Prova do IME de 2007 Resolvida

Prova do IME de 2007 Resolvida

(Parte 1 de 7)

3º Dia – Prova de Física

COMENTÁRIO DA PROVA: Prova muito bem elaborada abrangendo a maior parte do conteúdo com questões bastante elegantes e que exigiam domínio teórico do candidato. Percebemos uma atenção forte à óptica geométrica. Sentimos falta de questões tradicionais na prova do IME como de gravitação e óptica física. A única crítica à banca fica quanto a questão 10, que novamente gerou polêmicas (nos últimos 2 anos, pelo menos uma questão havia gerado dúvida quanto ao enunciado). No geral, a prova manteve seu padrão e deverá selecionar os alunos mais bem preparados.

Equipe de Correção da Prova de Matemática: Alunos do ITA

Questão 01

A figura abaixo ilustra um pequeno bloco e uma mola sobre uma mesa retangular de largura d, vista de cima. A mesa é constituída por dois materiais diferentes, um sem atrito e o outro com coeficiente de atrito cinético μ igual a 0,5. A mola tem uma de suas extremidades fixada no ponto A e a outra no bloco. A mola está inicialmente comprimida de 4 cm, sendo liberada para que o bloco oscile na região sem atrito na direção y. Depois de várias oscilações, ao passar pela posição na qual tem máxima velocidade o sistema é atingido por uma bolinha que se move com velocidade de 2m/s na direção x e se aloja nele. O sistema é imediatamente liberado da mola e se desloca na parte áspera da mesa. Determine: a) O vetor quantidade de movimento do sistema bloco + bolinha no instante em que ele é liberado da mola; b) A menor largura e o menor comprimento da mesa para que o sistema pare antes de cair.

Dados: comprimento da mola = 25 cm; constante elástica da mola = 10 N/cm; massa da bolinha = 0,2 kg; massa do bloco = 0,4 kg; aceleração da gravidade = 10 m/s².

Solução:

O bloco é liberado da mola quando a deflexão desta for nula, o que implica sua velocidade ser máxima.

Pelo teorema de conservação de energia:

bloco

Pelo teorema da conservação da quantidade de movimento: ( ) ( )bola bola bloco bloco bola bloco x y

-1bola x bola bola bloco

-1bloco yb loco

bola bloco mv x m v y m m . v x v y

()bola bloco x y 24p m . v x v y 0,6. x y p 0,4x 0,8y33+ ⎛⎞=+ = ± ∴ = ±⎜⎟⎝⎠G

Novamente pelo teorema do trabalho:

2 2 disbola bloco bola bloco mv v2W. N.d .m g.d d m

-1xxvv dx2 2 1 2 5xm.s
y -1vv dy4 2 1 4 5ym.s

As larguras mínimas da mesa devem ser 45852xme 2y=m 45 45 =.

Como a mola tem 25 cm, é necessário considerar que ela não está no fim da mesa, pois senão ela pode cair na direção y−.

Questão 02

Em um recipiente, hermeticamente fechado por uma tampa de massa M, com um volume interno na forma de um cubo de lado a, encontram-se n mols de um gás ideal a uma temperatura absoluta T. A tampa está presa a uma massa m por um fio que passa por uma roldana, ambos ideais. A massa m encontra-se na iminência de subir um plano inclinado de ângulo θ com a horizontal e coeficiente de atrito estático μ. Considerando que as variáveis estejam no sistema internacional e que não exista atrito entre a tampa M e as paredes do recipiente, determine m em função das demais variáveis. Dados: aceleração da gravidade = g; constante universal dos gases perfeitos = R.

Solução: No bloco temos quatro forças atuantes (a tração está indicada por W).

Do equilíbrio das forças:

NatN

WF m.g.sen 0 W .m.g.cos m.g.sen

No recipiente, temos a força F exercida pelo gás e o peso da tampa do recipiente:

WFM.g0WM.gF+−=∴=−(i)

Podemos calcular a força F:

() ( ) nRT nRTFP ressão . Area P.a² .a² a³ a

Segue, de (i), (i) e (ii) que:

nRT M.g.a nRTMg .m.g.cos m.g.sen m

Questão 03

Uma máquina térmica opera a 6000 ciclos termodinâmicos por minuto, executando o ciclo de Carnot, mostrado na figura abaixo. O trabalho desta máquina térmica é utilizado para elevar verticalmente uma carga de 1000 kg com velocidade constante de 10 m/s. Determine a variação da entropia no processo AB, representado na figura. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s² e os processos termodinâmicos reversíveis.

Solução:

São realizados 6000 ciclos por minuto, ou seja, 100 ciclos por segundo.

Num ciclo, a variação de energia interna (entre o ponto A e A) é nula. Da primeira lei da termodinâmica:

trocadoUQW0Δ=−=

A área do gráfico T x S nos dá o calor total trocado no ciclo, de onde segue que: ()trocadoABWQ600300.S==−Δ (i)

A B Temperatura

Entropia

Para elevar verticalmente uma carga de 1000 kg (peso 10000 N) com aceleração nula é necessária uma força constante de 10000 N. O trabalho necessário para isto é tal que:

() 5necessário necessária necessária

Em cada segundo 100 ciclos geram o trabalho necessário de 105 J. De modo que (de (i)):

OBS: O fato dos processos termodinâmicos serem considerados reversíveis permitiu o formato do gráfico retangular para o Ciclo de Carnot.

Questão 04

A malha de resistores apresentada na figura é conectada pelos terminais A e C a uma fonte de tensão constante. A malha é submersa em um recipiente com água e, após 20 minutos, observa-se que o líquido entra em ebulição. Repetindo as condições mencionadas, determine o tempo que a água levaria para entrar em ebulição caso a fonte tivesse sido conectada aos terminais A e B.

Solução: Observe a figura:

Temos simetria na linha horizontal passando por E, logo não passa corrente nessa linha. Então o sistema é equivalente a:

Logo, é fácil ver que se trata de uma associação em série de dois pacotes de três resistores em paralelo. Logo o resistor equivalente é de (2/3).R.

Na nova configuração:

Utilizando a transformação delta-estrela nos deltas centrais:

Após resolver as associações em paralelo, da direita para a esquerda, chegamos que o resistor equivalente é de 8R/15.

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