10 - Séries de Taylor e de Maclaurin

10 - Séries de Taylor e de Maclaurin

Análise Matemática I

Sériesde Taylor e de Maclaurin

Joana Per esJoana Pe res MIEQ –2009/2010

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Aproximação de funções por meio de polinómios

Aproximação linear da função y = f (x)na visinhançado ponto x= a: numa visinhançade P, o gráfico da função y=f(x) é praticamente coincidente com o gráfico da recta tangente nesse ponto

Donde se conclui que em x= a:

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Aproximação de funções por meio de polinómios

Aproximação quadrática da função y = f (x)na vizinhança do ponto x= 0:

Temos que determinar os coeficientes do polinómio:

xffxf f c

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Aproximação de funções por meio de polinómios

Ex emplo

Determinar a aproximação linear e quadrática da função e x na vizinhança do x e x e

Como esperado a aproximação quadrática é mais precisa do que a aproximação linear na vizinhança do ponto x=0.

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Polinómios de Taylor

Problema: Dada uma função f qualquer derivável nvezes no ponto x = a, encontrar o polinómio p n (x)de grau ncom a seguinte propriedade: o valor do polinómio e o valor de todas as suas derivadas até à ordem nser igual ao valor da função e correspondentes derivadas até à ordem nem a.

Queremos o polinómio:

n n n axncaxcaxccxp " n axcnnaxccxp " n axcnnncxp " af c af c af c

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Polinómios de Taylor e de Maclaurin

Definição do polinómio de Taylor de grau nda função f(x)centrado no ponto x = a:

n n n ax af ax af axafafxp )(

que é a melhor aproximação polinomial de grau nà função f(x)na vizinhança do ponto x = a.

Representação do polinómio de Taylor de grau nda função f(x)centrado no ponto x = aduma forma mais compacta:

Ao polinómio de Taylor de grau nda função f(x)centrado em x = 0 chamamos polinómio de Maclaurin:

r r n ax af xp

Utilizada só quando conhecemos a fórmula rrn n n x f x fxf xffxp

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Polinómios de Taylor e de Maclaurin

Atendendo à forma como o polinómio de Taylor p n (x)foi construído, é de esperar que se verifiquem os dois factos seguintes:

na vizinhança do ponto x = a, a aproximação será tanto melhor quanto maior for o grau nde p n (x)

para cada valor fixo do grau n, a aproximação vai piorando à medida que nos afastamos de x = a

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Polinómios de Taylor e de Maclaurin Como devemos proceder para determinar o polinómio de Taylor de uma função:

A derivada de ordem rda função f (x):

def em que o índice (r) em expoente representa a ordem da derivada, e em que, por convenção, a derivada de ordem zero é a própria função f (x): f (0) (x) ≡f (x).

1.obter uma fórmula geral para a derivada de ordem r, por inspecção das primeiras três ou quatro derivadas de f (x); 2.fazer uma conjectura, com base nestas derivadas, acerca da fórmula que repr esent a deriv ada de ordem rde f(x),i stoé,f (r) (x)= P(r), em que

Para algumas funções elementares relativamente simples:

representa a derivada de ordem rde f (x), isto é, f (x) P(r), em que P(r)representa a fórmula conjecturada; 3.validar a fórmula conjecturada pelo método de indução matemática;

4.uma vez obtida a fórmula geral para f (r) (x), basta substituir xpor apara se obter a fórmula geral para f (r) (a), e depois dividir por r! para se obter a fórmula geral para os coeficientes c r =f

(r) (a)/r! do polinómio de Taylor centrado no ponto a

Método de indução ma te má tic a:

rPxfrPxfii

Pxfi r a conjectura ve rd adeira

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Polinómios de Taylor de algumas funções importantes rrn n xrxn xxxxp

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x= 0 xxf sen)( =

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Polinómios de Taylor de algumas funções importantes rrn n xrxn xxxp

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x= 0 xxf cos)(=

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Polinómios de Taylor de algumas funções importantes xrxn xxxp

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x= 0 x

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Polinómios de Taylor de algumas funções importantes rrn n xrxn xxxxp

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x= 1 xxf ln)( =

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Polinómios de Taylor de algumas funções importantes rrn n xrxn xxxxp

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x= 0 )1ln()( xxf +=

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Estimativa do resto de um polinómio de Taylor

Queremos calcular:

Estimativa do erro cometido ao substituirmos a função f (x)por qualquer um dos seus polinómios de Taylor

Temos que definir: o resto do polinómio de Taylor de grau nda função f (x)centrado no ponto x=a.

r r n ax af xfxpxfxR

)()( )()(

)( De finição

Rn (x)pode por vezes ser estimado recorrendo ao seguinte teorema:

n ax cf xR

Teorema (Teoremade Taylor) Se f (x)for derivável (n+1) vezes no intervalo [a, x] , em que x> a, então existe um número c∈]a, x[ tal que:

(Se x< a,basta trocar [a, x] por [x,a] e ]a, x[ por ]x,a[ no enunciado acima escrit o)

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Estimativa do resto de um polinómio de Taylor

Se conseguirmos majorar o valor absoluto do resto, isto é, descobrir um número positivo Mtal que para todos os valores de xnum certo intervalo:

vamos poder obter uma estimativa do valor de Rn (x).

Fórmula de Taylor “de grau n” com resto no ponto x=a

=+= )()( )(xRxpxf

n n r r ax n c f a f n n ax n cf ax af ax af axafaf " em que cé um número “compreendido entre ae x, isto é, c∈]a, x[ se a < x, ou c∈]x,a[ se x< a.

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Estimativa do resto de um polinómio de Taylor

•Se fizermos x –a = h ⇔x = a + hpodemos reescrever a fórmula de Taylor “de grau n” com resto no ponto x=a de uma forma alternativa:

n n h n cf h afh af hafafhaf " h n afh af hafaf " em que a not aç ão O(h n+ 1 ) que se lê“da or dem de h n+ 1 ”pretendesalientaroem que a notação O(h), que se lê da ordem de h, pretende salientar o facto de o resto do polinómio de Taylor de grau nser proporcional a h n+ 1 .

O resultado expresso no teorema de Taylor pode ser utilizado na prática para:

1.obter uma estimativa do erro cometidocom a aproximação p n (x)para um valor fixo do grau ndo polinómio;

2.calcular o menor valor do grau nque deve ser utilizado para um valor fixo do erro máximoque pode ser cometido.

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Estimativa do resto de um polinómio de Taylor

Exemplo 1

Calcular 1/e utilizando o polinómio de Taylor de grau 3 para a função f(x) = e x centrado no ponto x = 0 . Em seguida, obter uma estimativa do erro cometido com esta aproximação.

El2Exemplo 2

Calcular ecom erro inferior a 0.001, utilizando para o efeito um polinómio de

Taylor de grau apropriado para a função f(x) = e x centrado no ponto x = 0.

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Série de Taylor (ou de Mclaurin)

Se a função f (x)for infinitamente derivável no ponto x=a podemos em teoria considerar o polinómio de Taylor “de grau infinito” da função f (x)centrado no ponto x=a.

A este polinómio “de grau infinito” chamamos série de Taylorda função f (x)centrado no ponto x=a (ou “em torno do ponto x=a ”):

n r r r ax r af xpax

lim)(lim )(

)( De finição

No caso de a = 0designa-se a série de Taylor pelo nome alternativo de série de Maclaurinda função f(x).

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Série de Taylor (ou de Mclaurin)

A série de Taylor da função f (x)centrada no ponto x=a só será igual à própria função f (x)para intervalos bem definidos da variável xonde R n (x) →0:

Teorema Se f (x)for infinitamente derivável no ponto x=a, e se ent ão:

xR n r r ax r af xf

Se esta condição for satisfeita dizemos que: a série de Taylor da função f (x)centrada no ponto x=a converge para a função f (x)ou então f()lél que a função f (x)pode ser representadapela sua série de Taylor centrada no ponto x=a .

O conjunto de valores reais de xpara os quais este resultado é válido designa-se por: intervalo de convergência da série de Taylor de f (x)centrada no ponto x=a .

fora deste intervalo de convergência, a função f (x)nuncadeverá ser representada pela sua série de Taylor centrada no ponto x=a mesmo se a função e a sua série de Taylor estiverem ambas de fi ni das! FEUP / MIEQ19Joana Peres / Análise Matemática I

Determinação do intervalo de convergência utilizando o teorema de Taylor

Utilizando o teorema de Taylor, é possível (embora trabalhoso!) calcular-se o intervalo de convergência da série de Maclaurinde cada uma das quatro funções cujos polinómios de Taylor centrados em x=0 foram obtidos atrás:

IRxxxxxr x r r sen

IRxxxxr x r r

Para calcular logaritmos quando x > 1 usamos a conhecida propriedade dos logaritmos:

IRxxxx r e xxxxxr x r r

ln)1ln(

Como calcular ln(3)? FEUP / MIEQ20Joana Peres / Análise Matemática I

Cálculo da soma exacta de séries numéricas convergentes

Atribuindo valores numéricos a xdentro do intervalo de convergência da série de Taylor ou de Maclaurinde uma função f (x), esta série transforma-se numa série de números reais que é necessariamente convergente para o valor que a função f (x)assume nesse ponto. útil para calcular a soma exacta de muitas séries numéricas que sabemos serem convergentes não sabendo para que valor convergem.

IRxxxxr e r r

1

IRxxxxxr x r r sen cos

IRxxxxr x xxxxxr x r r

1sen
1

r x

1 cos
1

r x

2ln
1

r x r FEUP / MIEQ21Joana Peres / Análise Matemática I

Obtenção de novas séries de Taylor ou de Maclaurin por substituição a partir de séries conhecidas

Como as séries que deduzimos são identicamente iguais às correspondentes funções para todos os valores de xdentro do intervalo de convergência, é possível obter novas séries por substituição, desde que a série assim obtida seja ainda uma série de Taylor (ou de Maclaurin). O intervalo de convergência da nova sériepoderá ser deduzido entrando em linha de conta com a substituição efectuada e com o intervalo de convergência da série original.

)2()2(

2sen

IRxxxxxr x r r

IRxxxxxx r

IRxxxxx r e xxxxxr x r r

IRxxxxxr e xxxxxr x r r

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Série geométrica de razão x

A série de Maclaurinda função x é por definição a série seguinte:

0 1 x r r série geométrica de razão x só converge quando 1 <x e converge para x−1

][1 , 1,1

jou seja: 1 x r

Por exemplo:

1 , 1,1)1(

x r série geométrica alternada FEUP / MIEQ23Joana Peres / Análise Matemática I

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