9 - Introdução a funções de várias variáveis

9 - Introdução a funções de várias variáveis

(Parte 1 de 3)

Capítulo # 9 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 9.1 Funções de duas variáveis 9.2 Funções de três variáveis Capítulo # 9 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 9.1 Funções de duas variáveis 9.2 Funções de três variáveis

9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS _

9.1 Funções de duas variáveis Chamamos função de duas variáveis a qualquer correspondência que associe a cada par ordenado de números reais, (x,y) ∈ Df ⊆ IR2, um único número real, z ∈ Cf ⊆ IR : O conjunto de partida, Df, é designado por domínio (de definição) da função f, e o conjunto de chegada, Cf, por contradomínio da mesma função. Os números x e y que constituem o par ordenado (x,y) dizem-se variáveis independentes ou argumentos da função f, enquanto que o número z = f(x,y) é designado por variável dependente, ou valor da função no “ponto” (x,y). 9.1.1 Tipos de domínios em IR2 Se escolhermos um sistema de coordenadas rectangulares Oxy no plano, é possível, em geral, representar graficamente o domínio Df de uma função de duas variáveis como sendo uma região bem definida desse plano. A curva plana que delimita essa região (se tal curva existir) chama-se fronteira do domínio Df . Os pontos situados na fronteira chamam-se pontos-fronteira, quer pertençam ou não a Df .

Os pontos de Df que não estejam situados sobre a fronteira são designados por pontos interiores do domínio. Se os pontos-fronteira pertencerem todos ao domínio Df, este diz-se fechado; caso contrário, o domínio dir-se-á aberto. Se a distância de qualquer ponto do domínio Df à origem das coordenadas for limitada superiormente, o domínio diz-se limitado; caso contrário, dir-se-á ilimitado. Muitos resultados importantes relativos a funções de duas variáveis são válidos para domínios que são simultaneamente fechados e limitados, designados em geral pelo nome de domínios compactos. No caso mais frequente, uma função de duas variáveis será definida por intermédio de uma fórmula ou expressão analítica, que nos permite calcular os valores da função se forem conhecidos os valores de x e de y. É costume chamar-se domínio natural de definição da função f(x,y) ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y) para os quais a fórmula que é utilizada para definir a função faz sentido, isto é, “produz” apenas valores reais. Se nada for dito acerca do domínio de uma função f(x,y), subentende-se sempre que esse domínio é o domínio natural de definição associado à fórmula que é utilizada para definir essa função. Exemplo 9.1 Qual é o domínio natural de f(x,y) = 16 − x2

−y2? 16 – x2 – y2 ≥ 0 ⇒ Df = {(x,y): x2 + y2 ≤ 16} Como toda a fronteira faz parte do domínio, é um domínio fechado e limitado, ou seja, é um domínio compacto.

9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS _

Exemplo 9.2 Qual é o domínio natural de f(x,y) =

? 16 – x2 – y2 > 0 ⇒ Df = {(x,y): x2 + y2 < 16} Neste caso, temos um domínio aberto e limitado, já que a fronteira do domínio não faz parte do mesmo. Exemplo 9.3 Qual é o domínio natural de f(x,y) =

? x – y2 > 0 ⇒ Df = {(x,y): x > y2} Este é um domínio aberto e ilimitado, constituído por todos os pontos para a direita da parábola com vértice na origem de equação x = y2:

4 9.1.2 Gráfico de uma função de duas variáveis Qualquer função de duas variáveis pode ser interpretada como sendo um conjunto de tripletos ordenados (x,y,z) de números reais, em que o par ordenado (x,y) ∈ Df e z = f(x,y). Se Oxyz for um sistema qualquer de coordenadas rectangulares no espaço a três dimensões, podemos associar a cada tripleto ordenado (x,y,z) um e um só ponto desse espaço. A totalidade desses pontos é aquilo a que chamamos o gráfico da função f(x,y) ou, o que é o mesmo, o gráfico da equação z = f(x,y). Em geral, esse gráfico será uma superfície no espaço a três dimensões. Em consequência da definição da função f(x,y), podemos afirmar que: • A projecção do gráfico de f(x,y) no plano Oxy é o domínio Df da referida função; • Se (x,y) ∈ Df, e se fizermos passar por esse ponto uma linha vertical, ela deverá intersectar o gráfico de f(x,y) num único ponto.

9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS _

O gráfico da função f(x,y) = ax + by + c é o plano de equação z = ax + by + c Na figura junta, apenas se encontra representada a porção deste plano que está situada no 1º octante. O domínio natural desta função é o conjunto IR2Embora o gráfico de uma função de duas variáveis seja, em geral, uma superfície no espaço a três dimensões, nem todas as superfícies são gráficos de uma única função de duas variáveis. É o caso, por exemplo, da superfície esférica de raio a centrada na origem, cuja equação é x2 + y2 + z2 = a2: O gráfico da função f(x,y) =

−y2, com a > 0 é a metade “superior” da superfície esférica de raio a centrada na origem, cuja equação é x2 + y2 + z2 = a2 A metade “inferior” desta superfície é o gráfico da função simétrica de f(x,y), ou seja, g(x,y) = –

O gráfico da função f(x,y) = x2

+y2 é a folha “superior” da superfície cónica com vértice na origem e eixo de simetria Oz, cuja equação é z2 = x2 + y2 A folha “inferior” desta superfície é o gráfico da função simétrica de f(x,y), ou seja, g(x,y) = – x2 + y

2. O domínio natural destas funções é o conjunto IR2.

O gráfico da função f(x,y) = x2 + y2 é o parabolóide circular com vértice na origem e eixo de simetria Oz, cuja equação é z = x2 + y2 O domínio natural desta função é o conjunto IR2.

9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS _

O gráfico da função f(x,y) = x2 – y2 é o parabolóide hiperbólico com “ponto de sela” na origem, eixo de simetria Oz e “abas para cima” na direcção de Ox, cuja equação é z = x2 – y2 O gráfico da função g(x,y) = y2 – x2 é semelhante ao apresentado, mas está rodado de 90º em torno de Oz. O domínio natural destas funções é o conjunto IR2.

O gráfico da função f(x,y) = sen x2

+y2 é a superfície de revolução que pode ser obtida rodando a curva z = sen x, com x ≥ 0 (ou z = sen y, com y ≥ 0), em torno do eixo Oz, e cuja equação é z = sen x2 + y

2 O domínio natural desta função é o conjunto IR2. Na figura junta, apenas se encontra representado o gráfico da função na restrição definida por x2 + y2 ≤ 4π2.

O gráfico da função f(x,y) =

, com a > 0 é a superfície de revolução obtida ao rodar a curva z =

, com y ≥ 0), em torno do eixo Oz, e cuja equação é z =

2 Como por hipótese a ≠ 0, o domínio natural desta função é o conjunto IR2.

O gráfico da função f(x,y) = x exp (– x2 – y2) é a superfície de equação z = x exp (– x2 – y2) O domínio natural desta função é o conjunto IR2. Na figura junta, apenas se encontra representado o gráfico desta função na restrição {(x,y):

9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS _

O gráfico da função f(x,y) = a2

−x2 é a metade “superior” duma superfície cilíndrica circular paralela a Oy, cuja equação é: x2 + z2 = a2 A metade “inferior” desta superfície é o gráfico da função simétrica de f(x,y), ou seja, g(x,y) = – a2 − x

2. O domínio natural destas funções é o conjunto {(x,y) ∈ IR2: x ≤ a}.

O gráfico da função f(x,y) = x2

−a2 é a metade “superior” duma superfície cilíndrica hiperbólica paralela a Oy, cuja equação é: x2 – z2 = a2 A metade “inferior” desta superfície é o gráfico da função simétrica de f(x,y), ou seja, g(x,y) = – x2

−a2. O domínio natural destas funções é o conjunto {(x,y) ∈ IR2: x ≥ a}.

O gráfico da função f(x,y) = a2

+x2 é a metade “superior” duma superfície cilíndrica hiperbólica paralela a Oy, cuja equação é: z2 – x2 = a2 A metade “inferior” desta superfície é o gráfico da função simétrica de f(x,y), ou seja, g(x,y) = – a2 + x

2. O domínio natural destas funções é o conjunto IR2.

O gráfico da função f(x,y) = k x2 é uma superfície cilíndrica parabólica paralela a Oy, cuja equação é: z = k x2 O domínio natural desta função é o conjunto IR2. Nos quatro exemplos anteriores, se trocarmos x2 por y2 na expressão que define a função f(x,y), o gráfico sofre uma rotação de 90º em torno de Oz, passando a ser representado por uma superfície cilíndrica paralela a Ox.

9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS _

Curvas de contorno e correspondentes curvas de nível de uma função f(x,y) Exemplo 9.4 Escrever as equações das curvas de contorno e das curvas de nível da função f(x,y) = y2 – x2, e em seguida descrever essas curvas, e representar graficamente algumas delasAs curvas de contorno são as curvas do espaço a três dimensões representadas pelo par de equações simultâneas:

9.1.3 Curvas de nível para funções de duas variáveis As curvas de nível são uma forma alternativa de representar geometricamente funções de duas variáveis. Como vimos, o gráfico de uma tal função é, em geral, uma superfície no espaço a três dimensões. Se intersectarmos essa superfície por um plano horizontal de equação z = k, obtemos uma curva situada sobre a superfície z = f(x,y), chamada curva de contorno do gráfico de f(x,y). À projecção vertical de cada curva de contorno sobre o plano Oxy chamamos curva de nível (de equação) f(x,y) = k da função f(x,y), ou seja: {(x,y) ∈ IR2: (x,y) ∈ Df ∧ f(x,y) = k}

, com k ∈ IR .

As curvas de nível são as curvas do plano Oxy representadas pelas equações: y2 – x2 = k, com k ∈ IR • se k < 0, as equações x2 – y2 = – k representam hipérboles equiláteras com centro em (0, 0), tendo o eixo Ox como eixo focal; • se k = 0, a equação y2 – x2 = 0 ⇒ y2 = x2 ⇒ y = x ∨ y = – x tem como gráfico um par de rectas (as bissectrizes dos quadrantes ímpares e dos quadrantes pares, respectivamente); • se k > 0, as equações y2 – x2 = k representam hipérboles equiláteras com centro em (0, 0), tendo o eixo Oy como eixo focal. Na figura seguinte estão representadas 7 curvas de nível de f(x,y), 3 para valores de k > 0, 3 para valores de k < 0, e ainda a curva correspondente a k = 0, que é o par de rectas que passa pela origem. Repare-se que o “ponto de sela” do gráfico da função f(x,y) = y2 – x2, que é a origem das coordenadas, corresponde a um ponto de auto-intersecção de uma curva de nível (neste caso, da curva de nível correspondente a k = 0):

Exemplo 9.5 Escrever as equações das curvas de nível da função f(x,y) = = 4 − x2 − y

2, e em seguida descrever essas curvas e representar graficamente algumas delas.

9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS _

−y2 = k ⇒ x2 + y2 = 4 – k2, com 0 ≤ k ≤ 2 Estas equações representam uma família de circunferências centradas na origem, de raio 4−k2, em que 0 ≤ k ≤ 2. Na figura seguinte estão representadas 5 curvas de nível de f(x,y), para k = {0; 0.5; 1; 1.5; 2}; a última destas circunferências reduz-se a um ponto (a origem):

Exemplo 9.6 Escrever as equações das curvas de nível da função f(x,y) = = x2 + 2y2, e em seguida descrever essas curvas e representar graficamente algumas delasx2 + 2y2 = k (k ≥ 0) ⇒

⎪ Estas equações representam uma família de elipses centradas na origem, de semieixos k e

Na figura junta estão representadas 5 curvas de nível de f(x,y), para k = {0; 1; 2; 3; 4}; a primeira destas elipses reduz-se a um ponto (a origem):

9.1.4 Limite de uma função de duas variáveis 9.1.4.1 O conceito de limite de f(x,y) Dizemos que o número l é o limite de f(x,y) quando (x,y) tende para (a,b), e escrevemos que:

lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = l se conseguirmos que f(x,y) se aproxime tanto quanto quisermos de l, bastando para que isso aconteça que (x,y) se aproxime suficientemente de (a,b), sem contudo igualar (a,b):

9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS _

(Parte 1 de 3)

Comentários