2 - Derivação de funções

2 - Derivação de funções

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Análise Matemática I Derivaçãode funções

Joana Peres MIEQ –2009/2010

FEUP/MIEQ1Joana Peres / Análise Matemática I

Definição de derivada

Recordemos que a derivada da função f(x) no ponto x = a do seu domínio é o limitedarazãoincrementalquando h tende para 0: h afhaf af

Definição:

afxf af def

FEUP/MIEQ2Joana Peres / Análise Matemática I

Em todos os pontos de Df onde este limite existir, fica definida uma nova função f(x), designada por (1ª) derivada de f(x).

Definição alternativa : axhhax −=⇔+= fazendovem que

Interpretação geométrica daderivada

A derivada f ‘(a), quando finita, representa o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x = a. A equação da recta tangente ao gráfico da função y=f(x) no ponto P de coordenadas (a,f(a)) é:

FEUP/MIEQ3Joana Peres / Análise Matemática I

Isto é, se f’(a) existe )()(lim afxf

Obser vação

Derivabilidadeimplica continuidade, no entanto, continuidade não im plic a derivabilidade Por exe mplo afunç ão |x| écon tínua em x = 0

Relaç ão entre deriv abilidade e c ontinuidade

Te ore ma Se a derivada da função f existir em x = a então a função f é contínua em x = a.

FEUP/MIEQ4Joana Peres / Análise Matemática I implica derivabilidade. Por exemplo, a função |x|é contínua em x = 0 mas não tem derivada nesse ponto.

Derivadas laterais

Para analisar o comportamento de f(x) nos extremos de um intervalo fechado, ou então quando f(x) apresentar dois ou mais ramos (diz-se neste caso que f(x) é uma função definida seccionalmente ), necessitamos frequentemente de recorrer às derivadas laterais da função f(x).

Derivada lateral à direita no ponto x = a Definição

Derivada lateral à esquerda no ponto x = a Definição afxfh afhaf axh − def0 def afxfh afhaf axh − def0 def

FEUP/MIEQ5Joana Peres / Análise Matemática I

Relaç ão entre deriv ada e deriv adas later ais

Te ore ma existe sseexistirem e forem iguais as derivadas laterais, sendo

Obser vação Se a função f(x) for contínua em x = a, é válido substituir as derivadas laterais pelos correspondentes limites laterais da função derivada,

Se a função f(x) nãofor contínua em x = a isto não pode ser feito.

Ex em plo Mostre que a funçãonão é derivável quando x=0.

)(lim e)(limxfxf

axax x xf

FEUP/MIEQ6Joana Peres / Análise Matemática I

Tangentes verticais

Quando a tangente ao gráfico de f(x) no ponto (a,f(a)) for vertical , f’(a) não existe nesse ponto (f’(x) tende para ∞ou para -∞).

Definição Dizemos que o gráfico da função f(x) apresenta uma tangente vertical no ponto (a,f(a)) se:

→→ xfafxf axax

FEUP/MIEQ7Joana Peres / Análise Matemática I xfafxf axax xfafxf axax

Ex ercício: Corresponda o gráfico das funções (a) -(f) com o gráfico das funções derivadas respectivas em (A) –(F)

FEUP/MIEQ8Joana Peres / Análise Matemática I

As quatro regras básicas da derivação de funções Derivada da soma de duas funções:

Derivada do produto de duas funções:

)( )()(xfcxfccxg

⇒= Caso particular: c constante e

Derivada do quociente de duas funções:

Derivada da função composta (Regra da cadeia) :

xgxfxgxf xg xg xg

FEUP/MIEQ9Joana Peres / Análise Matemática I

Função potência: Funç ão e xpone ncial :

Função potência composta:

Função exponencial composta:

Derivadas de algumas funções elementares e das correspondentes funções compostas

Funç ão log arítmic a: Funç ão log arítmic acompos ta:

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