Integrais por partes (exercicios resolvidos)

Integrais por partes (exercicios resolvidos)

Calcular o valor, em função de x, das seguintes integrais, aplicando o método de integração por partes:

( O método tem a seguinte fórmula: d⌠⌡uv = − uvd⌠⌡vu )
1)I = d⌠⌡x2()senxx ;

Solução

considerando:u = x2 => du = 2x dx
dv = sen(x)dx => v = −()cosx
substituindo em I , temos:
I = d⌠⌡uv = − uvd⌠⌡vu = − − x2()cosxd⌠⌡−()cosx2xx =
fazendo J = 2d⌠⌡x()cosxx
considerando w = x => dw = dx
dz = cos(x) dx => z = sen(x)
substituindo em J , temos:
J = 2d⌠⌡wz = − 2wz2d⌠⌡zw = − 2x()senx2d⌠⌡()senxx = 2 x sen(x) + 2

cos(x) + K

logo, temos: I = −x2()cosx + J = −x2()cosx + 2 x sen(x) + 2 cos(x) + K
-------------------------------------------

Page 1

Solução

considerando u = ln(tg(x)) => du = ()secx
dv = ()secx2dx => v = tg(x)
substituindo em I , temos:
I = d⌠⌡uv = − uvd⌠⌡vu = − ()ln()tgx()tgxd
= − ()ln()tgx()tgx()tgx + K = ()tgx() − ()ln()tgx1 + K
------------------------------------------
3)I = d

x ex

considerando u = xex => du = ( + exxex) dx = ex() + 1x dx
dv =

Solução 1

2 dx=> v = −
sustituindo em I , temos:

Page 2

+ 1x d

x= − +

+ 1x x ex x =

= − +

x ex

ex + K= ex
+ K= ex
+ K =

+ 1x ex

+ K
-----------------------------------------
4)I = d⌠⌡x2()ln + x1x ;

+ 1x Solução

considerando u = ln( x + 1)=> du = 1

+ x1 dx

dv = x2 dx => v =
substituindo em I , temos:
I = d⌠⌡uv = − uvd⌠⌡vu =
x=

+ x1 x =

=

+ x1 x =

x ) =
=

3 ln( x +1) − 13 ( − + − ln( x + 1 ) −

3 + K

Page 3

5)I = d

x x ;

considerando u = ln(x)=> du = 1

Solução x dx

dv =
dx=> v = ln(x)
substituindo em I , temos:
I = d⌠⌡uv =− uvd⌠⌡vu = ln(x) ln(x) −d
x= ()lnx2 - I =>
I + I= ()lnx2 => 2 I = ()lnx2 => I =
-------------------------------------------
6)I = d⌠⌡x()lnx2x ;
considerando u = ()lnx2=> du = 2()lnx

x dx

dv = x dx => v =
substituindo em I , temos;
I = d⌠⌡uv = − uvd⌠⌡vu =

Page 4 considerando w = ln(x) => dw = 1 x dx

dz = x dx => z =
substituindo nesta última integral de I , temos:
I =
−d⌠⌡wz =
()lnx2 - ( − wzd⌠⌡zw )= x

2 ln(x) +

2 x x =

=
d⌠⌡x=
+ K
------------------------------------------
7)I = d⌠⌡x3()cosx2x ;
I = d⌠⌡x2()cosx2

Solução x

considerando u = x2=> du = 2 x dx =>

2 du = x dx

substituindo em I , temos:
I =
d⌠⌡u()cosuu
considerando w = u => dw = du
dz = cos(u) du z = sen(u)
substituindo nesta última I , temos:
I =

( u sen(u) +

Page 5

substituindo u nesta última I , temos:
I =
( + x2()senx2()cosx2 ) + K= 1
-----------------------------------------
8)I = d⌠⌡e()−x()cos2xx ;

Solução

considerando u = e()−x=> du = −e()−x dx => −du = e()−x dx
dv = cos(2x) dx => v = 12

sen(2x)

subtituindo em I , temos:
I = d⌠⌡uv =− uvd⌠⌡vu = e()−x

sen(2x) + 1

fazendo J =
considerando w = e()−x => dw = −e()−x dx => −dw = e()−x dx
dz = sen(2x) dx => z = −
substituindo em J , temos:
J =
= −
logo, I = e()−x
sen(2x)
I+ K =>

4 Page 6

=> I + 1

4 I =

e()−x()sen2x
e()−x()cos2x+ K =>
=>
I =
e()−x()cos2x + K=>
=> I =
------------------------------------------
9)I = d⌠⌡x()cossec32x ;
Solução
considerando u = x => du = dx
dv = ()cossec3x2 dx => v = −
substituindo em I , temos:
I = d⌠⌡uv = − uvd⌠⌡vu = −

x cotg(3x) + 1

fazendo J =
d⌠⌡()cotg3xx=
considerando w = sen(3x) => dw = 3 cos(3x) dx => 13

dw = cos(3x) dx

substituindo em J, temos:
J =
w=
ln( | w | ) + K= 19
ln( | sen(3x) | ) + K
logo,
I = −
ln( | sen(3x) | ) + K

Page 7

10)I = d⌠⌡()arctgxx ;
Solução
considerando u = arctg(x)=> du = 1
dv = dx => v = x
substituindo em I , temos:
I = d⌠⌡uv = − uvd⌠⌡vu = x arctg(x) −d
fazendo J = −d
considerando w = + 1x2 => dw = 2 x dx =>

2 dw = x dx

substituindo em J , temos:
J = −
w= −
ln( | w | ) + K= −
logo,
I = x arctg(x) −
ln( 1 + x2 ) + K
-------------------------------------------
1)I = d⌠⌡x()arctgxx ;

12 Solução Page 8 considerando u = arctg(x) => du = 1

dv = x dx => v =
substituindo em I , temos:
I = d⌠⌡uv = − uvd⌠⌡vu =
=
x=
d⌠⌡1x +
x =
=
arctg(x) + K
------------------------------------------

============================================ Jailson Marinho Cardoso Aluno do curso de Matemática Universidade Federal da Paraíba Campus I 20/07/2000 ============================================

Page 9

Comentários