integrais por substituição trigonometricas (exercicios resolvidos)

integrais por substituição trigonometricas (exercicios resolvidos)

Calcular o valor, em função de x, das seguintes integrais aplicando o método de integração por substituição trigonométrica:

1)I = d

x ;

intervalos: ≤ piθ e < θ

Solução 3 pi

, se x < -3; ≤ 0θ <

2 pi

2 , se x > 3

considerando x = 3()secθ => dx = 3 ()secθ()tgθdθ
temos que: x3 = ()3()secθ3 = 27 ()secθ3 e
substituindo em I , temos:
I = d
θ=
()secθ2θ=
=
d⌠⌡1θ=
temos que: x = 3()secθ = 3
=> ()cosθ =
temos também: − x29 = 3()tgθ => ()tgθ =
=> θ =

3 Page 1

fazendo: ()senθ = ()cosθ
= ()cosθ()tgθ=> ()senθ =
substituindo estes valores em I , temos:
I =
+
+ K =
=
2 − x29+ K
------------------------------------------
2)I = d
intervalos: ≤ 0θ e < θ

Solução pi

, se≤ 0x ; −

2 pi

< θ < 0 ,se x < 0
I = d
x
considerando x =
()tgθ=> dx =
temos que: 12x3 = 1272
()tgθ3 =42
()tgθ3e

2 Page 2

7= + 7()tgθ27 = 7() + ()tgθ21 =
= 7 + ()tgθ21 = 7 ()secθ2 = 7 ()secθ
subtituindo em I , temos:
I = d

θ = 42

= 21 7 d⌠⌡() − ()secθ21()tgθ()secθθ = 217
= 21 7 d⌠⌡()secθ2()secθ()tgθθ −217 d⌠⌡()secθ()tgθθ
considerando u = ()secθ => du = ()secθ()tgθ dθ
sutstituindo , temos:
I = 21 7 d⌠⌡u2
u −217d⌠⌡1u =21 7
sustituindo u por seu valor inicial, temos:
I = 21 7
−217()secθ + K =7 7 ()secθ3
como temos que + 2x27 = 7 ()secθ => ()secθ =
substituindo este valor em I, temos:

7 Page 3

=7
−21 + 2x27 =
= − + 2x273
21 + 2x27 + K =− () + 2x27 + 2x2721 + 2x27 + K =
= − 2x2 + 2x2714 + 2x27 + K
------------------------------------------
3)I = d

+ x1 x ;

considerando x + 1 = u => x = u - 1 => dx = du
substituindo em I , temos:
I = d

Solução

u= d
u =
= d

u u = d u − u24u u = d

− u24u u = d

no intervalo 0 < θ <
podemos considerar − u2 = 2()secθ => u = 2()secθ + 2 => du =
assim, temos: − u4 = − 2()secθ2

Page 4

= 2 − ()secθ21 = 2()tgθ2 = 2()tgθ
subtituindo estes valores em I , temos:
I = d
− 2d⌠⌡()secθ2θ2d⌠⌡()secθθ =
= 2()tgθ −2 ln( | sec(θ) + tg(θ) | ) + K
mas temos que: − u2 = 2()secθ => sec(θ) = − u2
e que: − () − u224 = 2 tg(θ) => tg(θ) = − () − u224
substituindo em I , temos:
I = 2
| )+ K
mas temos que: u = x + 1
substituindo em I , temos:
I = − () + − x1224 −2 ln( | + − x12
+
| ) + K =
= − () − x124 −2 ln( | − x1
+
= − − x22x3 −2 ln( | − + x1 − − x22x32
----------------------------------------

Page 5

x ;

Solução

I = d
x= d
x= d
x
no intervalo ≤ 0θ e θ <

3 pi

podemos considerar − x1 = 2 sec(θ) => x = 2 sec(θ) + 1 => dx = 2 sec(θ) tg(θ)

e [] − () − x1243
=− ()2()secθ243
= 23 − ()secθ213
=
substituindo estes valores em I , temos:
I = d
8()tgθ3θ=
()tgθ2θ =
()senθ2θ
considerando u = sen(θ) => du = cos(θ) dθ
substituindo em I , temos:
I =
u= −
+ K
substituindo u por seu valor inicial, temos:
+ K
como temos que: − x1 = 2 sec(θ) = 2
=> cos(θ) = 2
e que: [] − () − x1243
3=> 8
− () − x124=>
=> 8 sen(θ) = ()cosθ − () − x124 =
− () − x124= 2
() − x12=
= 2 − 12
=> sen(θ) = 1
logo, I =
+ K
-----------------------------------------
5)I = d

x ;

Solução
I = d

x = d

no intervalo 0 < θ <

Page 7

e − () + x221 = − ()secθ21 = ()tgθ2 = tg(θ)
substituindo estes valores em I , temos:
I = d

podemos considerar x + 2 = sec(θ) => x = sec(θ) −2 => dx = sec(θ) tg(θ) dθ

como temos que: x + 2 = sec(θ) => θ = arcsec( x + 2 )
logo,I = arcsec( x + 2 ) + K
----------------------------------------

============================================ Jailson Marinho Cardoso Aluno do curso de Matemática Universidade Federal da Paraíba Campus I 31/07/2000 ============================================

Page 8

Comentários