11 - Integrais Múltiplos

11 - Integrais Múltiplos

(Parte 4 de 5)

xdA ydA

É possível por vezes utilizar com vantagem o seguinte princípio de simetria: se a região plana R for simétrica com respeito à linha recta l, então o centro geométrico de R terá de estar situado obrigatoriamente sobre l:

Em particular, se R for simétrica com respeito à recta vertical x = a, então x = a; e se R for simétrica com respeito à recta horizontal y = b, então y = b.

1.3.4 Massa de uma lâmina de densidade variável Em linguagem corrente, uma lâmina é um objecto cuja espessura (ou altura) é desprezável quando comparada com as outras duas dimensões. Em linguagem matemática, uma lâmina é uma idealização deste conceito corrente, ou seja, é uma região plana bidimensional delimitada por uma (ou mais) curvas no plano Oxy, como a que é mostrada na figura anterior. Se uma lâmina R de massa m e área A for homogénea, a sua densidade de massa δ (ou “massa por unidade de área”) será simplesmente dada por δ = mA

Se a lâmina R não for homogénea, a sua densidade poderá variar de ponto para ponto, ou seja, poderá ser representada por meio de uma função δ(x,y). Se fizermos uma partição arbitrária da lâmina, a massa mi de uma pequena porção de área ∆Ai será dada aproximadamente por mi ≈ δ(x

*, y i

*) ∆Ai . Formando a soma de Riemann correspondente, e passando ao limite quando ∆Ai →

0, obtém-se o integral duplo que nos dá o valor exacto da massa da lâmina R: m(R) =

δ(x,y) dA Exemplo 1.10 (i) Calcule as coordenadas do centro geométrico duma lâmina delimitada pelo gráfico de y = cos x e pelo eixo Ox, entre x = – π/2 e x = π/2. (i) Se a densidade de massa desta lâmina for representada pela função δ(x,y) = 1 + y, calcule a massa da lâmina e a sua densidade média.

CAPÍTULO # 1: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS _

(i) Coordenadas do centro geométrico: Em virtude da simetria com respeito ao eixo Oy (x = 0), podemos afirmar imediatamente que x = 0. Para obtermos y , iremos considerar que R é uma região y-simples, descrita da seguinte forma: R = {(x,y) ∈ IR2: – π/2 ≤ x ≤ π/2 ∧ 0 ≤ y ≤ cos x}

∫∫ dA = cos x dy dx =

∫∫ y dA = cos x y dy dx =

y=cosx dx = = 1/2 cos2 x dx = 1/4

(1 + cos 2x) dx = π/4 Portanto, dA )

= π/8, e as coordenadas do centro geométrico da região R acima representada são (0, π/8). (i) Massa da lâmina e densidade média: m(R) =

∫∫ (1 + y) dA = cos x

y=cosx dx =

(cos x + 1/2 cos2 x) dx = =

(cos x + 1/4 + 1/4 cos 2x) dx = 2 + π/4. A densidade média da lâmina R é igual à massa m(R) a dividir pela área A(R):

= 1 + π/8Problemas propostos / Secção 1.3 1. Utilize um integral duplo para calcular o volume dos sólidos indicados:

(a) O tetraedro situado no primeiro octante que é delimitado pelos três planos coordenados e pelo plano z = 5 – 2x – y; (b) O sólido situado no primeiro octante que é delimitado pelos planos x = 0, z = 0, x = 5, z = y e z + 2y = 6; (c) O sólido delimitado pelas superfícies y2 = x, z = 0 e x + z = 1;

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(d) O sólido delimitado pelas superfícies z = 1 + x2 + + y2 e z = 0, sendo o domínio de integração em Oxy delimitado pelas curvas y = x e y = 2 – x2; (e) O sólido delimitado pelo parabolóide z = 1 – x2 – – y2 e pelo plano z = 0; (f) O sólido situado no primeiro octante que é delimitado pelos cilindros circulares x2 + y2 = 25 e x2 + z2 = 252. Utilize um integral duplo para calcular a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas dadas: (a) y = x2 + 1 e y = 2x2 – 3; (b) y = x2 e y =

; (c) y = sen x e y = cos x, se 0 ≤ x ≤ π/4; (d) y = cosh x e y = senh x, se 0 ≤ x ≤ 1.

3. Em cada caso, calcule as coordenadas ( x , y ) do centro geométrico da região plana delimitada pelas curvas dadas: (a) x = 0, y = 0 e x + 2y = 4; (b) y = 0, y = x2 e x = 2; (c) x = 3y2 – 6y e x = 2y – y2; (d) y = 0 e y = sen x, no intervalo 0 ≤ x ≤ π. 4. Em cada caso, calcule a massa da lâmina delimitada pelas curvas dadas, com densidade de massa δ(x,y): (a) y = 0, x = 1 e y = x, com δ(x,y) = x + y; (b) y = sen x e y = 0 entre x = 0 e x = π, com δ(x,y) = y. Soluções dos problemas propostos / Secção 1.3 1. (a) 12512

2. (a)
3. (a)

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π4 .

1.4 INTEGRAIS DUPLOS EM COORDENADAS POLARES _

1.4 Integrais duplos em coordenadas polares 1.4.1 Integrais duplos em “rectângulos” polares Certos integrais duplos são mais facilmente calculados—ou, em certos casos, só podem ser calculados—se se fizer uma mudança de variáveis de coordenadas rectangulares para coordenadas polares, utilizando as conhecidas relações: x = r cos θ y = r sen θ

A situação mais simples em que isto pode acontecer ocorre quando o domínio de integração R é um “rectângulo” polar, isto é, um domínio do plano Oxy que se transforma num rectângulo quando mudamos de coordenadas rectangulares para coordenadas polares:

R = {(x,y) ∈ IR2: a ≤ r ≤ b ∧ α ≤ θ ≤ β, com β – α ≤ 2π} Se a = 0, o “rectângulo” polar será um sector circular; se 0 < a < b, com α = 0 e β = 2π, o “rectângulo” polar será um anel circular.

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Sabendo da geometria elementar que a área de um sector circular de raio r e ângulo-ao-centro ∆θ é igual a 12 r2 ∆θ, podemos calcular a área do “rectângulo” polar acima representado como diferença das áreas de dois sectores circulares: A(R) =

(b + a), ∆r = b – a e ∆θ = β – α. Para calcularmos o integral duplo

f(x,y) dA, em que R é o “rectângulo” polar acima referido, começamos por fazer uma partição do intervalo [a,b] em m sub-intervalos de comprimento ∆r = (b – a)/m: a = r0 < r1 < …… < rm–1 < rm = b e depois uma partição do intervalo [α,β] em n sub-intervalos de comprimento ∆θ = (β – α)/n: α = θ0 < θ1 < …… < θn–1 < θn = β.

1.4 INTEGRAIS DUPLOS EM COORDENADAS POLARES _

Fica assim definida uma partição polar P do “rectângulo” polar R em k = m x n “sub-rectângulos” polares {Ri}, em que a malha ou norma |P| desta partição é o comprimento da maior diagonal de todos esses “sub-rectângulos”. Em seguida, escolhemos o ponto central de cada “sub-rectângulo” Ri, de coordenadas polares (r i *, θ i *), em que r i * e θ i

* representam os valores médios das coordenadas radial e angular no “sub-rectângulo” Ri (ver figura anterior). A soma de Riemann para a função f(x,y) associada com a partição polar P do “rectângulo” polar R é então dada pelo somatório

i *, y i

*) ∆Ai em que ∆Ai = r i

* ∆r ∆θ é a área do “sub-rectângulo” polar Ri. Se agora substituirmos x i * por (r i * cos θ i *) e y i * por (r i * sen θ i

*), esta soma de Riemann ficará expressa apenas em coordenadas polares:

i *) ∆Ai = i * cos θ i *, r i * sen θ i *) r i

* ∆r ∆θPassando agora ao limite quando a norma da partição polar P tende para zero, o que implica que ∆r e ∆θ tendem para zero, obtém-se a importante fórmula que nos permite calcular o integral duplo de f(x,y) no “rectângulo” polar R como um integral iterado em coordenadas polares:

∫∫ f(x,y) dA =

f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ Note-se que, além de substituirmos x = r cos θ e y = r sen θ na função f(x,y), temos de multiplicar este resultado por r antes de integrar. Portanto, vamos de facto integrar uma nova função, que é g(r, θ) = f(r cos θ, r sen θ) r.

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Note-se também que a ordem de integração no integral iterado acima escrito poderá ser trocada, se isso for mais conveniente em termos de cálculo, ou seja:

∫∫ f(x,y) dA =

f(r cos θ, r sen θ) r dθ dr Se o domínio R for um “rectângulo” polar e se, adicionalmente, a função g(r, θ) puder ser escrita como produto de uma função só de r por uma função só de θ, o integral iterado em coordenadas polares acima escrito transforma-se no produto de dois integrais simples: g(r, θ) = f(r cos θ, r sen θ) r = g1(r) g2(θ) ⇒ ⇒

1.4.2 Integrais duplos em regiões r-simples Se o domínio de integração R não for um “rectângulo” polar, ainda é possível nalguns casos escrever o integral duplo

f(x,y) dA como sendo um integral iterado em coordenadas polares, se utilizarmos o conceito mais geral de partição polar interna do domínio R, analogamente ao que fizemos atrás quando definimos integrais duplos em domínios limitados arbitrários de IR2. A única situação de importância prática que convém conhecer corresponde a termos uma região R ⊂ IR2 que pode ser descrita da seguinte forma: R = {(x,y) ∈ IR2: α ≤ θ ≤ β ∧ r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ), com β – α ≤ 2π} em que, por hipótese, r1(θ) e r2(θ) são funções contínuas em [α,β].

1.4 INTEGRAIS DUPLOS EM COORDENADAS POLARES _

Uma região do plano Oxy que pode ser descrita desta maneira diz-se uma região r-simples, ou radialmente simples. Repare-se que todos os “raios” (isto é, semi-rectas) que partem da origem e que intersectam R têm um único ponto de entrada e um único ponto de saída do domínio, que poderão eventualmente ser coincidentes (se r1(θ) = r2(θ)):

Neste caso, o integral duplo poderá ser calculado utilizando um integral iterado em coordenadas polares, em que integramos primeiro com respeito a r entre limites variáveis, e depois com respeito a θ:

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