-145
1.4 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS1-145
1.4.1 Distância entre dois pontos1-147
1.4.2 Área de um triângulo1-147
1.4.3 Condição de alinhamento de três pontos1-149
1.5 ESTUDO DA RETA1-150
1.5.2 Retas particulares1-151
1.5.3 Posições relativas entre duas retas1-153
1.5.4 Coeficiente angular ou declividade de uma reta1-154
1.5.5 Equação reduzida da reta1-156
1.5.6 Equação da reta, dados um ponto e a direção1-157
1.5.7 Paralelismo entre retas1-157
12 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA12-158
12.1 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA12-158
12.1.1 Equação reduzida da circunferência12-158

vi

[FIG. 1]: RETA REAL R1-4
[FIG. 2]: DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A E B1-5
[FIG. 3]: DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A, B E C (SUBCONJUNTOS)1-6
[FIG. 4]: DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A, B E C (UNIÃO / INTERSECÇÃO / DIFERENÇA)1-7
[FIG. 5]: GRÁFICO DO INTERVALO ]-2,3]1-7
[FIG. 6]: REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR DIAGRAMA2-10
[FIG. 7]: REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR SISTEMA CARTESIANO2-1
[FIG. 8]: FUNÇÃO COMPOSTA2-14
[FIG. 9]: CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA3-26
[FIG. 10]: VÉRTICE DE PARÁBOLAS (D>0 PARA AS DUAS)3-27
[FIG. 1]: GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (a>1)5-4
[FIG. 12]: GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0<a<1)5-45
[FIG. 13]: ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO6-47
[FIG. 14]: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO6-49
[FIG. 15]: TRIÂNGULO ABC QUE DEFINE AS RAZÕES6-49
[FIG. 16]: TRIÂNGULO ABC, CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES6-51
[FIG. 17]: ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA6-54
[FIG. 18]: CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO r6-5
[FIG. 19]: QUADRANTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO6-56
[FIG. 20]: MEDIA DE ARCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO6-56
[FIG. 21]: ARCO a PARA O CONCEITO DE SENO E COSSENO6-59
[FIG. 2]: GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO6-60
[FIG. 23]: GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO6-61
[FIG. 24]: ARCO a PARA O CONCEITO DE TANGENTE6-62
[FIG. 25]: GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE6-63
[FIG. 26]: ARCO a PARA O CONCEITO DE COTANGENTE6-63
[FIG. 27]: GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE6-64
[FIG. 28]: ARCO a PARA O CONCEITO DE SECANTE E COSSECANTE6-65
[FIG. 29]: GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE6-65
[FIG. 30]: GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE6-6
[FIG. 31]: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO6-67
[FIG. 32]: FUNÇÕES ADAPTADAS NO CICLO6-67
[FIG. 3]: TRIÂNGULOS SEMELHANTES6-67
[FIG. 34]: TABELA DE NOTAS7-72
[FIG. 35]: DIAGONAIS DE UMA MATRIZ7-73
[FIG. 36]: DETERMINANTE PELA REGRA DE SARRUS8-81
[FIG. 37]: POLÍGONO CONVEXO E POLÍGONO CÔNCAVO10-9
[FIG. 38]: HEXÁGONO REGULAR: 6 LADOS CONGRUENTES E 6 ÂNGULOS CONGRUENTES10-9
[FIG. 39]: ÁREA 1 DO TRIÂNGULO10-100
[FIG. 40]: ÁREA 2 DO TRIÂNGULO10-100
[FIG. 41]: ÁREA 3 DO TRIÂNGULO10-101
[FIG. 42]: RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA10-102
[FIG. 43]: RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA10-102
[FIG. 4]: ÁREA DO PARALELOGRAMO10-103
[FIG. 45]: RETÂNGULO10-103
[FIG. 46]: LOSANGO10-103
[FIG. 47]: QUADRADO10-104
[FIG. 48]: TRAPÉZIO10-104
[FIG. 49]: CÍRCULO10-106
[FIG. 50]: COROA CIRCULAR10-106
[FIG. 51]: SETOR CIRCULAR10-107
[FIG. 52]: SEGMENTO CIRCULAR10-107
[FIG. 53]: ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE NÃO CONTÉM O CENTRO10-108
[FIG. 54]: ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE CONTÉM O CENTRO10-108
[FIG. 5]: POLIEDRO10-109
[FIG. 56]: POLIEDROS CONVEXOS10-109
[FIG. 57]: POLIEDRO NÃO-CONVEXO10-109
[FIG. 59]: TETRAEDRO REGULAR10-112
[FIG. 60]: HEXAEDRO REGULAR10-112
[FIG. 61]: OCTAEDRO REGULAR10-112
[FIG. 62]: DODECAEDRO REGULAR10-113
[FIG. 63]: ICOSAEDRO REGULAR10-113
[FIG. 64]: PRISMAS10-114
[FIG. 65]: PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO10-115
[FIG. 6]: PRISMA RETO PENTAGONAL E PLANIFICAÇÃO10-115
[FIG. 67]: VOLUME DE UM PRISMA10-119
[FIG. 68]: PIRÂMIDE10-121
[FIG. 69]: PIRÂMIDE REGULAR10-121
[FIG. 70]: PIRÂMIDE REGULAR QUADRANGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO10-122
[FIG. 71]: VOLUME DA PIRÂMIDE10-123
[FIG. 72]: SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE10-123
[FIG. 73]: TRONCO DE PIRÂMIDE10-124
[FIG. 74]: VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE10-124
[FIG. 75]: CILINDROS10-128
[FIG. 76]: CILINDRO CIRCULAR RETO (DE REVOLUÇÃO)10-128
[FIG. 7]: CILINDRO EQÜILÁTERO10-129
[FIG. 78]: CILINDRO RETO E PLANIFICAÇÃO10-129
[FIG. 79]: VOLUME DO CILINDRO10-130
[FIG. 80]: CONE10-131
[FIG. 81]: CONE REGULAR10-131
[FIG. 82]: CONE REGULAR10-132
[FIG. 83]: CONE REGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO10-132
[FIG. 84]: VOLUME DO CONE10-133
[FIG. 85]: SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE10-133
[FIG. 86]: TRONCO DE CONE10-134
[FIG. 87]: PLANIFICAÇÃO DO TRONCO DE CONE10-134
[FIG. 8]: VOLUME DO TRONCO DE CONE10-135
[FIG. 89]: ESFERA E SUPERFÍCIE ESFÉRICA10-137
[FIG. 90]: PLANO TANGENTE A UMA ESFERA10-137
[FIG. 91]: SECÇÃO ESFÉRICA10-138
[FIG. 92]: COROA CIRCULAR10-138
[FIG. 93]: SÓLIDO REFERENTE À SECÇÃO ESFÉRICA10-139
[FIG. 94]: CUNHA ESFÉRICA10-141
[FIG. 95]: SEGMENTO DE RETA1-143
[FIG. 96]: MEDIDA DE UM SEGMENTO DE RETA1-143
[FIG. 97]: EIXO OU RETA ORIENTADA1-143
[FIG. 98]: MEDIDA DO SEGMENTO ORIENTADO1-144
[FIG. 9]: PONTO MÉDIO1-145
[FIG. 100]: SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS1-146
[FIG. 101]: DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS1-147
[FIG. 102]: ÁREA DE UM TRIÂNGULO1-148
[FIG. 103]: EQUAÇÃO GERAL DA RETA1-150
[FIG. 104]: RETA PARALELA AO EIXO y1-151
[FIG. 105]: RETA PARALELA AO EIXO x1-152
[FIG. 106]: RETA QUE PASSA PELA ORIGEM (0,0)1-152
[FIG. 107]: EQUAÇÃO SEGMENTARIA1-152
[FIG. 108]: POSIÇÕES ENTRE DUAS RETAS1-153
[FIG. 109]: TANGENTE DE UM ÂNGULO, NO TRIÂNGULO RETÂNGULO1-154
[FIG. 10]: COEFICIENTE ANGULAR1-155
[FIG. 1]: OBTENÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR1-155
[FIG. 12]: EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA1-156
[FIG. 13]: RETAS PARALELAS1-157
[FIG. 114]: CIRCUNFERÊNCIA12-158

Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro

1 Sistematização dos conjuntos numéricos

1.1 Conjuntos numéricos O conceito de números é um dos mais fundamentais e primitivos na Matemática.

1.1.2 Conjunto dos números inteiros

1.1.3 Conjunto dos números racionais É qualquer fração envolvendo números inteiros.

Todo número racional pode ser representado na forma decimal e podemos ter dois casos:

• (a) A representação decimal finita:

=
=

3 • (b) A representação decimal infinita periódica:

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=

Para se obter representações decimais de um número racional q p , basta dividir p por q. As representações da forma (b) são chamadas dízimas periódicas.

Reciprocamente, podemos representar um número decimal racional na forma q

Seja x um número racional. Nos exercícios seguintes, determine x na forma q

Exercício 5 x=1,25 Resolução:

x =

Exercício 6 x=0,6… Resolução:

x =

Exercício 7 x=0,5222… Resolução:

x =

Exercício 8 x=0,141414… Resolução:

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x =

Exercício 9 x=2,171717… Resolução:

x =

Exercício 10 x=0,003777… Resolução:

x =
x =

1.1.4 Conjunto dos números irracionais

I={x/ x é um número decimal ilimitado não periódico} • Nos exercícios abaixo, alguns exemplos de números irracionais:

Exercício 12 2

Resolução: 2=

Exercício 13 p

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Resolução: e=

Exercício 14 e

1.1.5 Conjunto dos números reais R=QI

Existe uma correspondência biunívoca entre todos os números reais e os pontos de uma reta.

[Fig. 1]: Reta real R.

Exercício 15 Mostre que 2Q. Resolução:

1.2 Operações com conjuntos

1.2.1 Noções primitivas Conjunto, elemento, pertinência entre elementos e conjunto.

Resolução:

• aA;
• nA;
• hC;
• mB;
• cC;
• bB;

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1.2.2 Igualdade de conjuntos

Definição 1 Dois conjuntos A e B são considerados iguais se, e somente se, todo elemento de A pertencer a B e vice-versa.

A=B Û "x, (xAÛxB).

• DA;
• BF;
• DA;
• AF;
• CE.

1.2.3 Subconjuntos

Definição 2 Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando qualquer elemento de A também pertence a B.

Consideremos os conjuntos A e B, representados também por diagrama:

[Fig. 2]: Diagrama dos conjuntos A e B.

Note que qualquer elemento de A também pertence a B. Nesse caso, dizemos que A é subconjunto de B.

Indica-se: AÌB; lê-se: A está contido em B.

Podemos dizer também que B contém A. Indica-se: BÉA; lê-se: B contémA. OBS. 1: Se AÌB e BÌA, então A=B.

OBS. 2: Os símbolos Ì, É e são utilizados para relacionar conjuntos.

OBS. 3: Para todo conjunto A, tem-se AÌA. OBS. 4: Para todo conjunto A, tem-se ÌA, onde representa o conjunto vazio.

1.2.4 União de conjuntos

(Parte 1 de 8)

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