Apostila Galois2

Apostila Galois2

(Parte 1 de 8)

Indice

1.1 Triangulos, Teorema de Talles e Polıgonos4
1.2 Regra de Tres, Proporcao, Porcentagem e MMC5
1.3 Trigonometria7
1.4 Trigonometria no Triangulo Retangulo7
1.5 Conjuntos10
1.6 Fatoracao e Produtos Notaveis1
1.7 Quadrilateros12
1.8 Triangulos14
2.1 Area de Figuras Planas. Polıgonos Regulares Inscritos e Circunscritos18
2.2 Funcoes20
2.3 Reducao ao 1◦ quadrante. Transformacoes Trigonometricas2
2.4 Cırculos e Circunferencias23
2.5 Funcao Composta e Funcao Inversa27
2.6 Equacoes e Inequacoes Trigonometricas28
2.7 Solidos Geometricos e Prismas30
2.8 Funcao Afim. Inequacao do 1o grau3
2.9 Progressao Aritmetica e Progressao Geometrica34
2.10 Funcao do 2o grau35
3.1 Paralelepıpedos e Cubos40
3.2 Inequacoes e Funcao Modular43
3.3 Adicao e Subtracao de Matrizes, Matriz Inversa4
3.4 Piramides46
3.5 Radiciacao, Potenciacao e Exponenciais47
3.6 Determinante49
3.7 Estudo do Cilindro e do Cone Determinante51
3.8 Logarıtmos53
3.9 Sistemas lineares54
4.1 Numeros Complexos58
4.2 Polinomios58
4.3 Geometria Analıtica59

4 57 Projeto Galois 2

Capıtulo 1 3

1.1 Triangulos, Teorema de Talles e Polıgonos

1. Um ponto interno de um triangulo equilatero dista 5 cm, 7 cm e 8 cm dos respectivos vertices do triangulo. Determine o lado desse triangulo.

2. Tres terrenos tem frente para a rua A e para a rua B, como na figura acima. As divisas laterais sao perpendiculares a rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua mede 180 m?

3. Determine a area da regiao sombreada, sabendo que o triangulo ABC e equilatero.

4. Determine o valor de x no losango abaixo.

5. O numero de segmentos distintos que representam as alturas, medianas e as bissetrizes de um triangulo isoscele e:

6. A area do cırculo inscrito em um triangulo equilatero e 48pi. O perımetro do triangulo e:

Projeto Galois 4

7. O angulo formado pelos ponteiros do relogio as 2h 15 min e:

8. Um octogono regular e formado cortando-se triangulos retangulos isosceles de cantos de um quadrado. Se o quadrado tem lados de tamanho 1 m, calcule a medida dos catetos desses triangulos.

9. Um trapezio isosceles com bases medindo 12 cm e 16 cm esta inscrito em uma circunferencia de raio 10 cm. Calcular a area do trapezio, quando o centro da circunferencia esta no interior do trapezio e quando o mesmo estiver no exterior do trapezio.

10. Calcular a area de um trapezio isosceles de bases 18cm e 8 cm tal que todos os seus lados sao tangentes a um circunferencia.

1. O quadrilatero ABCD abaixo e um retangulo e os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro partes iguais. Qual e a razao entre a area do triangulo CEF e a area do retangulo?

12. Na figura a seguir, tem-se o triangulo equilatero XY Z, inscrito no triangulo isosceles ABC. O valor de α − β e igual a:

13. Os lados paralelos de um trapezio medem 3 e 9. Os lados nao paralelos, 4 e 6. Uma linha paralela a base divide o trapezio em dois outros de igual perımetro. A proporcao na qual cada um dos lados nao paralelos e dividido e:

14. Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferencia de raio r e o outro em uma circunferencia de mesmo raio. Qual e a relacao existente entre suas areas?

15. Sabendo que x e a medida da base maior, y e a medida da base menor, 5,5 cm e a medida da base media de um trapezio e que x − y = 5 cm, determine as medidas de x e y.

1.2 Regra de Tres, Proporcao, Porcentagem e MMC 1. Para descarregar 10 vagoes de trem em uma hora precisamos de 5 funcionarios.

(a) Quanto tempo os funcionario demorarao em descarregar 60 vagoes? (b) Quantos funcionarios serao necessarios para descarregar os 10 vagoes em meia hora?

Projeto Galois 5

(c) Quantos funcionarios serao necessarios para descarregar os 120 vagoes em 6 horas?

2. Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao inves de dois, fossem tres pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser construıdo?

3. Dois numeros a e b diferem entre si em 18 unidades. Sabe-se que a esta para b, assim como 825 esta para 627. Qual o valor de a e de b?

4. Tempos atras o rolo de papel higienico que possuiu por decadas 40 metros de papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preco do rolo nao sofreu alteracao, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preco do metro do papel?

5. Em uma cidade de 5.0 eleitores, 5,2% nao votaram, na ultima eleicao. Quantos foram os eleitores ausentes?

6. Numa promocao de final de semana, uma concessionaria de automoveis vendeu exatemente 97.5% do seu estoque. Qual e o numero mınimo de automoveis que ela tinha no inıcio da promocao?

7. O teor de cloreto de sodio em uma amostra de 50kg de agua do mar e 30%. Quantos litros de agua devem ser evaporados a fim de que tal porcentagem dobre?

8. Uma compra de 330 reais devera ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma a vista e a outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 20% sobre o saldo devedor, calcule o valor de cada parcela.

9. Dois cometas aparecem, um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos. Se em 1920 tivessem ambos aparecido, pergunta-se quantas novas coincidencias irao ocorrer ate o ano 2500?

Projeto Galois 6

10. Seja n um numero natural diferente de 1 tal que MMC(i,n) = in para cada i natural entre 1 e 30. Qual a soma dos cinco menores valores que n pode assumir?

1.3 Trigonometria

3. Quantas solucoes de sen(x)+cos(x)=0 existem para x entre 0 e 2pi? 4. Resolva as seguintes equacoes em R:

5. Mostre que arccos(1x ) = arcsec(x)

1.4 Trigonometria no Triangulo Retangulo

1. Uma escada encostada em um edifıcio tem seus pes afastados a 50m do edifıcio, formando assim, com o plano horizontal, um angulo de 32o. Calcule a altura aproximada do edifıcio. (sen32o = 05299, cos32◦ = 0,8480 e tg32o = 0,6249).

Projeto Galois 7

2. Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80m do pe da encosta e visualiza o topo sob um angulo de 55o com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sen55o = 0,81, cos55o = 0,57 e tg55o = 1,42)

3. Num exercıcio de tiro, o alvo esta a 30m de altura e, na horizontal, a 82m de distancia do atirador. Qual deve ser o angulo (aproximadamente) de lancamento do projetil? (sen20o = 0,3420, cos20o = 0,9397 e tg20o = 0,3640)

4. Na figura, ABC e um triangulo retangulo, AE = d e BC = h. Determine h em funcao de a, b e d.

5. No triangulo retangulo da figura, calcule o valor de cos(a − b).

6. Na figura abaixo, calcule o valor de sen(a)

7. Dois pontos, A e B estao situados nas margens de um rio e distantes 40m um do outro.

Um ponto C, na outra margem do rio, esta situado de tal modo que o angulo C AB mede 75◦ e o angulo ACB mede 75◦. Determine a largura do rio.

Projeto Galois 8

8. Um foguete e lancado sob um angulo de 30o. A que altura se encontra depois de percorrer 12km em linha reta?

9. No quadrilatero ABCD da figura, AB = 2cm, BC = 3cm, CD = 4cm e d = 30o. Calcule, em centımetros, o perımetro do quadrilatero.

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