integaris por substituição de variaveis (exercicios resolvidos)

integaris por substituição de variaveis (exercicios resolvidos)

(Parte 1 de 2)

Calcular o valor, em função de x, as seguintes integrais, aplicando o método de substituição de variáveis:

>>> Para ver a solução, clique no botãozinho à esquerda da palavra Solução <<<
1)I = d

x ;

Solução
considerando u = 3x - 2 => du = 3dx =>

3 du = dx

substituindo estes valores na integral, temos:
I =
2u=
) + K= −
+ K
substituindo u por seu valor original, temos: I = −

OBS: K é uma constante. -------------------------------------------------------

2)I = d⌠⌡x3()cosx4x ;
considerando u = sen(x4)=> du = 4x3 cos(x4)dx => 1

substituindo estes valores na integral, temos: Page 1

I = d

u=
d⌠⌡1u=

4 + K

substituindo u por seu valor original, temos:I =
-------------------------------------------------------
3)I = d⌠⌡ex + 1exx ;
considerando u = 1 + ex => du = exdx
substituindo estes valores na integral, temos:
I = d⌠⌡u = d
u=
+ K=

3 + K

substituindo u por seu valor original, temos: I =
+ K =
+K
------------------------------------------------------
4)I = d
Solução
considerando u = 1 + 4x2=> du = 8xdx =>

8 du = xdx

Page 2 substituindo estes valores na integral, temos:

I = 1

2u=
) + K= −
+ K
substituindo u por seu valor original, temos:I = −
2+ K
-------------------------------------------------------
Solução
considerando u = −x2=> du = -2xdx => −

2 du = xdx substituindo estes valores na integral, temos:

I = −

2 eu + K

substituindo u por seu valor original, temos: I = −
+ K
-------------------------------------------------------
6)I = d
considerando u = cos(x)=> du = -sen(x)dx => - du = sen(x)dx

Solução substituindo estes valores na integral, temos:Page 3

2u= −−
+ K =
+ K
substituindo u por seu valor original, temos: I = 1
+ K
------------------------------------------------------
7)I = d⌠⌡()sen2x + 5()senx2x ;

u ( )cos x Solução

considerando u = 5 + ()senx2 = 5 +
= 5 +
-
=>
=> du = sen(2x)dx
substituindo estes valores na integral, temos:
I = d⌠⌡ux = d
u=
+ K
substituindo u por seu valor original, temos: I =
------------------------------------------------------
8)I = d⌠⌡()tgx3()secx2x ;

3 Soloção

Page 4 considerando u = tg(x) => du = ()secx2 dx substituindo estes valores na integral, temos:

I = d⌠⌡u3
u=
+ K
substituindo u por seu valor original, temos: I =
+ K = ()senx
----------------------------------------------------
9)I = d⌠⌡()senx()secx2x ;

Solução

I = d
2x
considerando u = cos(x) => du = -sen(x)dx => -du = sen(x)dx
I = −d
2u= −−
+ K=
+ K
substituindo u por seu valor original, temos: I = 1
+ K
---------------------------------------------------

10) I = d

considerando u = 3 + 2 tg(x) => du = 2()secx2dx =>

substituindo estes valores na integral, temos:

I =
u=
substituindo u por seu valor original, temos: I =
---------------------------------------------------
1)I = d

− x1 x ;

Solução

I = d
x= d
x= d

− x1 x

considerando u = x - 1 => du = dx
substituindo estes valores na integral, temos:
I = d
u= d⌠⌡1u + 3d
u= u + 3 ln( | u | ) + K
substituindo u por seu valor original, temos: I = x - 1 + 3 ln( | x - 1 | ) + K = x + 3 ln ( |

Page 6

----------------------------------------------------
12)I = d

x - 1 | ) + K

+ x1 x ;

considerando u = x + 1 => du = dx
x = u - 1

Solução substituindo estes valores na integral, temos:

I = d
u= d
u= d
u= d⌠⌡u - d⌠⌡2u +

u =

=
- 2 u + ln( | u | ) + K
substituindo u por seu valor original, temos: I =
=
=
----------------------------------------------------

Page 7

Solução
considerando 5 u = x + 2 => 5 du = dx

substituindo estes valores na integral, temos:

I = d
2u= d
2u= d
2u=
2u=
=
substituindo u por seu valor original, temos: I =
+ K =
=

5 + K

-----------------------------------------------------
14)I = d

x ;

Solução
+ + x22x2 =+ + + x22x11 = + () + x121 => I = d
considerando u = x + 1 => du = dx

substituindo estes valores na integral, temos:

Page 8

2u= 2arctg(u) + K
substituindo u por seu valor original, temos: I = 2 arctg( x + 1 ) + K
-----------------------------------------------------
15)I = d

Solução

considerando u = ln(x) => du = 1
dx=> x du = dx

x substituindo estes valores na integral, temos:

I = d
2u= d
2u= −
+ K
substituindo u por seu valor original, temos: I = −1
+ k
---------------------------------------------------
16)I = d⌠⌡6x2e()−x

Solução

considerando u = −x3 => du = −3x2 dx => −

substituindo estes valores na integral, temos: Page 9

u= −2d⌠⌡eu
u= −2eu + K
substituindo u por seu valor original, temos: I = −2e()−x3
+ K
-----------------------------------------
17)I = d

Solução

considerando u = − 1x5 => du = −5x4 dx => −

substituindo estes valores na integral, temos:

I = −
2u= −
u= −
substituindo u por seu valor original, temos: I = −
()tg − 1x5 + K
-----------------------------------------
18)I = d

x x ;

Solução Page 10

2=> du =
2 dx=
dx=> 2 du =

x dx substituindo estes valores na integral, temos:

I = 2d⌠⌡()senuu = −2()cosu + k
substituindo u por seu valor original, temos: I = −2()cosx + K
------------------------------------------------
19)I = d
considerando u = ln(x) => du = 1
dx=> x du = dx

Solução x substituindo estes valores na integral, temos:

I = d

x u

considerando w = + 1u2 => dw = 2u du =>

2 dw = u du substituindo estes valores na última integral, temos:

I =
w=
como u = ln(x) => w = + 1()lnx2

Page 1 substituindo w na última expressão, temos: I = 1

()ln + 1()lnx2 + K
----------------------------------------
20)I = d

Solução

I = d
u= d
considerando u = ex => du = ex dx

substituindo estes valores na integral, temos:

I = d
2u= arctg( u ) + K
substituindo u por seu valor original, temos: I = arctg( ex ) + K
-----------------------------------------

============================================ Jailson Marinho Cardoso Aluno do curso de Matemática Universidade Federal da Paraíba Campus I 15/07/2000 ============================================

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