integrais por funções racionais (exercicios resolvidos)

integrais por funções racionais (exercicios resolvidos)

Calcular o valor, em função de x, das seguintes integrais aplicando o médoto de integração de frações racionais:

***************************************************************************************************
Nota:Dada uma função racional
seu denominador em fatores irredutíveis, dando origem a frações simples da seguinte forma:
a) ()Px
() − xa() − xa2() − xa
=

− xa +

+ ... +
b) ()Px
() + + x2bxc() + + x2bxc2
=

n + AxB

+ + x2bxc

+ + CxD

++

+ ExF

() + + x2bxc n

Se o grau de P(x) é maior que o de Q(x), devemos efetuar a divisão ()Px
,e
lidar com a função
**************************************************************************************************
1)I = d

x ;

Solução
=
=
+

x + BxC

multiplicando os dois membros por x() + 2x21 , temos:
1 = A ( + 2x21) + B x2 + C x => 1 = 2 A x2 + A + B x2 + C x

Page 1

da identidade acima, temos que:
2 A + B = 0 , C = 0 e A = 1 => B = −2
assim, temos que:
=
e conseqüentemente: I = d

x −d

considerando u = 2 x2 + 1 => du = 4 x dx =>

2 du = 2 x dx

substituindo em I, temos:
I = d
u =ln( | x | ) −
substituindo u por seu valor inicial, temos:
I = ln( | x | ) −
ln( | + 2x21 | )+ K
-----------------------------------------
2)I = d

+ x2 x

x ;
Solução

+ x2 x

=

+ x2 x

=
+

− x1 + BxC

Page 2

+ x2x = A ( + x21) +B x ( − x1) + C ( − x1) = A x2 + A + B x2 - B x + C x -

multiplicando os membros por ( − x1) ( + x21) , temos: C

= ( A + B ) x2 + ( - B + C ) x + A - C
desta identidade, temos que:
A + B = 1 , - B + C = 1 e A - C = 0 => A = 1 , B = 0 e C = 1
assim, temos que:

+ x2 x

=
+
e conseqüentemente:
I = d
x+ d
x= ln( | − x1 | ) + arctg( x ) + K
------------------------------------------
3)I = d
x ;
Solução
=
=
+

x B

+

+ x1 C

multiplicando os dois membros por x ( x + 1 ) ( x + 2 ) , temos:
2 x - 6 = A ( x + 1 ) ( x + 2 ) + B x ( x + 2 ) + C x ( x + 1 )
= A ( x2 + 3 x + 2 ) + B x2 + 2 B x + C x2 + C x
= A x2 + 3 A x + 2 A + B x2 + 2 B x + C x2 + C x

Page 3

2 x - 6 = ( A + B + C ) x2 + ( 3 A + 2 B + C ) x + 2 A

A + B + C = 0 ,3 A + 2 B + C = 2 e 2 A = - 6 => A = -3 , B = 8 e C
= -5

desta identidade, temos que: assim, temos que:

= −

x + e conseqüentemente:

I = −3d

x + 8d

x= −3 ln( | x | ) + ln( | x + 1 | ) −5 ln( | x

+ 2 | ) + K

-----------------------------------------
4)I = d
Solução
=
+

+ x2 + BxC

multiplicando os membros por ( x + 2 ) ( x2 + 2 x + 2 ) , temos:
2 x2 + 3 x + 2 = A ( x2 + 2 x + 2 ) B x ( x + 2 ) + C ( x + 2 )
= A x2 + 2 A x + 2 A + B x2 + 2 B x + C x + 2 C
= ( A + B ) x2 + ( 2 A + 2 B + C ) x + 2 A + 2 C
desta identidade, temos:

Page 4

−1
assim, temos que:

A + B = 2 , 2 A + 2 B + C = 3 e 2 A + 2 C = 2 => A = 2 , B = 0 e C =

=
e conseqüentemente:
I = 2d

x −d

x= 2 ln( | x + 2 | ) −d

x =

= 2 ln( | x + 1 | ) - arctg( x + 1 ) + K
-----------------------------------------
5)I = d
2x ;
considerando u = ex => du = ex dx => du = u dx <=> dx =

Solução 1 u du

substituindo em I , temos:
I = d

Page 5

2=
=
+

+ u21 + CuD

2
multiplicando os membros por ( + u21 ) ( + u21 ) , temos:
2 u2 + 1 = A u ( + u21 ) + B ( + u21 ) + C u + D
= A u3 + A u + B u2 + B + C u + D
= A u3 + B u2 + ( A + C ) u + B + D
desta identidade , temos que:
D = −1
assim, temos que:
2=
-
e conseqüentemente:
I = u −

− d u d

2u = u - 2 arctg( u ) + d

22u
usando a fórmula :
x=
() − − n1+
temos:
I = u - 2 arctg( u ) + u
+

u =

Page 6

+
arctg( u ) +K
= u +
-
arctg( u ) + K
substituindo u por seu valor inicial, temos:
I = ex +
-
arctg(ex )+ K
----------------------------------------

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