Método de Gauss-Jordan para Escalonamento

Método de Gauss-Jordan para Escalonamento

Gramas de A/kg Gramas de B/kg Preço/kg

1. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

O método que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz aumentada do sistema até que obtenhamos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução.

Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo (chamado pivô) o número 1. Além disso, se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos terão que ser iguais à zero. Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso. Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma indústria.

Exemplo 1: Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X, são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,0; R$ 3,0 e R$ 5,0, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de a e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 250,0. Vamos determinar quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.

XY Z
111241235 = A e X = 

Solução: Usando matrizes, o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma:

1ª eliminação: Vamos procurar para pivô da 1ª linha um elemento não nulo da primeira coluna não nula (se for o caso, podemos usar a troca de linhas para “trazê-lo” para a primeira linha). Como o primeiro elemento da primeira coluna é igual a 1 ele será o primeiro pivô. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1ª coluna, que é a coluna do pivô, para isto, adicionamos à 2ª linha, (-2) vezes a primeira linha e adicionamos à 3ª linha, também (-2) vezes a 1ª linha. Neste exemplo, ficou um tanto quanto óbvio que deveríamos multiplicar (-2), contudo, para em casos menos óbvios, basta utilizar um método que permite descobrir o multiplicador das linhas. Esse método consiste em dividir o elemento a ser zerado pelo pivô.

10000 500

2ª eliminação: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1ª linha. Escolhemos para pivô um elemento dife- rente de zero na 1ª coluna não nula desta sub-matriz. Vamos escolher o elemento de posição a2,2. Como temos que fazer o pivô igual a um, vamos multiplicar a 2ª linha por (-1).

1 23

Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2ª coluna, que é a coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha (-1) vezes a 2ª linha e somamos à 3ª linha, também (-1) vezes a 2ª linha.

3ª eliminação: olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1ª e a 2ª linha. Escolhemos para pivô um elemen- to diferente de zero na 1ª coluna não nula desta sub-matriz. Temos de escolher o elemento de posição a3,3 e como temos de fazer o pivô igual a 1, vamos multiplicar a 3ª linha por 1/5.

(-2) x 1ª linha + 2ª linha 2ª linha (-2) x 1ª linha + 3ª linha 3ª linha

(-1) x 2ª linha 2ª linha

(-1) x 2ª linha + 1ª linha 1ª linha (-1) x 2ª linha + 3ª linha 3ª linha

3 21

Agora precisamos “zerar” os outros elementos da 3ª coluna, que é a coluna do pivô, para isto, somamos à 1ª linha (-3) vezes a 3ª e somamos a 2ª (2) vezes a 2.

700200 100

A última matriz que obtivemos está na forma que chamamos escalonada reduzida e satisfaz as seguintes condições: a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas; b) O pivô (1° elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual a 1; c) O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior; d) Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.

Solução: Montando a matriz, temos: 1 0 0

1315 10
92 8.

1ª eliminação: como o pivô da linha é igual a 1 e os outros elementos da 1ª coluna são iguais a zero, não há nada o que fazer na 1ª eliminação.

1315 10
92 8

2ª eliminação: olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1 linha. Escolhemos para pivô um elemento não nulo da 1 coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição a2,2. Como ele é igual a 1, precisamos agora “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto somamos à 1ª linha (-3) vezes a 2ª e somamos à 3ª linha (2) vezes a 2ª.

25 0
32 4
sua matriz aumentada for da forma [00 | b’m], com b’m ≠ 0.

Em geral, um sistema linear não tem solução se, e somente se, a última linha não nula da forma escalonada reduzida da

(-3) x 3ª linha + 1ª linha 1ª linha (2) x3ª linha + 2ª linha 2ª linha

(-3) x 2ª linha + 1ª linha 1ª linha (2) x2ª linha + 3ª linha 3ª linha

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