Sistema linear homogêneo

Sistema linear homogêneo

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO:

Sistema linear homogêneo é aquele em que os termos independentes de todas as equações são nulos.

De modo que o sistema abaixo é um exemplo geral de um sistema linear homogêneo:

É bom lembrar que um sistema linear homogêneo sempre admite a solução trivial, ou seja, que todas as incógnitas podem ser nulas. Em uma definição mais formal podemos dizer que:

Ou seja, se for determinado admitirá apenas a solução nula. Se o sistema for indeterminado apresentará além da solução nula, outras soluções não nulas, que são chamadas de soluções próprias.

Enfatizaremos esse aspecto teórico através de exercícios resolvidos.

  • Exercícios Resolvidos:

1.Resolva o sistema:

O primeiro passo para a resolução do sistema é escaloná-lo. Para isso precisamos encontrar a matriz A dos coeficientes:

Enfim, encontramos a matriz escalonada. Agora temos a seguinte solução:

O que equivale a escrever:

,

Acabamos por encontrar uma solução trivial do tipo x = y = z = 0.

  • Observação Importante:

No exemplo anterior o sistema linear pode ser resolvido usando-se apenas a propriedade que diz que se um sistema linear homogêneo é possível, então ele só admite a solução trivial (a solução nula). Esse caso ocorre quando o determinante da matriz dos coeficientes é não nulo (det (A) ≠ 0). Caso contrário, det(A) = 0, então ele admitirá infinitas soluções não nulas, soluções próprias.

Então, como o sistema referido no exemplo anterior é homogêneo, basta verificar o valor do determinante da matriz.

= 35

Como det(A) ≠ 0, então o sistema só admite a solução x=y=z=0, já que o sistema é homogêneo.

Exemplo 2:

Resolva o sistema linear homogêneo abaixo:

A matriz dos coeficientes é

A =

Observe que det(A) = 0, logo o sistema admite infinitas soluções, pois é indeterminado. E acabamos por encontrar y = 2x, o que justifica a afirmativa de que o sistema possui infinitas soluções. Veja que o par de solução (x , y) pode ser reescrito como ( x , 2x), e ainda como x( 1 , 2 ). Podemos escolher qualquer real de x que encontraremos uma solução conveniente.

BALANCEAMENTO DE REAÇÕES QUÍMICAS E SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

Veremos ao final desta seção que podemos balancear uma equação química através da Lei de conservação da massa em uma reação química. É bom que se observe que chegaremos á conclusão de que o sistema encontrado será um sistema homogêneo. Veja alguns exemplos que justificam a importância deste tópico:

Começaremos por uma equação conhecida por todos, a formação de água a partir de H2 e O2.

  1. H2 + O2 H2O

Para começarmos, devemos “dar nomes” ao que queremos encontrar. O objetivo é encontrar os coeficientes que balanceiam a equação. Então podemos reescrever a equação com as incógnitas que representam os coeficientes que queremos encontrar.

x.H2 + y.O2 z.H2O

Observe que a quantidade de hidrogênio e oxigênio deve permanecer inalterada após o término da reação. Atente para o fato de que x.H2 significa que possui uma quantidade igual a 2.x mols de H no lado esquerdo e 2.z mols de H no lado esquerdo. Procedendo dessa maneira podemos fazer a seguinte associação:

para o H: 2x = 2z ⟹ x – z = 0

para o O: 2y = z ⟹ 2y – z = 0

Vejamos como fica o sistema linear ( observe que ele é realmente homogêneo):

Quando resolvemos o sistema encontramos x = z e y = . Perceba que encontramos x e y em função de z. Isso faz realmente sentido a partir do momento que se pensa que a quantidade de reagente colocada em uma reação química é uma escolha. Encontramos que x = 2y, o que indica que a quantidade de oxigênio e hidrogênio têm que ser compatíveis na proporção 2:1. Veja que a quantidade de produto formado, z, depende exclusivamente da quantidade de reagente, x e y, introduzidos.

Podemos “chutar” valores pra x (H2), por exemplo, x = 12mols, então y = 6 mols. A quantidade de z (H2O) formada será igual a 12 mols.

b) Agora passaremos para uma reação química que exigirá um pouco mais de esforço:

(NH4)2CO3  NH3 + H2O + CO2

O primeiro passo para montarmos o sistema linear é dar nome aos coeficientes que estamos interessados em encontrar. Vamos chamá-los de x, y, z e t.

x. (NH4)2CO3  y.NH3 + z.H2O + t.CO2

Observe que, de acordo com o que fora descrito anteriormente, a quantidade de cada elemento deve permanecer a mesma quando se comparam ambos os lados. Considerando a conservação da quantidade de átomos para o N, H, C e O podemos montar o seguinte esquema:

Para o N: 2x = y ⟹ 2x – y = 0

Para o H: 8x = 3y + 2z ⟹ 8x – 3y -2z = 0

Para o C: x = t ⟹ x – t =0

Para o O: 3x = z + 2t ⟹ 3x – z – 2t = 0

O que resulta no seguinte sistema homogêneo:

Usando o método anterior para a solução desse sistema encontramos que:

y = 2x;

z = x;

t = x;

Agora x é o termo que “controla” as outras variáveis. Isso confirma que o sistema possui infinitas soluções (podemos realizar reações químicas com qualquer valor de x). Façamos x = 2mols, como consequência y = 4mols, z = t = 2mol. A reação seria balanceada da seguinte maneira quando x = 2 mols, por exemplo.

2. (NH4)2CO3  4.NH3 + 2.H2O + 2.CO2

Fica como desafio tentar mostrar que o determinante da matriz dos coeficientes é nulo e, como consequência,verificar a afirmativa anterior.

EXERCÍCIOS:

1)Balancei as reações químicas escolhendo o valor 1 para o termo independente:

(a) H2 + O2  H2O2

(b) N2O5  NO2 + O2

Resposta:

Exercício (1)

(a) 1H2 + 1O2  H2O2

(b) 2N2O5  4NO2 +1 O2

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO:

Para a fixação da teoria anterior sobre sistema linear homogêneo, vamos fazer a discussão de alguns sistemas lineares homogêneos.

Exemplo (1)

Discuta, em função do parâmetro a, o sistema linear homogêneo abaixo:

Usando a regra de Sarrus, temos:

,

O que resulta em:

10 - 12 - 6a = - 16 + a – 45 ⟹ det (A ) = 59 + 7a

59+7*a

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