Matemática Financeira-aula 5

Matemática Financeira-aula 5

(Parte 1 de 2)

i i i

Aula

DESCONTO NA CAPITALIZAC AO COMPOSTA 5

O b j e t i v o s Ao final desta aula, voce devera ser capaz de:

1 entender os conceitos envolvendo o desconto “por dentro” ou racional e o desconto “por fora” ou comercial na capitalizacao composta;

2 interpretar e resolver os problemas propostos.

i i i

Matematica Financeira | Desconto na Capitalizacao Composta DESCONTONA CAPITALIZAC AO COMPOSTA

Exemplo 5.1 a. Antecipando em dois meses o pagamento de um tıtulo, obtive um desconto racional composto que foi calculado com base na taxa de 4% ao mes. Sendo R$ 5.408,0 o valor nominal do tıtulo, quanto pagarei por ele?

N = 5.408,0 (valor nominal do tıtulo) n = 2 meses (prazo de antecipacao) i = 4% ao mes (taxa de desconto racional composto)

No desconto racional composto, a relacao entre o valor nominal N e o valor atual Ar e dada atraves da equacao N = Ar × b. Um tıtulo de valor nominal R$ 25.0,0 e resgatado tres meses antes do vencimentopelo criterio do desconto racional composto a uma taxa de 24% ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor descontado e o desconto.

Solucao:

A taxa de 24% ao ano e nominal, pois seu perıodo que e anual e diferente do perıodo de capitalizacao semestral. Logo, considerando a relacao entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva mensal e proporcional a taxa dada, ou seja, como 1 ano = 2 semestres, tem-se entao que a taxa efetiva semestral i sera dada

6 CEDERJ

i i i

N = 25.0,0 (valor nominal do tıtulo) n = 3 meses (prazo de antecipacao) i = 2% ao mes (taxa de desconto racional composto)

No desconto racional composto, a relacao entre o valor nominal N e o valor atual Ar e dada atraves da equacao N = Ar ×

Nesse caso, temos entao que:

Lembrando que o valor do desconto e a diferenca entre o valor de face do tıtulo ou valor nominal e o valor descontado ou valor atual, isto e, dr = N −Ar, nesse caso entao, temos que:

c. Um tıtulo de R$ 1.0,0 deve ser resgatado tres meses antes do seu vencimento, pelo criterio do desconto comercial composto a uma taxa de 10% ao mes. Qual e o valor lıquido?

Solucao:

N = 1.0,0 (valor nominal do tıtulo) n = 3 meses (prazo de antecipacao) i = 10% ao mes (taxa de desconto comercial composto) .

No desconto comercial composto, a relacao entre o valor atual d. Um tıtulo de R$ 2.0,0 sera resgatado tres anos antes do vencimento pelo criterio do desconto comercial composto a taxa de 20% a.a. com capitalizacoes semestrais. Qual sera o valor lıquido?

CEDERJ 67

i i i

Matematica Financeira | Desconto na Capitalizacao Composta

Solucao:

A taxa de 20% ao ano e nominal, pois seu perıodo que e anual e diferente do perıodo de capitalizacao que e semestral. Logo, considerando a relacao entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva mensal e proporcional a taxa dada, ou seja, como 1 ano = 2 semestres, tem-se, entao, que a taxa efetiva semestral i sera dada

N = 2.0,0 (valor nominal do tıtulo) n = 3 anos = 6 meses (prazo de antecipacao) i = 10% ao semestre (taxa de desconto comercial composto)

No desconto comercial composto, a relacao entre o valor atual Ac e o valor nominal N e dada por Ac = N×(1−i)n, logo nesse caso temos que Ac = 1.0,00×(1−0,10)6 ⇒ Ac ∼= 1.062,8.

e. Um tıtulo de valor R$ 10.0,00foi descontado cinco meses antes do vencimento a taxa de desconto comercial composto de 10 % ao mes. Qual a taxa de juros efetivamente cobrada nessa transacao?

N = 10.0,0 (valor nominal do tıtulo) n = 5 meses (prazo de antecipacao) i = 10% ao mes (taxa de desconto comercial composto)

No desconto comercial composto, a relacao entre o valor atual Ac e o valor nominal N e dada por Ac = N×(1−i)n, logo nesse caso temos que:

Lembrando que o valor do desconto e a diferenca entre o valor nominal de face ou valor nominal e o valor descontado ou valor atual, isto e, dc = N −Ac, temos entao que nesse caso,

Do ponto de vista do banco, esta foi uma operacao de um emprestimo de R$ 5.904,90 que rendera em dois meses um montante de R$ 10.0,0, isto e, um juros de R$ 4.095,10. Logo a taxa de juros composto mensal i dessa operacao sera obtida por:

68 CEDERJ

i i i

Dizemos que duas taxas de desconto racional e comercial composto sao equivalentes se, e somente, se produzirem descontos iguais quando aplicadas a um mesmo tıtulo e por um mesmo prazo de antecipacao.

Nesse caso, como os descontos sao iguais, entao os valores atuais tambem sao iguais e portanto:

Exemplo 5.2

Determinar a taxa mensal de desconto racional equivalente a taxa de desconto comercial de 20% ao mes.

Solucao:

CEDERJ 69

i i i

Matematica Financeira | Desconto na Capitalizacao Composta

Resumo

Nesta aula, encerramos a Unidade 4 – descontos. Os conceitos gerais sobre descontos, aprendidos na Aula 4, foram novamente utilizados e voce assimilou os conceitos envolvendo a determinacao do desconto “por fora” ou comercial e do desconto “por dentro” ou racional na capitalizacao composta. Aprendeu tambem o conceito de taxas equivalentes de desconto racional composto e de desconto comercial composto.

1. Uma empresa tomou emprestada de um banco, por seis meses, a quantia de R$ 10.0,0 a taxa de juros compostos de 19,9% ao mes. No entanto, 1 mes antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dıvida. Qual o valor a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% a.m.?

2. Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 4.276,0, dois meses antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., qual sera o lıquido recebido pela empresa?

3. Joao ira receber R$ 6.60,0 dentro de um ano, como parte de seus direitos na venda de um barco. Contudo, necessitando de dinheiro, transfere seus direitos a um amigo que os compra, entregando-lhe uma nota promissoria no valor de R$ 6.0,0 com vencimento para seis meses. Joao fez bom negocio, se a taxa de juros compostos do mercado for de 20% ao ano?

(Parte 1 de 2)

Comentários