Os princípios da Dinâmica

Os princípios da Dinâmica

(Parte 1 de 8)

99Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica Parte I – DINÂMICA

1E.R. Uma partícula está sujeita à ação de três forças, F , F e

F , cuja resultante é nula. Sabendo que F e F são perpendiculares entre si e que suas intensidades valem, respectivamente, 6,0 N e

Resolução: Inicialmente, temos que:

Se a resultante de três forças aplicadas em uma partícula é nula, então as três forças devem estar contidas no mesmo plano.

No caso, F e F determinam um plano. A força F (equilibrante da soma de F e F ) deve pertencer ao plano de F e de F e, além disso, ser oposta em relação à resultante de F e F .

A intensidade de F pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:

F = F + F ⇒ F = (6,0) + (8,0)

F = 10 N

Respondemos, finalmente, que as características de F são:

intensidade: 10 N;

direção: a mesma da resultante de F e F ;

sentido: contrário ao da resultante de F e F .

2 Nos esquemas de I a IV, é representada uma partícula e todas as forças que agem sobre ela. As forças têm a mesma intensidade F e estão contidas em um mesmo plano. Em que caso (ou casos) a força resultante na partícula é nula?

Respostas: I e IV

3 (ESPCEX-SP – mod.) Com base no sistema de forças coplanares de mesma intensidade, representado abaixo, indique a alternativa correta:

a) F é resultante da soma de F e F .

b) F + F c) F é resultante da soma de F , F e F .

d) F + F e) F é resultante da soma de F e F .

Resposta: d

4 Um ponto material está sob a ação das forças coplanares F , F e F indicadas na figura a seguir.

sen θ = 0,80 cos θ = 0,60

Sabendo que as intensidades de F , F e F valem, respectivamente,

100 N, 6 N e 8 N, calcule a intensidade da força resultante do sistema.

Tópico 1

100PARTE I – DINÂMICA

Resolução: F

F y x θ

F = F cos θ = 100 · 0,60 = 60 N

F = F sen θ = 100 · 0,80 = 80 N

Na direção x:

R = F – F ⇒ R = 6 – 60 (N)

R = 6 N

Na direção y:

R = F – F ⇒ R = 8 – 80 (N)

R = 8 N

Teorema de Pitágoras: y

R = 6 + 8 ⇒ R = 10 N

Resposta: 10 N

5 (PUC-SP) Os esquemas seguintes mostram um barco sendo retirado de um rio por dois homens. Em (a), são usadas cordas que transmitem ao barco forças paralelas de intensidades F e F . Em (b), são usadas cordas inclinadas de 90° que transmitem ao barco forças de intensidades iguais às anteriores.

90° (a)

(b) F

Sabe-se que, no caso (a), a força resultante transmitida ao barco tem valor 700 N e, no caso (b), 500 N. Nessas condições, calcule F e F .

Resolução:

F + F = 700

Teorema de Pitágoras:

F + F = (500)

F + F = 250 0 (B)

Donde: F = 700 – F (A)

F Caso a:

Substituindo A em B, vem:

(700 – F ) + F = 250000

490000 – 1400 F + F

+ F = 250000

F – 700 F + 120000 = 0

F’ = 400 N

F” = 300 N

Donde: F’ = 300 N e F”

= 400 N

Respostas: F = 300 N e F = 400 N ou F = 400 N e F = 300 N

6 Em relação a um referencial inercial, tem-se que a resultante de todas as forças que agem em uma partícula é nula. Então, é correto afirmar que: a) a partícula está, necessariamente, em repouso; b) a partícula está, necessariamente, em movimento retilíneo e uniforme; c) a partícula está, necessariamente, em equilíbrio estático; d) a partícula está, necessariamente, em equilíbrio dinâmico; e) a partícula, em movimento, estará descrevendo trajetória retilínea com velocidade constante.

Resposta: e

Inércia. a) A velocidade vetorial de uma partícula só pode ser variada se esta estiver sob a ação de uma força resultante não-nula. b) Se a resultante das forças que agem em uma partícula é nula, dois estados cinemáticos são possíveis: repouso ou movimento retilíneo e uniforme. c) Uma partícula livre da ação de uma força externa resultante é incapaz de vencer suas tendências inerciais. d) Numa partícula em movimento circular e uniforme, a resultante das forças externas não pode ser nula. e) Uma partícula pode ter movimento acelerado sob força resultante nula.

Resposta: e

101Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica

8 (Cesgranrio-RJ) Uma bolinha descreve uma trajetória circular sobre uma mesa horizontal sem atrito, presa a um prego por um cordão (figura seguinte).

Quando a bolinha passa pelo ponto P, o cordão que a prende ao prego arrebenta. A trajetória que a bolinha então descreve sobre a mesa é:

b) e) d) c) a)

Resposta: e

9 Superman, famoso herói das histórias em quadrinhos e do cinema, acelera seu próprio corpo, freia e faz curvas sem utilizar sistemas propulsores, tais como asas e foguetes, dentre outros. É possível a existência de um herói como o Superman? Fundamente sua resposta em leis físicas.

Resposta: Não, pois ele contraria o Princípio da Inércia. Para realizar suas manobras radicais é necessária a atuação de uma força resultante e externa.

10 Analise as proposições a seguir: I. O cinto de segurança, item de uso obrigatório no trânsito brasileiro, visa aplicar aos corpos do motorista e dos passageiros forças que contribuam para vencer sua inércia de movimento.

I. Um cachorro pode ser acelerado simplesmente puxando com a boca a guia presa à coleira atada em seu pescoço.

I. O movimento orbital da Lua ao redor da Terra ocorre por inércia. Estão corretas: a) I, I e I; c) Somente I e I; e) Somente I. b) Somente I e I; d) Somente I e II;

Resolução: (I) Correta. (I) Incorreta.

Para que o cachorro seja acelerado é necessário que atue em seu corpo uma força resultante externa. Quando o animal puxa com a boca a guia presa à coleira atada em seu pescoço, surgem forças na sua boca e no seu pescoço, além de trações na guia e na coleira. Essas forças, internas ao sistema, equilibram-se duas a duas, não modificando a velocidade do cachorro.

(I) Incorreta.

As únicas situações possíveis por inércia são o repouso e o movimento retilíneo e uniforme. A Lua mantém-se em órbita ao redor da Terra devido à força gravitacional que esta aplica sobre ela. É devido a essa força que a velocidade da Lua se altera em direção de ponto para ponto da trajetória..

Resposta: e

rizontal, sem atrito; sabemosque esse corpo se moverá indefinida-

1 (Uepa) Na parte final de seu livro, Discursos e demonstrações concernentes a duas novas ciências, publicado em 1638, Galileu Galilei trata do movimento de um projétil da seguinte maneira: “Suponhamos um corpo qualquer, lançado ao longo de um plano homente ao longo desse mesmo plano, com um movimento uniforme e perpétuo, se tal plano for ilimitado”. O princípio físico com o qual se pode relacionar o trecho destacado acima é: a) o Princípio da Inércia ou 1 Lei de Newton. b) o Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2 Lei de Newton. c) o Princípio da Ação e Reação ou 3 Lei de Newton. d) a Lei da Gravitação Universal. e) o Teorema da Energia Cinética.

Resposta: a

12 A respeito de uma partícula em equilíbrio, examine as proposições abaixo: I. Não recebe a ação de forças. I. Descreve trajetória retilínea. I. Pode estar em repouso. IV. Pode ter altas velocidades.

São corretas: a) todas; d) apenas I e IV; b) apenas I e I; e) apenas I, II e IV. c) apenas I e I;

Resposta: d

13 (Puccamp-SP) Submetida à ação de três forças constantes, uma partícula se move em linha reta com movimento uniforme. A figura abaixo representa duas dessas forças:

F = 12 N

F = 5 N

A terceira força tem módulo: a) 5. b) 7. c) 12. d) 13. e) 17.

Resolução: Se o movimento é retilíneo e uniforme (equilíbrio dinâmico), deve ocorrer:

Teorema de Pitágoras:

| F + F | = 5 + 12

| F + F | = 13 N

Logo : | F | = 13 N

Resposta: dF

102PARTE I – DINÂMICA

14 O avião esquematizado na figura está em voo ascendente, de modo que sua trajetória é uma reta x, inclinada de um ângulo θ em relação ao solo, admitido plano e horizontal. Nessa situação, o avião recebe a ação de quatro forças: P: força da gravidade ou peso (perpendicular ao solo);

S: força de sustentação do ar (perpendicular a x); F: força propulsora (na direção de x); R: força de resistência do ar (na direção de x).

x S

Supondo que o movimento do avião seja uniforme, analise as proposições a seguir e identifique as corretas: (01) O avião está em equilíbrio dinâmico.

(02) P + S + F + R = 0 (04) |F| = |R| + |P| sen θ

(08) |S| = |P| (16) O avião está em movimento, por inércia. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas.

Resolução: (01) Correta.

Se o avião realiza movimento retilíneo e uniforme, ele está em equilíbrio dinâmico. (02) Correta. A resultante das forças atuantes no avião deve ser nula.

P + S + F + R = 0 (04) Correta. Na direção x a resultante das forças deve ser nula. Logo:

y S

|F| = |R| + |P| sen θ (08) Incorreta.

Na direção y, a resultante das forças também deve ser nula. Logo:

|S| = |P| cos θ (16) Correta.

Resposta: 23.

co de peso P é apoiado sobre a superfície plana de uma mesa, que é mantida em repouso em relação ao solo horizontal. No caso 1, o bloco permanece parado e, no caso 2, ele desce a mesa inclinada, deslizando com velocidade vetorial constante.

Movimento Caso 2

Repouso Caso 1

Sendo F e F as forças totais de contato que a mesa aplica sobre o blo- co nos casos 1 e 2, respectivamente, aponte a alternativa incorreta:

| = |P|. d) F = F .

b) F

= –P. e) |F | > |P|.

c) F é perpendicular ao solo.

Resolução: Caso (I): Bloco em repouso (equilíbrio estático)

F + P= 0 ⇒ F = –P ⇒ |F | = |P|

Caso (I): Bloco em movimento retilíneo e uniforme (equilíbrio dinâmico)

F + P= 0 ⇒ F = –P ⇒ |F | = |P|

103Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica

É importante observar, nesse caso, que a força total de contato F é a soma vetorial da força de atrito (F ) com a reação normal do apoio (F

Resposta: e

16 Um corpúsculo desloca-se em movimento retilíneo e acelerado de modo que, num instante t, sua velocidade é v. Sendo F e a, respectivamente, a força resultante e a aceleração no instante referido, aponte a alternativa que traz um possível esquema para os vetores v, F e a.

a) d)F F v v v a a c) F v a

F Fv a

Resolução:

(I) Se o movimento é retilíneo e acelerado, F e V devem ter mesma direção e mesmo sentido.

(I) De acordo com a 2 Lei de Newton, F e a devem ter sempre mesma direção e mesmo sentido.

Resposta: c

17E.R. O bloco da figura tem massa igual a 4,0 kg e está sujeito à ação exclusiva das forças horizontais F e F :

Sabendo que as intensidades de F e de F valem, respectivamente,

30 N e 20 N, determine o módulo da aceleração do bloco.

Resolução:

Como |F | > |F

|, o bloco é acelerado horizontalmente para a direita por uma força resultante F, cuja intensidade é dada por:

F = (30 – 20) N ⇒F = 10 N

A aceleração a do bloco pode ter seu módulo calculado pelo Princípio Fundamental da Dinâmica:

F = m a⇒ a = Fm

⇒a = 10 N4,0 kg

⇒a = 2,5 m/s do instante t = 0, passa a agir sobre ela uma força resultante constan- te, de intensidade 6,0 N. a) Calcule o módulo da aceleração da partícula. b) Trace o gráfico de sua velocidade escalar em função do tempo des- de t = 0 até t = 4,0 s.

Resolução: a) F = m a ⇒ 6,0 = 2,0 a a = 3,0 m/s b) O movimento adquirido pela partícula é uniformemente acelerado; logo:

v = v + at ⇒ v = 3,0 t para t = 4,0 s: v = 12 m/s

04,0t (s) v (m/s)

Respostas: a) 3,0 m/s b) 12

04,0t (s) v (m/s) boratório a partir do repouso pela ação exclusiva das forças F e F , que têm mesma direção, mas sentidos opostos, como representa o esquema a seguir.

Sabendo que a aceleração do corpo tem módulo 2,0 m/s e que a) |F |, se |F

| e se |F b) o módulo da velocidade do corpo ao completar 25 m de deslocamento.

Resolução:

a) Se |F | < |F

F – F = m a ⇒ 10 – F

= 1,0 · 2,0

F = 8,0 N

Se |F | > |F

F – F = m a ⇒ F – 10 = 1,0 · 2,0

F = 12 N

104PARTE I – DINÂMICA b) O movimento é uniformemente acelerado; logo:

v = v + 2a Δs v = 2 · 2,0 · 25 ⇒ v = 10 m/s

Respostas: a) 8,0 N e 12 N; b) 10 m/s

20 O gráfico a seguir mostra a variação do módulo da aceleração (a) de duas partículas A e B com a intensidade (F) da força resultante que atua sobre elas.

3 F 2 F F

Determine a relação m/m entre as massas de A e de B.

Resolução: 2 Lei de Newton: F = m a

Partícula A: 3 F = m a (1)

Partícula B: F = m a (2)

(1) ÷ (2) : m a m a = 3 F F

Donde: m m = 3

Resposta: m m = 3

21 Aplica-se a mesma força resultante em duas partículas A e B de massas respectivamente iguais a M e a 4M. Qual a relação entre as intensidades das acelerações adquiridas por A e B?

Resolução: 2º Lei de Newton: F = m a

A: F = m a ; B: F = 4 m a

De A e B: M a = 4 M a

Donde: a a = 4

Resposta: 4

2 A velocidade escalar de um carrinho de massa 6,0 kg que percorre uma pista retilínea varia em função do tempo, conforme o gráfico abaixo:

Determine: a) a velocidade escalar média do carrinho no intervalo de 0 a 20 s; b) a intensidade da força resultante no carrinho nos intervalos de 0 a 10 s e de 10 s a 20 s.

Resolução:

a) Δs = A’ RGA ⇒ Δs = (20 + 10) · 122 (m)

Δs = 180 m v = Δs

⇒ v = 180 m20 s v = 9,0 m/s

= 12 m/s 10 s a = 1,2 m/s ⇒ F = m a

F = 6,0 · 1,2 (N) ⇒ F

= 7,2 N

de 10 s a 20 s: a = 0 (Movimento retilíneo e uniforme)

F = m a

⇒ F = 0

Respostas: a) 9,0 m/s ; b) 7,2 N e zero

23 (Ufesp-SP) Para que um carrinho de massa m adquira certa aceleração de módulo a, é necessário que a força resultante tenha módulo F. Qual é o módulo da força resultante para um carrinho de massa 2m adquirir uma aceleração de módulo 3a?

Resolução: 2 Lei de Newton: F = m · a 1 carrinho: F = m a 2 carrinho: F’ = 2m 3a

F’ = 6 m a ⇒F’ = 6 F

Resposta: 6 F

24 Uma força resultante F produz num corpo de massa m uma aceleração de intensidade 2,0 m/s e num corpo de massa M, uma aceleração de intensidade 6,0 m/s. Qual a intensidade da aceleração que essa mesma força produziria se fosse aplicada nesses dois corpos unidos?

Resolução: 2 Lei de Newton:

F = m a

1 e 2 em 3, temos:

a ⇒ F = 4 F6,0 · a

a = 1,5 m/s

Resposta: 1,5 m/s

105Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica

25 (PUC-PR) Dois corpos, A e B, de massas M e M , estão apoiados em uma superfície horizontal sem atrito. Sobre eles são aplicadas forças iguais. A variação de suas velocidades é dada pelo gráfico. Para os corpos, é correto afirmar que:

a) M/M = 4. c) M/M

. e) M/M = 2.

b) M/M = 3. d) M/M

Resolução:

Corpo A: F = M a = M Δv

(I)

Corpo B: F = M a = M Δv

(I)

F = M 510 Comparando (I) em (I), temos:

Resposta: c t = 0, sob a ação de uma força resultante constante. Sabendo que no instante t = 2,0 s sua velocidade escalar vale 10 m/s, calcule:

a) a aceleração escalar da partícula; b) a intensidade da força resultante.

Resolução: a) O movimento que a partícula realiza é retilíneo uniformemente acelerado.

a = Δv

Δt ⇒ a = 10 m/s 2,0 s a = 5,0 m/s b) 2 Lei de Newton:

F = m a F = 4,0 · 5,0 (N)

F = 20 N

Respostas: a) 5,0 m/s; b) 20 N

27 (Unicamp-SP) Um carro de massa 800 kg, andando a 108 km/h, freia bruscamente e pára em 5,0 s. a) Qual o módulo da desaceleração do carro, admitida constante? b) Qual a intensidade da força de atrito que a pista aplica sobre o carro durante a freada?

Resolução:

a) v = 108 km/h = 1083,6 m/s ⇒ v

= 30 m/s

Movimento uniformemente variado:

v = v + α t ⇒ 0 = 30 + α 5,0 α = –6,0 m/s ⇒a = |α| = 6,0 m/s b) 2 Lei de Newton: F = m a

F = 800 · 6,0 (N) ⇒F

= 4,8 kN

Respostas: a) 6,0 m/s; b) 4,8 kN

28 Uma espaçonave de massa 8,0 · 10 kg em movimento retilíneo e uniforme num local de infl uências gravitacionais desprezíveis tem ativados simultaneamente dois propulsores que a deixam sob a ação de duas forças F e F de mesma direção e sentidos opostos, conforme está representado no esquema a seguir:

Sendo as intensidades de F e F respectivamente iguais a 4,0 kN e

1,6 kN, determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração vetorial adquirida pela espaçonave.

Resolução: 2 Lei de Newton:

F = m a

F – F = m a ⇒ (4,0 – 1,6) · 10 = 8,0 ·10 a a = 3,0 m/s

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