Matemática Financeira-aula 6

Matemática Financeira-aula 6

i i i

Aula

O b j e t i v o s Ao final desta aula, voce devera ser capaz de:

1 entender o conceito de equivalencia financeira; 2 entender o conceito de data focal;

3 entender o conceito de equivalencia financeira na capitalizacao simples;

4 interpretar e resolver os problemas propostos.

i i i

Matematica Financeira | Equivalencia Financeira na Capitalizacao Simples

O problema da equivalencia financeira de capitais, constituise no raciocınio basico da Matematica Financeira. Considere o problema da substituicao de uma ou mais obrigacoes financeiras por outras obrigacoes, com datas diferentes de vencimentos das anteriores sem prejuızo para credores ou devedores. Esse problema sera resolvido pela equivalencia financeira de capitais.

Chama-se data focal ou data de referencia, ou ainda data de avaliacao a data que e considerada como base para comparacao de capitais referidos a datas diferentes.

Considere dois ou mais conjuntos de capitais, cada um deles com suas datas de vencimento a uma mesma taxa de juros a partir da mesma data de origem. Esses conjuntos sao ditos equivalentes se a soma de seus respectivos valores for igual para uma mesma data focal.Na determinacao da equacao de equivalencia de capitais, leva-se em consideracao o fato de o regime de capitalizacao ser de juros simples ou composto e tambem e necessario saber se o criterio do desconto a ser utilizado e o do desconto comercial, “por fora”, ou o do desconto racional, “por dentro”. Essas opcoes serao estabelecidas a priori entre as partes envolvidas.Se o problema nao especificar o regime a ser considerado, devera ser utilizado o regime de juros composto e se nao for estabelecido o criterio a ser utilizado, devera ser utilizado o criterio do desconto racional.

76 CEDERJ

i i i

O 1Nos problemas de equivalencia financeira, voce utilizara a equacao que se relaciona com o valor nominal N de um tıtulo (Capital) e o seu valor atual A, que dependera do criterio a ser utilizado, o do desconto comercial ou racional. A dificuldade e saber em cada caso o que sera calculado, se N ou A. Se o capital for deslocado para o futuro, o valor dado e o valor atual, e voce deve determinar o valor nominal. Por outro lado, se o capital for deslocado para o passado, o valor dado e o valor nominal, e voce deve determinar o valor atual.

Considere dois conjuntos de capitais, a uma mesma taxa de juros simples i, com seus respectivos prazos, contados a partir da mesma data de origem.

1o¯ Conjunto 2o¯

Conjunto

Capital vencimento Capital vencimento

Cn mn C′j m′ j

Esses conjuntos de capitais sao equivalentes quando for utilizado o criterio do desconto:

a) racional ou “por dentro” se:

++
) ++
C1×(1−i×m1)++Cn×(1−i×mn) =
C′1×(1−i×m′1)++C′j×(

b) comercial ou “por fora” se: 1−i×m′j

CEDERJ 7

i i i

Matematica Financeira | Equivalencia Financeira na Capitalizacao SimplesNos dois casos, foi considerado a data zero como data focal.

Exemplo 6.1 a. Um tıtulo com valor nominal de R$ 7.20,0 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros linear de 31,2 % ao ano, pedese calcular o valor deste tıtulo.

1. hoje; 2. dois meses antes do vencimento; 3. um mes apos o seu vencimento.

Solucao:

b. Uma dıvida no valor de R$ 48.0,0 vence daqui a seis meses. O devedor pretende resgatar a dıvida pagando R$ 4.80,0 hoje e R$ 14.0,0 de hoje a dois meses, e o restante um mes apos a data de vencimento. Sendo o momento desse ultimo pagamento definido como a data focal da operacao, e sabendo-se ainda que e de 34,8 % ao ano a taxa linear de juros adotada nessa operacao, determinar o valor do ultimo pagamento, se for adotado o criterio do:

1. desconto racional ou “por dentro”; 2. desconto comercial ou “por fora”.

78 CEDERJ

i i i

No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto formado por um unico capital da dıvida original; e as setas para baixo, o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento.

Para que nao haja prejuızo para nenhuma das partes, e necessario que esses conjuntos sejam equivalentes.

Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto e, com vencimentos em datas diferentes, sao equivalentes, em certa data de referencia “data focal” quando a soma dos seus valores nessa data for igual. Nesse problema, a data de referencia e a data “sete”.

A taxa considerada no problema e de 34,8% ao ano no regime de juros simples, o que equivale a taxa de 34,8 12 = 2,9% ao mes (na capitalizacao simples as taxas equivalentes sao proporcionais).

1. Sabe-se que no desconto racional simples a relacao entre o valor atual A e o valor nominal N e dada pela equacao criterio, temos que a equacao de equivalencia sera dada por:

2. Sabe-se que no desconto comercial simples a relacao entre o valor atual A e o valor nominal N e dada pela equacao criterio, temos que a equacao de equivalencia sera dada por:

CEDERJ 79

i i i

Matematica Financeira | Equivalencia Financeira na Capitalizacao Simples

Respostas:

Vamos refazer o exemplo anterior, considerando a data zero como data focal e o criterio do desconto racional. Nesse caso, a equacao de equivalencia sera dada por:

x = 27.492,57Na questao da equivalencia financeira a juros simples, e importante ressaltar que o saldo se altera quando a data focal e modificada. Essa caracterıstica e tıpica da capitalizacao simples (em juros compostos, como veremos mais tarde, este comportamento nao existe), sendo explicada pelo fato de nao ser aceito o desmembramento (fracionamento) dos prazos. Por exemplo, se voce considerar uma capital de R$ 10,0, a uma taxa linear de 20% ao ano, ele rendera em dois anos um montante de R$ 140,0. Agora se voce apurar o montante ao final do primeiro ano, ele sera de R$ 120,0 e reaplica-lo, nas mesmas condicoes por mais um ano, voce obtera um montante de 144,0, ou seja, o fracionamento dos prazos levou a resultados diferentes. Na pratica, a definicao da data focal, em problemas de substituicao de pagamento no regime de juros simples, deve ser decidida naturalmente pelas partes.

c. Qual e o capital equivalente hoje a R$ 4.620,0 que vence dentro de 50 dias, mais o capital de R$ 3.960,0 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.0,0 que venceu ha vinte dias, a taxa de juros simples de 0,1% ao dia?

Solucao:

Devemos encontrar um capital C que seja equivalente na data focal zero (hoje) ao conjunto de capitais dados a taxa linear de 0,1%

80 CEDERJ

i i i

O 1ao dia e utilizando o criterio do desconto racional, pois o pro- blema nao indicou qual o criterio a ser utilizado, e nesses casos convenciona-se utilizar o criterio do desconto racional.

d. Queremos substituir dois tıtulos, um de R$ 50.0,0 para 90 dias e outro de R$ 120.0,0 para 60 dias, por outros tres, com os mesmos valores nominais, vencıveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Considerando a data “zero” como data focal, determine o valor nominal comum, sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples da transacao e de 3% ao mes.

Solucao:

No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto formado pelos capitais da dıvida original, e as setas para baixo, o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento.

Para que nao haja prejuızo para nenhuma das partes, e necessario que esses conjuntos sejam equivalentes.

Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto e, com vencimentos em datas diferentes, sao equivalentes, em certa data de referencia (“data focal”) quando a soma dos seus valores nessa data for igual. Nesse problema, a data de referencia e a data “zero”.

Sabe-se que no desconto comercial simples a relacao entre o valor atual A e o valor nominal N e dado pela equacao

CEDERJ 81

i i i

Matematica Financeira | Equivalencia Financeira na Capitalizacao Simples logo, considerando esse criterio, temos que a equacao de equivalencia sera dada por:

Resumo

Nesta aula, iniciamos o estudo da equivalencia financeira de capitais. Voce aprendeu o conceito da equivalencia financeira e de data focal. Esses conceitos serao utilizados na proxima aula. Nesta aula, voce aprendeu a utilizar esses conceitos na capitalizacao simples.

1. Uma dıvida e composta de tres pagamentos no valor de

R$ 2.80,0, R$ 4.20,0 e R$ 7.0,0; vencıveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado e de 4,5% ao mes. Determinar o valor da dıvida se o devedor liquidar os pagamentos:

a) hoje; b) daqui a sete meses.

Respostas:

2. Uma maquina calculadora esta sendo vendida a prazo nas seguintes condicoes: R$ 128,0 de entrada; R$ 192,0 em trinta e sessenta dias. Sendo de 1,1 % ao mes a taxa linear de juros, calcule ate que preco e interessante comprar a maquina a vista.

82 CEDERJ

i i i

O 13. Uma firma deseja alterar as datas e os valores de um finan- ciamento contratado. Esse financiamento foi contratado, a uma taxa de juros simples de 2% ao mes. A instituicao financiadora nao cobra custas nem taxas para fazer estas alteracoes. A taxa de juros nao sofrera alteracoes.

Condicoes pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestacoes iguais e sucessivas de R$ 1.024,0 a serem pagas em 60 e 90 dias;

Condicoes desejadas: pagamento em tres prestacoes iguais; a primeira ao final do 10o mes, a segunda ao final do 30o mes e a terceira ao final do 70o mes.

Caso sejam aprovadas as alteracoes e considerando como data focal a data zero, qual o valor unitario de cada uma das novas prestacoes?

4. Um tıtulo de valor nominaligual a R$ 6.30,0 para noventa dias, devera ser substituıdo por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo tıtulo, a taxa linear de 2,5% ao mes, considerando como data focal, a data zero.

5. Um industrial deve pagar dois tıtulos: um de R$ 14.40,0, para dois meses, e outro de R$ 19.20,0, para tres meses. Entretanto, nao podendo resgata-los no vencimento, propoe ao credor substituı-los por um novo tıtulo para 4 meses, sendo a data desse pagamento definida como data focal. Qual o valor nominal do novo tıtulo considerando a taxa de juros simples de 3,8% ao mes?

6. Substitua tres tıtulos, um de R$ 40.0,0, para 30 dias, outro de R$ 10.0,0, para 60 dias e outro de R$ 160.0,0, para 90 dias, por dois outros tıtulos de iguais valores nominais, vencıveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos tıtulos sabendo que a taxa de desconto comercial simples da transacao e de 13,5% ao mes. Considere a data cinco como data focal.

CEDERJ 83

i i i

Matematica Financeira | Equivalencia Financeira na Capitalizacao Simples

7. Um indivıduo devera liquidar suas dıvidas, expressas por dois tıtulos, um de R$ 37.0,0 e outro de R$ 49.80,0, vencıveis respectivamente em 8 e 1 meses a partir de hoje. A taxa de juros simples e de 6% ao mes. Utilizando-se do criterio do valor atual racional, qual deve ser o prazo de vencimento de uma promissoria de R$ 59.950,0 para que ela seja equivalente, hoje, aos dois tıtulos especificados?

Resposta: 45 dias.

R$ 10.0,0 e R$ 80.0,0, descontados em um banco e com vencimentos para 90, 150 e 180 dias, respectivamente. Desejando substituı-los por dois outros de valores nominais iguais para 60 e 120 dias, calcular o valor nominal comum, supondo-se que a taxa de desconto racional simples seja de 3,2% ao mes para as transacoes desse tipo. Considere a data cinco como data focal.

9. Uma pessoa deve dois tıtulos no valor de R$ 25.0,0 e de R$ 56.0,0 cada. O primeiro tıtulo vence de hoje a 2 meses; e o segundo, um mes apos. O devedor deseja propor a substituicao dessas duas obrigacoes por um unico pagamento ao final do quinto mes. Considerando 3 % ao mes a taxa corrente de juros simples, determine o valor desse pagamento unico. Considere a data cinco como data focal.

O devedor pretende resgatar a dıvida pagando R$ 4.80,0 hoje, R$ 14.0,0 de hoje a dois meses, e o restante um mes apos a data de vencimento. Sendo o momento deste ultimo pagamento definido como a data focal da operacao e sabendo-se ainda que e de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nessa operacao, determinar o montante do pagamento.

84 CEDERJ

i i i

1 Auto-avaliacao

Voce conseguiu resolver todos os exercıcios propostos sem dificuldade? Se sua resposta foi sim, entao voce entendeu os conceitos envolvendo a equivalencia de capitais ou financeira na capitalizacao simples. Se nao conseguiu, nao desista! Volte a aula e reveja os conceitos e exemplos. Nao deixe que suas duvidas se acumulem.

CEDERJ 85

Comentários