Livro - Teoria dos Circuitos Elétricos

Livro - Teoria dos Circuitos Elétricos

(Parte 1 de 8)

Teoria de Circuitos Eletricos Versao 0.2

Prof. Paulo Sergio da Motta Pires

Laboratorio de Engenharia de Computacao e Automacao

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal-RN, Setembro de 2000

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versao 0.2 i

Resumo

Apresentamos uma versao preliminar e incompleta das Notas de Aula utilizadas no curso de ELE431 - Teoria de Circuitos que ministramos na UFRN para os alunos de graduacao em Engenharia de Computacao.

A versao mais recente deste documento esta disponıvel, no formato pdf, em http:\\w. leca.ufrn.br\~pmotta. Comentarios e sugestoes podem ser enviados para pmotta@leca. ufrn.br

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versao 0.2 i

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Evolucao : 1. Setembro de 2000 - inıcio, com a Versao 0.1

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Sumario

1.1 Introducao1
1.2 Sistemas2
1.3 Funcoes Singulares3
1.3.1 Funcao Degrau Unitario3
1.3.2 Funcao Sinal5
1.3.3 Funcao Rampa Unitaria6
1.3.4 Funcao Impulso Unitario6
1.3.5 Propriedades da Funcao δ(t)6
1.4 Transformadas de Laplace7
1.4.1 Propriedades da Transformada de Laplace8
1.5 Transformada de Laplace de Funcoes Periodicas1
1.6 Transformada Inversa de Laplace1
1.7 Expansao em Fracoes Parciais12
1.7.1 Raızes Reais Distintas12
1.7.2 Raızes Multiplas13
1.7.3 Raızes Complexas Simples15
1.8 Teorema do Valor Inicial16
1.9 Teorema do Valor Final16
1.10 Diagrama de Polos e Zeros16
2.1 Introducao19
2.2 Componentes de Circuitos Eletricos19
2.3 Metodo das Malhas20
2.4 Metodo dos Nos27

2 Metodos para Analise de Circuitos 19

3.1 Introducao34
3.2 Circuitos de Primeira Ordem34
3.3 Circuitos em Regime Permanente36
3.4 Circuitos Transformados38
3.5 Elementos de Circuito no Domınio da Frequencia38

3 Analise de Circuitos Transformados 34 i

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versao 0.2 iv

4.1 Introducao43
4.2 A Funcao H(s)43
4.3 Resposta ao Impulso4
4.4 Resposta ao Degrau45
4.5 Resposta a Rampa46
4.6 Integral de Convolucao46

4 Funcao de Transferencia 43

5.1 Introducao47
5.2 Curvas de Bode49
5.2.1 H(s) com termo constante50
5.2.2 H(s) com termo s51
5.2.3 H(s) com termo 1 + τs52
5.2.4 H(s) com termo s2 + as + b54
5.2.5 Frequencia de Ressonancia56
6.1 Introducao57
6.2 A Serie Trigonometrica de Fourier58
6.3 Translacao de Graficos61

6 Serie de Fourier em Analise de Circuitos 57

7.1 Introducao64
7.2 Parametros Z64
7.3 Parametros Y6

7 Quadripolos 64 A Transformadas de Laplace - Resumo 67

1.1 Representacao de um circuito eletrico1
1.2 Caracterısticas de sistemas lineares2
1.3 A funcao degrau unitario3
1.4 A funcao degrau unitario deslocada de a > 03
1.5 Escalonamento da funcao degrau e da funcao degrau deslocada4
degrau4
1.7 Onda quadrada5
1.8 A funcao sinal5
1.9 A funcao rampa unitaria6
1.10 A funcao rampa unitaria deslocada6
1.1 A funcao delta7
1.12 Exemplo para deslocamento real1
1.13 Diagrama de polos e zeros17
1.14 Diagrama de polos e zeros18
2.1 Componentes de circuitos eletricos19
2.2 Polaridades20
2.3 Um circuito eletrico20
2.4 Correntes de malha21
2.5 Obtencao das equacoes de malha23
2.6 Obtencao das equacoes de malha24
2.7 Obtencao das correntes de malha25
2.8 Obtencao da corrente sobre o resistor de 10Ω26
2.9 Analise pelo metodo dos nos28
2.10 Analise pelo metodo dos nos29
2.1 Obtencao do valor da corrente i30
2.12 Obtencao dos valores das tensoes v1, v2 e v330
2.13 Obtencao dos valores das tensoes - fonte controlada32
3.1 Circuito RC34
3.2 Circuito RL35
3.3 Respostas no domınio do tempo36
3.4 Regime permanente37
3.5 Capacitor em aberto e indutor em curto37
3.6 Circuito apos a chave ter sido aberta38
3.7 Analise de circuitos no domınio da frequencia38

Lista de Figuras 1.6 A funcao pulso quadrado construıda a partir da combinacao de funcoes v

3.8 Representacao do resistor no domınio da frequencia39
3.9 Representacoes do indutor no domınio da frequencia40
3.10 Representacoes do capacitor no domınio da frequencia41
3.1 Tensao v(t) sobre o indutor41
3.12 Corrente i(t) sobre o capacitor42
4.1 Funcao de transferencia H(s)43
4.2 Funcao de transferencia H(s)4
4.3 Resposta ao impulso45
4.4 Resposta ao degrau45
5.1 Sistema linear invariante no tempo47
5.2 Circuito RC49
5.3 Resposta em frequencia para H(jω) = k50
5.4 Resposta em frequencia para H(jω) = jω51

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versao 0.2 vi

52
5.6 Resposta em frequencia para H(jω) = 1 + jωτ53
1+jωτ54
5.8 Resposta em frequencia para H(jω) =5
5.9 Resposta em frequencia para H(jω) =5
6.1 Decomposicao de um sinal por Fourier58
6.2 Onda quadrada60
6.3 Onda quadrada deslocada em relacao a onda do Exemplo anterior61
6.4 Obter a tensao v0(t)62
7.1 Quadripolo com grandezas associadas64
7.2 Quadripolo165

Capıtulo 1 Conceitos

1.1 Introducao

Apresentamos algumas definicoes e a fundamentacao matematica necessaria para analisar circuitos eletricos no domınio da frequencia. Neste capıtulo, os circuitos eletricos sao tratados pelo termo mais abrangente de sistemas e sao representados sem a preocupacao de caracterizar seus componentes. Na Figura 1.1, e mostrado, entao, um circuito eletrico.

e(t)r(t)SISTEMA

(Circuito Elétrico)E(s)R(s)

Figura 1.1: Representacao de um circuito eletrico

A excitacao, ou entrada, de um circuito pode ser feita atraves de uma fonte de corrente ou de uma fonte de tensao e a resposta, ou saıda, pode ser apresentada em termos do comportamento da corrente ou da tensao em um ou mais elementos do circuito. No domınio do tempo, a excitacao e a resposta sao representados, respec- tivamente, por e(t) e r(t). No domınio da frequencia, a excitacao e representada por E(s) e a resposta por R(s). Como iremos verificar, a passagem de um domınio para outro e possıvel atraves da utilizacao da transformada de Laplace.

Por convencao, iremos adotar letras minusculas para denotar grandezas no domınio do tempo e letras maiusculas para denotar grandezas no domınio da fre- quencia. Em analise de circuitos, sao conhecidas a excitacao e o circuito. O objetivo e encontrar a resposta. Em sıntese de circuitos, sao conhecidas a excitacao e a resposta. O objetivo, neste caso, e obter o circuito.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versao 0.2 2

1.2 Sistemas

Algumas definicoes para sistemas :

• Sistemas Lineares - Sao sistemas para os quais vale o princıpio da superposicao.

Segundo este princıpio, se e1(t),r1(t) e e2(t),r2(t) sao dois pares diferentes de excitacao/resposta para um determinado sistema, a excitacao deste sistema

nalidade. Neste caso, se C1e(t) for a excitacao, com C1 constante, a resposta sera C1r(t). Diz-se que o sistema, neste caso, preserva a constante de proporcionalidade. Outra caracterıstica dos sistemas lineares : a excitacao e a correspondente resposta estao relacionadas por uma equacao diferencial linear.

C e (t)C r (t)1 1 1 1C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)
C e (t)C r (t)2 2 2 2
C e (t) + C e (t)C r (t) + C r (t)1 1 2 2 1 1 2 2

Figura 1.2: Caracterısticas de sistemas lineares

• Sistemas Passivos - Sao sistemas compostos por elementos que nao introduzem energia.

• Sistemas Recıprocos - Sao sistemas para os quais o relacionamento entre a excitacao e a resposta permanece o mesmo quando seus pontos de medida sao trocados.

• Sistemas Causais - Sao sistemas para os quais a resposta e nao-antecipatoria, isto e, sao sistemas para os quais se e(t) = 0 para t < T entao r(t) = 0 para t < T. So existira resposta se uma excitacao for aplicada.

• Sistemas Invariantes no Tempo - Sao sistemas para os quais se a excitacao e(t) da como resposta r(t), uma excitacao deslocada, e(t ± T) dara uma resposta deslocada r(t ± T).

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1.3 Funcoes Singulares

Funcoes singulares sao funcoes que apresentam algum tipo de descontinuidade.

Iremos analisar as funcoes singulares de maior interesse para a area de circuitos eletricos.

1.3.1 Funcao Degrau Unitario A funcao degrau unitario, u(t), e definida atraves da relacao :

O grafico e mostrado na Figura 1.3 u(t)

Figura 1.3: A funcao degrau unitario

A funcao degrau unitario deslocada e mostrada na Figura 1.4. u(t − a)

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