Ângulos e Vetores

Ângulos e Vetores

2 DIEGO SANTOS GUIMARÃES

Trabalho apresentado no curso de Engenharia Civil da Universidade Federal da Bahia como parte da avaliação da disciplina MAT A01 – Geometria Analítica.

Orientadora: Prof.ª Ana Cláudia Anton Sokolonski

3 1. APRESENTAÇÃO

A história da matemática raramente apresenta eventos bombásticos. As formulações inicialmente delicadas e difusas percorrem um espinhoso trajeto até atingir a magnitude de seu desenvolvimento.

O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro flamengo Simon Stevin - o

"Arquimedes holandês". Em1586 apresentou em sua Estática e Hidrostática (Venturi, 1949), o problema da composição de forças e enunciou uma regra empírica para se achar a soma de duas forças aplicadas num mesmo ponto. Tal regra, a conhecemos hoje como regra do paralelogramo.

Os vetores aparecem considerados como "linhas dirigidas" na obra Ensaio Sobre a

Representação da Direção publicada em1797 por Gaspar Wessel, matemático dinamarquês. A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX com os trabalhos do irlandês William Hamilton (notavelmente precoce: aos cinco anos lia grego, latim e hebraico), do alemão Hermann Grassmann e do físico norte-americano Josiah Gibbs (Venturi, 1949).

2. INTRODUÇÃO

2.1. SEGMENTO ORIENTADO

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos. O primeiro é chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B é representado por AB.

2.1.1. DIREÇÃO E SENTIDO DO SEGMENTO ORIENTADO

Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se, as retas suportes desses segmentos, são paralelas ou coincidentes.

Retas paralelas: segmentos com mesma direção e sentido

Retas paralelas: segmentos com mesma direção e sentido contrário

Retas coincidentes: segmentos com mesma direção e sentido

Retas coincidentes: segmentos com mesma direção e sentido contrário

2.1.2. GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS

Certas grandezas ficam determinadas apenas por um número real, acompanhado pela unidade correspondente. Tais grandezas são chamadas de escalares. Outras grandezas necessitam além do número real, também de uma direção e de um sentido. São as grandezas vetoriais.

3. VETORES i. Vetores são grandezas que, para serem identificadas, precisam do módulo, da direção e do sentido. Assim, um vetor tem três características: módulo, direção e sentido. a. A direção é dada pela reta que contém o segmento. b. O sentido é dado pelo sentido do movimento do segmento. c. O módulo é o comprimento do segmento. Indicamos por duas barras verticais: |v| (Lê-se: módulo de v) i. Vetor é um conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a um segmento AB, ou seja, com mesma direção, comprimento e sentido.

Os vetores u e v são iguais (equipolentes1 ) e representam um mesmo vetor. O mesmo ocorre para os vetores x e w. Diferente dos vetores s, t e m, n. Todos têm o mesmo comprimento, mas não tem a mesma direção e sentido.

1 Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. (Venturi, 1949)

4. PRODUTOS

4.1. PRODUTO ESCALAR

aplicação de V x V em R, que a todo par de vetores ⃗ԑ V x V, associa um número real
ou ⃗ (lê-se: u escalar v) e que satisfazem os seguintes sentenças:
i. ⃗⃗ ;
i. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ;
i⃗ ⃗ para todo número real k;
iv. ⃗⃗⃗⃗ ⃗ se, e somente se, .
Assim, para os vetores ⃗ e ⃗⃗⃗ de R2:, denomina-se produto
escalar o número real ⃗ou ⃗ definido por:
⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (lê-se: u escalar v)
Exemplo 1: Se ⃗⃗⃗então o produto escalar de ⃗ com é igual
a 5 porque fazendo ⃗temos:
⃗⃗⃗⃗

Define-se como Produto Escalar entre vetores de um Espaço Vetorial V, a uma

4.2. PRODUTO VETORIAL

vetores ⃗ ee se representa por ⃗ ao vetor,
⃗⃗⃗⃗ [

O produto vetorial tem como resultado um vetor, por isso é nomeado de produto vetorial. Dados dois vetores ⃗ e , tomados nesta ordem, chama-se produto vetorial dos ⃗⃗ ]

i. ⃗, se um dos vetores é nulo ou se ⃗ e ⃗⃗⃗ são colineares.
i. ⃗⃗ .
i. ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
iv. ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
v⃗⃗ ⃗⃗
i. ⃗⃗⃗⃗ , é ortogonal simultaneamente aos vetores ⃗ .
Exemplo 2: Sejam os vetores de R3, ⃗e , então
⃗⃗⃗⃗ [

4.3. PRODUTO MIXTO

O produto misto tem como resultado um escalar, obtido a partir da utilização do produto escalar e do produto vetorial. Pode ser utilizado, por exemplo, para encontrar o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores.

Definição 1: Sejam ⃗e ⃗⃗ , vetores do espaço, com ⃗⃗⃗
e ⃗⃗Define-se como produto misto de ⃗ e ⃗⃗ , indica-se por
⃗⃗ ao escalar resultante de:
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (
Definição 2: Dados os vetores ⃗e ⃗⃗ , tomados nesta ordem, chama-se produto

misto dos vetores ⃗ e ⃗⃗ ao número real ⃗ ⃗⃗ . Indica-se produto misto por ⃗ ⃗⃗

i. Se ⃗ é nulo as suas componentes são (0,0,0 ) então ⃗⃗⃗ ;
i. Se nem ⃗ , nem , nem ⃗⃗ são nulos, mas ⃗⃗⃗⃗ são colineares (ou paralelos)
então ⃗⃗⃗ ;
paralelos) então os vetores são coplanares se ⃗⃗⃗
Exemplo 3: Calcular o produto misto dos vetores para ⃗e ⃗⃗ para ⃗⃗⃗
⃗ ,⃗ e ⃗⃗ ⃗ .
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (
)
Exemplo 4: Calcular o produto misto dos vetores ⃗⃗⃗, e
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (

Propriedades: i. Se nenhum vetor é nulo e os vetores não são dois a dois colineares (ou )

5. ÂNGULOS E VETORES: PARALELISMO E ORTOGONALIDADE

O produto escalar entre os vetores ⃗pode ser escrito na forma ⃗⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗ || ⃗⃗ |·, onde α é o ângulo formado pelas semirretas que
contém ⃗tal que 0 ≤ v ≤ 180º.

5.1. ÂNGULO DE DOIS VETORES

o ângulo entre dois vetores genéricos ⃗, não nulos, fazendo:

A partir desta definição de produto escalar, podemos obter

| ⃗⃗ | | ⃗⃗ | Após encontrar o valor do cos α, encontramos o ângulo α na tabela de cossenos.

Sejam os vetores ⃗abaixo e a o ângulo entre eles

Demonstração:

Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC tem:

Lembrando que Então, comparando as duas equações têm:

Portanto

a. Se⃗⃗ ⃗⃗ têm a mesma

Proposições: direção e sentidos contrários;

b. Se⃗ têm a mesma

direção e mesmo sentido;

c. Se
⃗⃗⃗⃗ são ortogonais.

Neste caso o Δ OBC permite escrever: (teorema de Pitágoras)

e. Se ⃗ é ortogonal ae m é um número real qualquer, ⃗ é ortogonal a .
f. O ângulo formado pelos vetores ⃗é o suplemento do ângulo de ⃗ .
Exemplo 1: Se ⃗e então o ângulo β entre os vetores ⃗

d. O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. é de 45°.

1 Verificando:

Exemplo 2: Calcular o ângulo entre os vetores ⃗

Resolução:

Exemplo 3: Sabendo que o vetorforma um ângulo de 60° com o vetor

⃗⃗⃗⃗⃗ determinado pelos pontos A (3,1,-2) e B (4,0,m), calcular m. Resolução:

Exemplo 4: Determinar os ângulos internos do triangulo ABC, sendo A (3,-3,3); B (2, -1, 2) e C ( 1, 0, 2) e seus lados são respectivamente AC, AB e BC. Resolução: Calcular cos A, cos B e Cos C.

5.2. DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR V = P(X,Y)

A decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo do vetor resultante.

Observe a sequência de ações nas figuras (a), (b) e (c). (a) Consideremos o vetor v = P(x,y) nomeado de F sendo F o vetor força e a o ângulo entre F e o eixo x. (b) Vamos decompor o vetor F em outros dois vetores Fx e Fy. (c) Agora, vamos trocar o vetor Fy de posição para formarmos um triângulo retângulo.

13 Note que, para determinar o valor de Fx e Fy basta resolvermos o triângulo retângulo.

Portanto:

Seja o vetor⃗ :
i. Ângulos diretores desão os ângulos α, β, ɤ que forma com os vetores

5.3. ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR

⃗ respectivamente. i. Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores isto é, cos α, cos β, cos ɤ. Para o cálculo dos cossenos diretores, utilizamos a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Demonstração: seja ⃗⃗⃗, , e ⃗

então:

Exemplo 5: Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor

. Resolução:

Exemplo 6: Dados os pontos A (2, 2, -3) e B (3, 1, -3). Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ . Resolução:

Dois vetores ⃗e são paralelos (ou

5.4. PARALELISMO DE DOIS VETORES colineares) indica-se u//v quando suas coordenadas são proporcionais ou seja:

Os vetores paralelos têm a mesma direção, independe do sentido. Note que u // v // w.

Exemplo 6: Considere ⃗, . Verifique se são vetores

paralelos.

Resolução: Por definição Fazendo

obtemos:

Note que as componentes são proporcionais porque a razão entre elas é⁄.
Assim, ⃗são vetores paralelos.
Dois vetores ⃗são ortogonais (ou

5.5. ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES perpendiculares), quando o ângulo ß por eles formado é de 90° (ângulo reto). Neste caso, cos ß= cos 90° = 0, o que implica, pela fórmula do cálculo de ângulos de vetores, que

o produto interno usual entre eles é zero, ou seja, ⃗⃗ ⃗⃗

Podemos afirmar também que

Exemplo 7: Considere ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . Verifique se os

vetores, dois a dois, são ortogonais. Resolução:

, logo são ortogonais;
⃗ ⃗⃗, logo são ortogonais;

⃗⃗ , logo não são ortogonais.

16 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

KAPLAN, Wilfred; LEWIS, Donald J. Cálculo e Álgebra Linear. RJ: LTC, 1975

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Makron Books,

1987. 581 p. VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. Curitiba

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. SP: Makron Books, 2000

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