11 - Séries de potências

11 - Séries de potências

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Análise Matemática I

Sériesde Potências

Joana Per esJoana Pe res MIEQ –2009/2010

FEUP / MIEQ1Joana Peres / Análise Matemática I

Séries de potências

Chamamos série de potências centrada no ponto x=a aqualquer “polinómio de grau infinito” de potências de (x–a), ou seja:

)( )( )(axcaxccaxc r r r

De finição em que a é um número real qualquer, e em que os coeficientes c0 , c1

,

formam uma sucessão qualquer {c r } de números reais.

A série de Taylor da função f (x)(centrada) no ponto x=a é um exemplo típico duma série de potências centrada no ponto x=a, cujos coeficientes são dados por:

af c

FEUP / MIEQ2Joana Peres / Análise Matemática I

Séries de potências Série de potências centrada na origem (isto é, no ponto x=0):

xcxccxc r r r

De finição em que a é um número real qualquer, e em que os coeficientes c0 , c1

,

formam uma sucessão qualquer {c r } de números reais.

A série de Maclaurinda função f (x)é um exemplo típico duma série de potências centrada na origem, cujos coeficientes são dados por:

f c

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Convergência de séries de potências

Te ore ma: só uma das três situações a)A série só converge quando x=a ; (neste caso converge para c 0 ) b)A série converge absolutamente ∀x∈IR

da série de potências, tal que esta converge absolutamente se

c)Existe um número real positivo R, chamado raio de convergência |x–a|< Re diverge se |x–a|> R.

axc Para uma série de potências seguintes é verdadeira:

jt d l d i

Raio de convergência R= ∞ Raio de convergência R= 0

Raio de convergência R div erge div er ge a con ver ge ab solut a men te a

Intervalo de convergência

co n junto dos valores de xpara os quais a série de potências converge con ver ge ab solut a men te div erge div er ge

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Determinação do raio de convergência de séries de potências Como vamos determinar o raio de convergência Rda série de potências? r axc

Aplicando o teste da razão (ou o teste da raiz) à série dos valores absolutos:

r axc

lim

Para a série ser absolutamente convergente )( r r r r r c c ax axc axc + lim

1lim 1

r r r r ax c c ax

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Determinação do raio de convergência de séries de potências

Comparando com a definição de raio de convergência (a série de potências converge absolutamente se |x–a|< R), concluímos que:

desde que

Para a série ser absolutamente convergente lim r c c ax lim

= lim r c seja finito e diferente de zero lim r c c dizemos que R= ∞ lim r c dizemos que R= 0 a série de potências só converge no ponto x= a a série de potências é absolutamente convergente em todo o eixo real

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Determinação do raio de convergência de séries de potências

Exemplo 1

Determinar o intervalo de convergência da série de potências centrada na orig em

Exemplo 2 r r x r

Determinar o intervalo de convergência da série de potências centrada na orig em r r x r

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Série binomial

Uma das séries mais importantes e úteis é asérie binomial (“descoberta” por Newton), que é a série de Maclaurinda função f (x) = (1 + x) α , com α ≠ 0:

Os coeficientes da série binomial podem ser obtidos da seguinte forma:

1)1(

r x r x

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