11 - Integrais Múltiplos

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Capítulo # 1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS 1.1 Integrais duplos em domínios rectangulares de IR2 1.2 Integrais duplos em domínios limitados arbitrários de IR2 1.3 Aplicações de integrais duplos 1.4 Integrais duplos em coordenadas polares 1.5 Superfícies paramétricas e área superficial 1.6 Integrais triplos em domínios limitados arbitrários de IR3 1.7 Aplicações de integrais triplos 1.8 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas 1.9 Integrais múltiplos impróprios 1.A Mudanças de variáveis e Jacobianos Capítulo # 1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS 1.1 Integrais duplos em domínios rectangulares de IR2 1.2 Integrais duplos em domínios limitados arbitrários de IR2 1.3 Aplicações de integrais duplos 1.4 Integrais duplos em coordenadas polares 1.5 Superfícies paramétricas e área superficial 1.6 Integrais triplos em domínios limitados arbitrários de IR3 1.7 Aplicações de integrais triplos 1.8 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas 1.9 Integrais múltiplos impróprios 1.A Mudanças de variáveis e Jacobianos

1.1 Integrais duplos em domínios rectangulares de IR2 1.1.1 Motivação geométrica na origem do integral duplo Um integral duplo, representado pelo símbolo

f(x,y) dA , é um integral de uma função de duas variáveis, que supomos definida e limitada em todos os pontos de um certo domínio limitado R ⊂ IR2. A motivação geométrica inicial que levou à definição do integral duplo foi a de calcular o volume de sólidos “cilíndricos” como o sólido T representado na figura seguinte, o qual é delimitado pelo gráfico de uma função contínua e não- -negativa f(x,y), definida num certo domínio limitado R ⊂ IR2:

T = {(x,y,z) ∈ IR3: (x,y) ∈ R ∧ 0 ≤ z ≤ f(x,y)} Contudo, como se verá ao longo do curso, as aplicações práticas dos integrais duplos excedem largamente esta simples motivação geométrica inicial.

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1.1.2 Definição do integral duplo em domínios rectangulares Começaremos por fazer a definição do integral duplo para o caso de o domínio R ter a forma mais simples possível: um rectângulo com os lados paralelos aos eixos coordenados no plano Oxy. Seja então f(x,y) uma função definida e limitada (isto é, sem descontinuidades infinitas) em todos os pontos do seguinte rectângulo compacto R ⊂ IR2: R = {(x,y) ∈ IR2: a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} Se efectuarmos uma partição arbitrária do intervalo [a,b] em m sub-intervalos (a = x0 < x1 << xm = b) e outra partição arbitrária do intervalo [c,d] em n sub-intervalos (c = y0 < y1 < ... < yn = d) resulta uma partição do rectângulo R em k = (m x n) sub-rectângulos Ri, designada por P = {Ri}, em que 1 ≤ i ≤ k:

2 Como medida do tamanho dos sub-rectângulos Ri da partição P, define-se a malha (ou norma) da partição, representada por |P|, como sendo comprimento da maior diagonal de todos os sub-rectângulos Ri que constituem a partição P.

Se escolhermos um ponto arbitrário de coordenadas (x i *, y i

*) associado a cada sub-rectângulo Ri, o conjunto S = {(x i

*, y i

*) ∈ Ri}, com 1 ≤ i ≤ k, é aquilo que chamamos uma selecção associada à partição P do rectângulo R. Se representarmos a área do sub-rectângulo Ri por ∆Ai, a soma de Riemann para a função f(x,y), associada com a partição P do rectângulo R e a selecção S escolhida para essa partição, é definida pelo seguinte somatório:

i *, y i

*) ∆Ai Interpretação geométrica de f(x i *, y i

*) ∆Ai: Se f(x i *, y i *) > 0, o produto f(x i *, y i

*) ∆Ai representa o volume de um paralelepípedo com área da base ∆Ai e altura f(x i

*, y i

*); se f(x i *, y i *) < 0, o produto f(x i *, y i

*) ∆Ai representa o simétrico do volume do mesmo paralelepípedo. Portanto, a soma de Riemann acima definida pode ser interpretada em termos geométricos como sendo a soma algébrica dos volumes dos paralelepípedos que são definidos pela partição P do rectângulo R e pela selecção S associada a P. Exemplo 1.1 Interpretação geométrica de uma soma de Riemann para a função f(x,y) = 4 + xy, definida na seguinte restrição de IR2 : R = {(x,y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}

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Foi feita uma partição regular 4 por 4 da região R, e foi escolhido o centro de cada um dos 16 quadrados assim obtidos para calcular o valor de f(x i *, y i

*) que aparece na soma de Riemann. Resulta daqui um conjunto de 16 paralelepípedos, todos com a mesma área da base (∆Ai = 0.25) e com alturas variáveis, representados na figura seguinte:

A soma de Riemann é, neste caso, numericamente igual à soma dos volumes dos 16 paralelepípedos, já que se tem f(x i *, y i

*) > 0, ∀i. Se existir o limite quando |P| → 0 da soma de Riemann para a função f(x,y), qualquer que seja a partição P do rectângulo R e a selecção S associada a P, diremos que a função f(x,y) é integrável no rectângulo R ⊂ IR2, e chamamos ao referido limite integral duplo de f(x,y) em R:

lim i *, y i

*) ∆Ai

A interpretação geométrica do integral duplo é uma consequência imediata desta definição e da interpretação geométrica das somas de Riemann: se f(x,y) ≥ 0 em R, o integral duplo representa o volume do sólido “paralelepipédico” delimitado pelo gráfico da função f(x,y) e pelo rectângulo R; se f(x,y) ≤ 0 em R, o integral duplo representa o simétrico do volume desse sólido; finalmente, se f(x,y) mudar de sinal em R, o integral duplo representa a diferença dos volumes da parte do sólido situada acima do plano Oxy e da parte do mesmo sólido situada abaixo do plano Oxy. Exemplo 1.2 Interpretação geométrica do integral duplo

(4 + xy) dA, em que R = {(x,y) ∈ IR2: 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}O valor numérico do integral duplo

(4 + xy) dA é igual ao volume do sólido “paralelepipédico” representado na figura seguinte, o qual é delimitado “em cima” pelo gráfico da função f(x,y) = 4 + xy, e “em baixo” pelo domínio rectangular R onde a função está definida, já que se tem f(x,y) ≥ 0, ∀(x,y) ∈ R :

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O problema de saber quais as funções que são integráveis num domínio rectangular R é um problema muito importante, cuja análise detalhada está fora do âmbito desta cadeira. Limitar-nos-emos assim a dar uma resposta parcial a este problema, sem a demonstrarmos: a continuidade de f(x,y) em R é uma condição suficiente (mas não necessária) para que exista o integral duplo dessa função em R1.1.3 Integrais parciais de funções de duas variáveis Seja f(x,y) uma função definida e limitada num rectângulo compacto R ⊂ IR2 com os lados paralelos aos eixos coordenados. Se integrarmos f(x,y) apenas com respeito a y entre c e d, mantendo x fixo num valor entre a e b, obtemos como resultado uma função de x, designada por G(x), que é chamada integral parcial de f(x,y) com respeito à variável y, por analogia com a derivada parcial

f(x,y) dy , em que a ≤ x ≤ b Se integrarmos f(x,y) apenas com respeito a x entre a e b, mantendo y fixo num valor entre c e d, este integral é uma função de y, designada por H(y), e chamada integral parcial de f(x,y) com respeito à variável x, por analogia com a derivada parcial

f(x,y) dx , em que c ≤ y ≤ d Se a função f(x,y) for não-negativa em R, as funções G(x) e H(y) representam a área de secções rectas do sólido paralelepipédico” delimitado pelo gráfico de f(x,y) e pelo rectângulo R, secções essas que são normais ao eixo Ox e ao eixo Oy, respectivamente:

Se f(x,y) ≥ 0, a área de uma secção recta normal a Ox é: G(x) = f(x,y) dy Se f(x,y) ≥ 0, a área de uma secção recta normal a Oy é: H(y) =

f(x,y) dx 1.1.4 Integrais iterados de funções de duas variáveis Um integral iterado de f(x,y) corresponde a fazer duas integrações sucessivas: primeiro, um integral parcial com respeito a uma das variáveis; em seguida, um integral da função resultante com respeito à outra variável. Assim, se a função G(x) = f(x,y) dy for integrável entre x = a e x = b, podemos definir o seguinte integral iterado de f(x,y) no rectângulo R:

f(x,y) dy c

∫ dx =

G(x) dx Analogamente, se a função H(y) = f(x,y) dx for integrável entre y = c e y = d, podemos definir outro integral iterado de f(x,y) no mesmo rectângulo R:

f(x,y) dx dy ≡ def. f(x,y) dx dy =

H(y) dy

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1.1.5 Cálculo de integrais duplos utilizando integrais iterados A importância fundamental dos integrais iterados que acabámos de definir é evidente do seguinte teorema: Teorema: Se f(x,y) for contínua num rectângulo R ⊂ IR2 cujos lados são paralelos aos eixos coordenados, então:

∫∫ f(x,y) dA = f(x,y) dy dx =

f(x,y) dx dy Ou seja, o cálculo do integral duplo de f(x,y) em R fica reduzido ao cálculo de um qualquer dos dois integrais iterados de f(x,y) em R, em que a ordem de integração utilizada para o efeito é teoricamente indiferente: podemos integrar primeiro com respeito a y e depois com respeito a x (simbolicamente, “dy dx”), ou então integrar primeiro com respeito a x e depois com respeito a y (simbolicamente, “dx dy”). Na prática, porém, acontece frequentemente que uma destas duas ordens de integração conduz a cálculos mais simples, e então essa deverá ser obviamente a ordem utilizada para calcular o integral duplo. Exemplo 1.3 Calcule o integral duplo

(4x3 + 6xy2) dA por dois processos diferentes, sabendo que R é o rectângulo seguinte: R = {(x,y) ∈ IR2: 1 ≤ x ≤ 3 ∧ – 2 ≤ y ≤ 1}• 1º Processo: integrar 1º com respeito a y e depois com respeito a x:

∫∫ (4x3 + 6xy2) dA =

(4x3 + 6xy2) dy dx =

dx = =

3x4 + 9x

3 = 312 • 2º Processo: integrar 1º com respeito a x e depois com respeito a y:

∫∫ (4x3 + 6xy2) dA = dy = =

80y + 8y 3

1 = 312 Convém referir aqui um caso particular do teorema acima enunciado, em que o integral duplo de f(x,y) em R é igual ao produto de dois integrais simples, sem que seja necessário calcular integrais iterados; isso acontece sempre que f(x,y) for o produto de uma função só de x por uma função só de y: Corolário: Se f(x,y) = f1(x) f2(y) for contínua num rectângulo R ⊂ IR2 com os lados paralelos aos eixos coordenados f(x,y) dA = f1 (x) dx

(y) dy

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