A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque, o nosso objectivo nesta página, é abordar os tópicos ao nível do segundo grau, voltado essencialmente para os exames nacionais. Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes. O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido tempo. Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo de LIMITES abordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico: DERIVADAS. O matemático francês Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

Definição: Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo d , tal que :

| x - x | < δ ⇒ |f(x) - L | < ε , para todo x ≠ x

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x , através da simbologia abaixo:

lim f(x) = L x->x

Exercício:

lim(x + 5) = 8

Prove, usando a definição de limite vista acima, que: xÆ3

Temos no caso:

lim f(x) = x + 5 = 3 +5 = 8 x Æ 3

L = 8.

Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, para |x – 3| < δ, se tenha |(x + 5) - 8| < ε. Ora, |(x + 5) – 8| < ε é equivalente a | x – 3 | < ε . Portanto, a desigualdade |x – 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = ε . Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3.

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade. Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na sequência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:

a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x Æ x , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x , porém não coincidente com x, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x . Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x Æ 3.

Observe que para x = 3 a função não é definida. Entretanto, lembrando que x – 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f (x) = x + 3, cujo limite para x Æ 3 é igual a 6, obtido pela substituição directa de x por 3. b) O limite de uma função y = f (x), quando x Є x, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x , ou seja , existindo f(x). c) Ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x, porém existirá o limite de f(x) quando x ≠ x . d) Nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x , e existir o limite da função f(x) para x ≠ x e este limite coincidir com o valor da função no ponto x, diremos que a função f(x) é contínua no ponto x . e) Já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x , ou x ≠ x. Se x tende para x, para valores imediatamente inferiores a x , dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x , para valores imediatamente superiores a x , dizemos que temos um limite à direita da função. Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x Æ x .

P1 – O limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função : lim ( u + v + w +)
= lim u + lim v + lim w +

Propriedades operatórias dos limites P2 – O limite de um produto é igual ao produto dos limites. lim (u . v) = lim u . lim v P3 – O limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites. lim (u / v) = lim u / lim v , se lim v ≠ 0. P4 – Sendo k uma constante e f uma função, lim k . f = k . lim f

Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito ( + ∞ ) e menos infinito ( - ∞ ), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número mas sim, uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite. Na realidade, os símbolos + ∞ e - ∞ , não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico. Dado b Є R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades simbólicas: b + (+ ∞ ) = + ∞ b + ( - ∞ ) = - ∞ (+ ∞) + (+ ∞ ) = + ∞ (- ∞ ) + (- ∞ ) = - ∞ (+ ∞ ) + (- ∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo ∞ - ∞ , é dito um símbolo de indeterminação. (+ ∞ ) .(+ ∞ ) = + ∞ (+ ∞ ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação. ∞ / ∞ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:

Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:

x->5
x->4
x->4

a) lim (2x + 3) = 2x5 + 3 = 13 b) lim (x + x) = (+ ¥ ) + (+ ¥ ) = + ¥ + ¥ = + ¥ x->+∞ c) lim (4 + x) = 4 + 2 = 4 + 8 = 12 x->2 d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5 e) lim [(x + 3) (x – 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7

Limites fundamentais

A técnica de cálculo de limites, consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas. Apresentaremos a seguir, sem demonstrar, cinco limites fundamentais e estratégicos, para a solução de problemas.

Primeiro limite fundamental: O limite trigonométrico

Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de sen x será igual a sen 0,0001 = 0,09 (obtido numa calculadora científica). Efectuando-se o quociente, vem: sen x / x = 0,09 / 0,0001 = 0,9 » 1. Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o quociente (sen x) / x se aproximará da unidade, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função.

Exercício: Observe o cálculo do limite abaixo:

Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 5x = u, de modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5, a expressão não se altera. Usamos também a propriedade P4 vista no início do texto.

Segundo limite fundamental: Limite exponencial

Onde e é a base do sistema de logaritmos neperianos, cujo valor aproximado é e = 2,7182818. Exercício: Observe o cálculo do limite abaixo:

Terceiro limite fundamental : Consequência do anterior

Exercício: Observe o cálculo do limite abaixo.

x->0x-> 0

lim (1 + x) = lim [(1 + x)] = e Quarto limite fundamental: outro limite exponencial

para a > 0. Quinto limite fundamental

Exercícios propostos: Determine os seguintes limites:

lim (2 sen x - cos2x + cotgx) x-> π/2 Resp: 3 lim (5 - 1/x + 3/x) x->+∞ Resp: 5 lim (4x - 2x + 1) / (3x - 5) x->+∞ Resp: 4/3 Sugestão: divida numerador e denominador por x.

lim (senx / tgx) x->0 Resp: 1 lim (sen 4x) / x x->0 Resp: 4 lim [(1 + 1/x) x-> +∞ Resp: e

Limites de Funções (Exercícios) Calcular o limite seguinte:

Solução: Observe que substituindo x por 4, obteremos a indeterminação 0/0. Temos que “levantar” esta indeterminação, usando certos critérios algébricos.

Multipliquemos numerador e denominador pelos factores racionalizantes do denominador e do numerador.

Teremos então:

Comentários adicionais: 1 – Lembre que o factor racionalizante de (√a - √b) é (√a + √b).

2 – 0/0 é um símbolo de indeterminação; neste problema, obtemos o valor 2√2/3 para o limite da função dada; outros problemas levarão a outros valores, daí, a designação de indeterminação

O problema proposto a seguir, é um exemplo disto.

Calcule o seguinte limite:

Nota: observe que substituindo x por zero (conforme indicado no limite), obteremos a indeterminação 0/0.

Resposta: 5/4 = 1,25.

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